Главная » Просмотр файлов » Исследование А-устойчивости

Исследование А-устойчивости (1181164)

Файл №1181164 Исследование А-устойчивости (Исследование А-устойчивости)Исследование А-устойчивости (1181164)2020-08-18СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Исследовать на А-устойчивость одношаговый метод:y m +1 − y mf (x m +1 , y m +1 ) + 3 f ( x m , y m )=.h4ËМодельное уравнение (получающееся при линеаризации):y m +1 − y my + 3 ym= λ m +1,h4или, полагая hλ = z ,(4 − z ) y m+1 − (4 + 3z ) y m = 0 .Ему соответствует характеристическое уравнение (4 − z )q − (4 + 3 z ) = 0 .4 + 3z.Решение характеристического уравнения q =4− zq < 1 , т.е. 4 + 3 z < 4 − z и можно предполагать, что область устойчивости лежит в левойполуплоскости комплексной плоскости z = x + iy .Границей области устойчивости будет множество таких точек z = 4iϕq = 1 , т.е. q = e : z ∗ = 4q −1, для которыхq+3(cosϕ − 1 + i sin ϕ )(cosϕ + 3 − i sin ϕ )e iϕ − 1cos ϕ − 1 + i sin ϕ=4=4iϕcos ϕ + 3 + i sin ϕe +3(cosϕ + 3)2 + sin 2 ϕ2(cos ϕ − 1) + i 4 sin ϕ.(cosϕ + 3)2 + sin 2 ϕТ.к. Re z ∗ ≤ 0 , то вся левая полуплоскость не может являться областью устойчивостисхемы, поэтому метод не А-устойчив.7Замечание.

При z = 1 q = > 1 - схема неустойчива. Область устойчивости внутри3контура.=4Исследовать на А-устойчивость схему четвертого порядка:25 y m − 48 y m −1 + 36 y m − 2 − 16 y m −3 + 3 y m −4= f (xm , y m ) .12hМетод Гира, чисто неявный.ËМодельное уравнение (получающееся при линеаризации):25 y m − 48 y m −1 + 36 y m − 2 − 16 y m −3 + 3 y m − 4 = 12hλy m ,или, полагая hλ = z ,25 y m − 48 y m −1 + 36 y m − 2 − 16 y m −3 + 3 y m − 4 = 12 zy m .Ему соответствует характеристическое уравнение(25 − 12 z )q 4 − 48q 3 + 36q 2 − 16q + 3 = 0 .(1)(2)ŒЧтобыопределить область устойчивости, нам нужно найти множество точек Gкомплексной плоскости z = u + iv = h Re λ + ih Im λ , для которых все корни (2) непревосходят по модулю единицу.Соответственно, границей области G Является множество таких точек z = λh ∈ C ,для которых q < 1 .Для этого выразим параметр z через переменную q :25 − 48q −1 + 36q −2 − 16q −3 + 3q −4.12Заметим, что если q = 1 , то q = e −iϕ , и (3) можно записать в виде:z=(3)25 − 48e iϕ + 36e i 2ϕ − 16e i 3ϕ + 3e i 4ϕz=.(4)12При изменении аргумента ϕ от 0 до 2π точка z описывает замкнутую кривую Γ ,симметричную относительно действительной оси (Im z = Im z ) .Заметим, что:q = 2 соответствует области неустойчивости.

При этом25 − 48 ⋅ 2 −1 + 36 ⋅ 2 −2 − 16 ⋅ 2 −3 + 3 ⋅ 2 −4131z (2) ==.121921соответствует области устойчивости. При этом212347⎛ 1 ⎞ 25 − 48 ⋅ 2 + 36 ⋅ 2 − 16 ⋅ 2 + 3 ⋅ 2z⎜ ⎟ == − . (Т.е. надежда на А1212⎝2⎠устойчивость есть.)25 − 48 + 36 − 16 + 3Re q ∈ [− 1; 1] z (1) == 01,1225 + 48 + 36 + 16 + 3 32,т.е. область устойчивостиz (− 1) ==123представляет собой внешность кривой Γ .q=1 способ (графический).Воспользоваться соответствующей программой и нарисовать кривую Γ .2 способ (аналитический).Перепишем (4) в виде (выделив вещественную и мнимую часть параметра z ):1Т.о. граница области устойчивости проходит, через начало координат.

