Исследование А-устойчивости (1181164)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Исследовать на А-устойчивость одношаговый метод:y m +1 − y mf (x m +1 , y m +1 ) + 3 f ( x m , y m )=.h4ËМодельное уравнение (получающееся при линеаризации):y m +1 − y my + 3 ym= λ m +1,h4или, полагая hλ = z ,(4 − z ) y m+1 − (4 + 3z ) y m = 0 .Ему соответствует характеристическое уравнение (4 − z )q − (4 + 3 z ) = 0 .4 + 3z.Решение характеристического уравнения q =4− zq < 1 , т.е. 4 + 3 z < 4 − z и можно предполагать, что область устойчивости лежит в левойполуплоскости комплексной плоскости z = x + iy .Границей области устойчивости будет множество таких точек z = 4iϕq = 1 , т.е. q = e : z ∗ = 4q −1, для которыхq+3(cosϕ − 1 + i sin ϕ )(cosϕ + 3 − i sin ϕ )e iϕ − 1cos ϕ − 1 + i sin ϕ=4=4iϕcos ϕ + 3 + i sin ϕe +3(cosϕ + 3)2 + sin 2 ϕ2(cos ϕ − 1) + i 4 sin ϕ.(cosϕ + 3)2 + sin 2 ϕТ.к. Re z ∗ ≤ 0 , то вся левая полуплоскость не может являться областью устойчивостисхемы, поэтому метод не А-устойчив.7Замечание.

При z = 1 q = > 1 - схема неустойчива. Область устойчивости внутри3контура.=4Исследовать на А-устойчивость схему четвертого порядка:25 y m − 48 y m −1 + 36 y m − 2 − 16 y m −3 + 3 y m −4= f (xm , y m ) .12hМетод Гира, чисто неявный.ËМодельное уравнение (получающееся при линеаризации):25 y m − 48 y m −1 + 36 y m − 2 − 16 y m −3 + 3 y m − 4 = 12hλy m ,или, полагая hλ = z ,25 y m − 48 y m −1 + 36 y m − 2 − 16 y m −3 + 3 y m − 4 = 12 zy m .Ему соответствует характеристическое уравнение(25 − 12 z )q 4 − 48q 3 + 36q 2 − 16q + 3 = 0 .(1)(2)ŒЧтобыопределить область устойчивости, нам нужно найти множество точек Gкомплексной плоскости z = u + iv = h Re λ + ih Im λ , для которых все корни (2) непревосходят по модулю единицу.Соответственно, границей области G Является множество таких точек z = λh ∈ C ,для которых q < 1 .Для этого выразим параметр z через переменную q :25 − 48q −1 + 36q −2 − 16q −3 + 3q −4.12Заметим, что если q = 1 , то q = e −iϕ , и (3) можно записать в виде:z=(3)25 − 48e iϕ + 36e i 2ϕ − 16e i 3ϕ + 3e i 4ϕz=.(4)12При изменении аргумента ϕ от 0 до 2π точка z описывает замкнутую кривую Γ ,симметричную относительно действительной оси (Im z = Im z ) .Заметим, что:q = 2 соответствует области неустойчивости.

При этом25 − 48 ⋅ 2 −1 + 36 ⋅ 2 −2 − 16 ⋅ 2 −3 + 3 ⋅ 2 −4131z (2) ==.121921соответствует области устойчивости. При этом212347⎛ 1 ⎞ 25 − 48 ⋅ 2 + 36 ⋅ 2 − 16 ⋅ 2 + 3 ⋅ 2z⎜ ⎟ == − . (Т.е. надежда на А1212⎝2⎠устойчивость есть.)25 − 48 + 36 − 16 + 3Re q ∈ [− 1; 1] z (1) == 01,1225 + 48 + 36 + 16 + 3 32,т.е. область устойчивостиz (− 1) ==123представляет собой внешность кривой Γ .q=1 способ (графический).Воспользоваться соответствующей программой и нарисовать кривую Γ .2 способ (аналитический).Перепишем (4) в виде (выделив вещественную и мнимую часть параметра z ):1Т.о. граница области устойчивости проходит, через начало координат.

Этот результат в данной задачеполучен случайно – вообще говоря, надо проводить соответствующее исследование.25 − 48 cos ϕ + 36 cos 2ϕ − 16 cos 3ϕ + 3 cos 4ϕ+12− 48 sin ϕ + 36 sin 2ϕ − 16 sin 3ϕ + 3 sin 4ϕ+i12z=(5)Введем обозначение: x = cos ϕ . Тогда sin ϕ = ± 1 − x 2 .Тогда,учитывая что cos 2ϕ = 2 cos 2 ϕ − 1 = 2 x 2 − 1 ,cos 3ϕ = 4 cos 3 ϕ − 3 cos ϕ = 4 x 3 − 3 x ,cos 4ϕ = 8 cos 4 ϕ − 8 cos 2 ϕ + 1 = 8 x 4 − 8 x 2 + 1 ,sin 2ϕ = 2 sin ϕ cos ϕ = ± 2 x 1 − x 2 ,[]()sin 3ϕ = 3 sin ϕ − 4 sin 3 ϕ = sin ϕ 4 cos 2 ϕ − 1 = ± 4 x 2 − 1 1 − x 2 ,[]()sin 4ϕ = sin ϕ 8 cos 3 ϕ − 4 cos ϕ = ± 8 x 3 − 4 x 1 − x 2 ,получим:()() ()25 − 48 x + 36 2 x 2 − 1 − 16 4 x 3 − 3 x + 3 8 x 4 − 8 x 2 + 1+12.− 48 + 36 ⋅ 2 x − 16 4 x 2 − 1 + 3 8 x 3 − 4 x2±i1− x12Раскрывая скобки, находим:− 8 + 48 x 2 − 64 x 3 + 24 x 4− 32 + 60 x − 64 x 2 + 24 x 3z=±i1− x21212илиz=() ()2i 1− x21 − 6 x 2 + 8 x 3 − 3x 4 ±− 8 + 15 x − 16 x 2 + 6 x 3 .33Заметим, что x ∈ [− 1; 1] .Заметим также, что если Re z ≥ 0 , то метод А-устойчив.z=−()(()(6))⎛ 2⎞Найдем min Re z , т.е.

min ⎜ − 1 − 6 x 2 + 8 x 3 − 3x 4 ⎟ .x∈[−1; 1]⎝ 3⎠2Итак:f (x ) = − 1 − 6 x 2 + 8 x 3 − 3x 4 ,3′⎛ 2⎞⎛ 2⎞f ′( x ) = ⎜ − 1 − 6 x 2 + 8 x 3 − 3 x 4 ⎟ = ⎜ − − 12 x + 24 x 2 − 12 x 3 ⎟ =⎝ 3⎠⎝ 3⎠22= 8 x 1 − 2 x + x = 8 x(1 − x ) .()((f (− 1) = −)()2(1 − 6 − 8 − 3) = 32 ,332f (0) = − ,32f (1) = − (1 − 6 + 8 − 3) = 0 .3min f ( x ) = min{ f (− 1), f (0 ), f (1)} = f (0) = −x∈[−1; 1]метод не А-устойчив.2<03)Исследуем метод на А(α)-устойчивость.2Согласно (6) u = Re z = − 1 − 6 x 2 + 8 x 3 − 3x 4 ,3()1− x2− 8 + 15 x − 16 x 2 + 6 x 3 2.3С одной стороны, уравнение касательной, проходящей через начало координат v = u tg α ,v′с другой стороны, угол наклона касательной определяется соотношением: tg α = vu′ = x .u ′xОтсюда получаем условие касания прямой, проходящей через начало координат, сграницей области устойчивости Γ :v v ′x.(7)=u u ′x(v = Im z =)u ′x = 8 x(1 − x ) ,2v ′x =−x(− 8 + 15x − 16 x2+ 6x3 ) +1− x2(15 − 32 x + 18 x 2 ) =33 1− x21=x (8 − 15 x + 16 x 2 − 6 x 3 ) + (1 − x 2 )(15 − 32 x + 18 x 2 ) =23 1− x18 x − 15 x 2 + 16 x 3 − 6 x 4 + 15 − 32 x + 18 x 2 − 15 x 2 + 32 x 3 − 18 x 4 ==23 1− x5 − 8 x − 4 x 2 + 16 x 3 − 8 x 41.15 − 24 x − 12 x 2 + 48 x 3 − 24 x 4 = ==3 1− x21− x2[][][]Т.о.,1 − x 2 (− 8 + 15 x − 16 x 2 + 6 x 3 ) 5 − 8 x − 4 x 2 + 16 x 3 − 8 x 4.(8)=22⎛ 2⎞234()x−x−x8113⎜ − ⎟(1 − 6 x + 8 x − 3x )⎝ 3⎠Заметим, что (1 − 6 x 2 + 8 x 3 − 3 x 4 ) = 0 , т.е.

(1 − 6 x 2 + 8 x 3 − 3x 4 ) = (1 − x )(a + bx + cx 2 + dx 3 ) ,x =1⎧a = 1,⎪b − a = 0,⎪⎪где ⎨c − b = −6, Т.е. 1 − 6 x 2 + 8 x 3 − 3x 4 = (1 − x ) 1 + x − 5 x 2 + 3x 3 .⎪d − c = 8,⎪⎪⎩− d = −3.((Но 1 + x − 5 x 2 + 3 x 3)x =1)⎧a = 1,⎪b − a = 1,⎪232= 0 и снова 1 + x − 5 x + 3x = (1 − x )(a + bx + cx ), где ⎨⎪c − b = −5,⎪⎩c = −3.Т.е. (1 + x − 5 x 2 + 3 x 3 ) = (1 − x )(1 + 2 x − 3 x 2 ) , 1 + 2 x − 3x 2 = (1 + 3x )(1 − x ) , откудаокончательно 1 − 6 x 2 + 8 x 3 − 3x 4 = (1 + 3x )(1 − x ) , и (8) принимает вид:3−(1 − x )(− 8 + 15x − 16 x22(1 − x )(1 + 3 x )2+ 6x 3) = 5 − 8x − 4 x+ 16 x 3 − 8 x 48x2или2Рассматриваем нижнюю полуплоскость, т.к.

криваяΓ , симметрична относительно действительной оси.− 4 x(1 + x )(− 8 + 15 x − 16 x 2 + 6 x 3 ) = (5 − 8 x − 4 x 2 + 16 x 3 − 8 x 4 )(1 + 3 x ) .Раскрываем скобки:32 x − 60 x 2 + 64 x 3 − 24 x 4 + 32 x 2 − 60 x 3 + 64 x 4 − 24 x 5 =,5 − 8 x − 4 x 2 + 16 x 3 − 8 x 4 + 15 x − 24 x 2 − 12 x 3 + 48 x 4 − 24 x 5или32 x − 28 x 2 + 4 x 3 + 40 x 4 = 5 + 7 x − 28 x 2 + 4 x 3 + 40 x 4 ,т.е.125 x = 5 или x = .53316 ⋅ 64⎛ 2⎞8⎛4⎞⎛ 2 ⎞⎛ 3 ⎞⎛ 1 ⎞u x = 1 = ⎜ − ⎟⎜1 + ⎟⎜1 − ⎟ = ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ = −,625 ⋅ 35⎝ 3⎠5⎝5⎠⎝ 3 ⎠⎝ 5 ⎠⎝ 5 ⎠23⎛⎞⎜ − 8 + 15 1 − 16⎛⎜ 1 ⎞⎟ + 6⎛⎜ 1 ⎞⎟ ⎟24(− 5 ⋅ 125 − 16 ⋅ 5 + 6)⎜⎟555⎝⎠⎝⎠⎝⎠5v x= 1 ===3 ⋅ 125352 6 (− 5 ⋅ 141 + 6)2 6 ⋅ 699.== −3 ⋅ 6253 ⋅ 6256 ⋅ 699v2 6 ⋅ 699tg α ==≈ 3.344 ≈ 73.35 o=u x= 116 ⋅ 64512⎛1⎞1− ⎜ ⎟⎝5⎠25метод А(α)-устойчив, α ≈ 73.35 o.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов учебной работы