Этот результат в данной задачеполучен случайно – вообще говоря, надо проводить соответствующее исследование.25 − 48 cos ϕ + 36 cos 2ϕ − 16 cos 3ϕ + 3 cos 4ϕ+12− 48 sin ϕ + 36 sin 2ϕ − 16 sin 3ϕ + 3 sin 4ϕ+i12z=(5)Введем обозначение: x = cos ϕ . Тогда sin ϕ = ± 1 − x 2 .Тогда,учитывая что cos 2ϕ = 2 cos 2 ϕ − 1 = 2 x 2 − 1 ,cos 3ϕ = 4 cos 3 ϕ − 3 cos ϕ = 4 x 3 − 3 x ,cos 4ϕ = 8 cos 4 ϕ − 8 cos 2 ϕ + 1 = 8 x 4 − 8 x 2 + 1 ,sin 2ϕ = 2 sin ϕ cos ϕ = ± 2 x 1 − x 2 ,[]()sin 3ϕ = 3 sin ϕ − 4 sin 3 ϕ = sin ϕ 4 cos 2 ϕ − 1 = ± 4 x 2 − 1 1 − x 2 ,[]()sin 4ϕ = sin ϕ 8 cos 3 ϕ − 4 cos ϕ = ± 8 x 3 − 4 x 1 − x 2 ,получим:()() ()25 − 48 x + 36 2 x 2 − 1 − 16 4 x 3 − 3 x + 3 8 x 4 − 8 x 2 + 1+12.− 48 + 36 ⋅ 2 x − 16 4 x 2 − 1 + 3 8 x 3 − 4 x2±i1− x12Раскрывая скобки, находим:− 8 + 48 x 2 − 64 x 3 + 24 x 4− 32 + 60 x − 64 x 2 + 24 x 3z=±i1− x21212илиz=() ()2i 1− x21 − 6 x 2 + 8 x 3 − 3x 4 ±− 8 + 15 x − 16 x 2 + 6 x 3 .33Заметим, что x ∈ [− 1; 1] .Заметим также, что если Re z ≥ 0 , то метод А-устойчив.z=−()(()(6))⎛ 2⎞Найдем min Re z , т.е.

min ⎜ − 1 − 6 x 2 + 8 x 3 − 3x 4 ⎟ .x∈[−1; 1]⎝ 3⎠2Итак:f (x ) = − 1 − 6 x 2 + 8 x 3 − 3x 4 ,3′⎛ 2⎞⎛ 2⎞f ′( x ) = ⎜ − 1 − 6 x 2 + 8 x 3 − 3 x 4 ⎟ = ⎜ − − 12 x + 24 x 2 − 12 x 3 ⎟ =⎝ 3⎠⎝ 3⎠22= 8 x 1 − 2 x + x = 8 x(1 − x ) .()((f (− 1) = −)()2(1 − 6 − 8 − 3) = 32 ,332f (0) = − ,32f (1) = − (1 − 6 + 8 − 3) = 0 .3min f ( x ) = min{ f (− 1), f (0 ), f (1)} = f (0) = −x∈[−1; 1]метод не А-устойчив.2<03)Исследуем метод на А(α)-устойчивость.2Согласно (6) u = Re z = − 1 − 6 x 2 + 8 x 3 − 3x 4 ,3()1− x2− 8 + 15 x − 16 x 2 + 6 x 3 2.3С одной стороны, уравнение касательной, проходящей через начало координат v = u tg α ,v′с другой стороны, угол наклона касательной определяется соотношением: tg α = vu′ = x .u ′xОтсюда получаем условие касания прямой, проходящей через начало координат, сграницей области устойчивости Γ :v v ′x.(7)=u u ′x(v = Im z =)u ′x = 8 x(1 − x ) ,2v ′x =−x(− 8 + 15x − 16 x2+ 6x3 ) +1− x2(15 − 32 x + 18 x 2 ) =33 1− x21=x (8 − 15 x + 16 x 2 − 6 x 3 ) + (1 − x 2 )(15 − 32 x + 18 x 2 ) =23 1− x18 x − 15 x 2 + 16 x 3 − 6 x 4 + 15 − 32 x + 18 x 2 − 15 x 2 + 32 x 3 − 18 x 4 ==23 1− x5 − 8 x − 4 x 2 + 16 x 3 − 8 x 41.15 − 24 x − 12 x 2 + 48 x 3 − 24 x 4 = ==3 1− x21− x2[][][]Т.о.,1 − x 2 (− 8 + 15 x − 16 x 2 + 6 x 3 ) 5 − 8 x − 4 x 2 + 16 x 3 − 8 x 4.(8)=22⎛ 2⎞234()x−x−x8113⎜ − ⎟(1 − 6 x + 8 x − 3x )⎝ 3⎠Заметим, что (1 − 6 x 2 + 8 x 3 − 3 x 4 ) = 0 , т.е.

(1 − 6 x 2 + 8 x 3 − 3x 4 ) = (1 − x )(a + bx + cx 2 + dx 3 ) ,x =1⎧a = 1,⎪b − a = 0,⎪⎪где ⎨c − b = −6, Т.е. 1 − 6 x 2 + 8 x 3 − 3x 4 = (1 − x ) 1 + x − 5 x 2 + 3x 3 .⎪d − c = 8,⎪⎪⎩− d = −3.((Но 1 + x − 5 x 2 + 3 x 3)x =1)⎧a = 1,⎪b − a = 1,⎪232= 0 и снова 1 + x − 5 x + 3x = (1 − x )(a + bx + cx ), где ⎨⎪c − b = −5,⎪⎩c = −3.Т.е. (1 + x − 5 x 2 + 3 x 3 ) = (1 − x )(1 + 2 x − 3 x 2 ) , 1 + 2 x − 3x 2 = (1 + 3x )(1 − x ) , откудаокончательно 1 − 6 x 2 + 8 x 3 − 3x 4 = (1 + 3x )(1 − x ) , и (8) принимает вид:3−(1 − x )(− 8 + 15x − 16 x22(1 − x )(1 + 3 x )2+ 6x 3) = 5 − 8x − 4 x+ 16 x 3 − 8 x 48x2или2Рассматриваем нижнюю полуплоскость, т.к.

криваяΓ , симметрична относительно действительной оси.− 4 x(1 + x )(− 8 + 15 x − 16 x 2 + 6 x 3 ) = (5 − 8 x − 4 x 2 + 16 x 3 − 8 x 4 )(1 + 3 x ) .Раскрываем скобки:32 x − 60 x 2 + 64 x 3 − 24 x 4 + 32 x 2 − 60 x 3 + 64 x 4 − 24 x 5 =,5 − 8 x − 4 x 2 + 16 x 3 − 8 x 4 + 15 x − 24 x 2 − 12 x 3 + 48 x 4 − 24 x 5или32 x − 28 x 2 + 4 x 3 + 40 x 4 = 5 + 7 x − 28 x 2 + 4 x 3 + 40 x 4 ,т.е.125 x = 5 или x = .53316 ⋅ 64⎛ 2⎞8⎛4⎞⎛ 2 ⎞⎛ 3 ⎞⎛ 1 ⎞u x = 1 = ⎜ − ⎟⎜1 + ⎟⎜1 − ⎟ = ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ = −,625 ⋅ 35⎝ 3⎠5⎝5⎠⎝ 3 ⎠⎝ 5 ⎠⎝ 5 ⎠23⎛⎞⎜ − 8 + 15 1 − 16⎛⎜ 1 ⎞⎟ + 6⎛⎜ 1 ⎞⎟ ⎟24(− 5 ⋅ 125 − 16 ⋅ 5 + 6)⎜⎟555⎝⎠⎝⎠⎝⎠5v x= 1 ===3 ⋅ 125352 6 (− 5 ⋅ 141 + 6)2 6 ⋅ 699.== −3 ⋅ 6253 ⋅ 6256 ⋅ 699v2 6 ⋅ 699tg α ==≈ 3.344 ≈ 73.35 o=u x= 116 ⋅ 64512⎛1⎞1− ⎜ ⎟⎝5⎠25метод А(α)-устойчив, α ≈ 73.35 o.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
127,52 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов учебной работы

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6510
Авторов
на СтудИзбе
302
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее