гиперболическая система (1181162)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Дана гиперболическая система уравнений∂v ∂w⎧ ∂u ∂u⎪ ∂t + ∂x − 3 ∂x + ∂x = f (t , x )⎪∂u ∂v ∂w⎪ ∂v+−= g (t , x )⎨ −3∂x ∂x ∂x⎪ ∂t∂w⎪ ∂w ∂u ∂v⎪⎩ ∂t + ∂x − ∂x + 5 ∂x = h(t , x )с начальными условиями u (0, x) = ϕ1 ( x), v(0, x) = ϕ 2 ( x), w(0, x) = ϕ3 ( x) .А) 6 Определить корректные постановки краевых условий для этой задачи из предложенных вариантов(если условия некорректны, указать, почему):1) u (t ,0) + v (t , 0) = ψ 1 (t ),u(t ,1) − v (t ,1) + 2 w(t ,1) = ψ 2 (t ), u(t ,0) − v (t ,0) − w(t ,0) = ψ 3 (t ).2) u (t ,1) + v(t ,1) = ψ 1 (t ) , u (t ,0) − v (t ,0) + 2 w(t ,0) = ψ 2 (t ),u(t ,0) − v (t ,0) − w(t ,0) = ψ 3 (t ).3) u (t ,0 ) + v(t ,0 ) = ψ 1 (t ) , u (t ,1) − v (t ,1) + 2 w(t ,1) = ψ 2 (t ),u(t ,1) − v (t ,1) − w(t ,1) = ψ 3 (t ).4) u (t ,0 ) + v(t ,0 ) = ψ 1 (t ) , u (t ,0) − v (t ,0) + 2 w(t ,0) = ψ 2 (t ),u(t ,1) − v(t ,1) − w(t ,1) = ψ 3 (t ).Б) 4 Предложить устойчивую разностную схему для решения данной системы уравнений на указанномшаблоне;В) 4 Показать порядок и способ вычисления неизвестных функций u, v, w на верхнем слое, включаяграничные точки.rrr∂U∂UА) c Запишем исходную систему в матричном виде:+A=F,∂t∂x⎛u⎞⎛ 1 −3 1 ⎞⎛ f (t , x )⎞⎜⎟ r ⎜⎟r ⎜ ⎟где U = ⎜ v ⎟ , A = ⎜ − 3 1 − 1⎟ , F = ⎜ g (t , x ) ⎟⎜ w⎟⎜ 1 −1 5 ⎟⎜ h(t , x ) ⎟⎝ ⎠⎝⎝⎠⎠d Найдем собственные значения матрицы A :Характеристическое уравнение: A − λE = 01− λ−30 = −31− λ1−111− λ −1− 3 −1− 3 1− λ=+3+1− 1 = (1 − λ )−1 5 − λ1 5−λ1−15−λ= (1 − λ )[(1 − λ )(5 − λ ) − 1] + 3[3λ − 15 + 1] + [3 − 1 + λ ] =[][]= (1 − λ ) 5 − 6λ + λ2 − 1 + 3[3λ − 14] + [2 + λ ] = (1 − λ ) 4 − 6λ + λ2 + 9λ − 42 + 2 + λ == 4 − 6λ + λ2 − 4λ + 6λ2 − λ3 + 10λ − 40 = − λ3 + 7λ2 − 36«Угадываем» корень λ = −2λ3 − 7λ2 + 36 = (λ + 2)(λ2 + aλ + 18) = λ3 + (2 + a )λ2 + (18 + 2a )λ + 36 откуда a = −9 иλ3 − 7λ2 + 36 = (λ + 2)(λ2 − 9λ + 18) = (λ + 2)(λ − 3)(λ − 6) .

Таким образомспектр матрицы λ1 = −2 , λ 2 = 3 , λ3 = 6Уже сейчас можем сказать, что на левой границе должно быть задано 2 граничных условия12, а на правой– 13. Поэтому условие 3)4 не подходит.e Найдем левые собственные векторы5 матрицы A 6: g i A = λi g iTT⎛ g 1i ⎞⎜ ⎟или A g i = λi g i , где g i = ⎜ g 2i ⎟ .⎜g ⎟⎝ 3i ⎠T 1 λ2 = 3 > 0 ,λ3 = 6 > 0- на левой границе 2 входящие характеристики2Число ГУ соответствует числу входящих характеристик3λ1 = −2 < 04u (t ,0 ) + v(t ,0 ) = ψ 1 (t ) , u(t ,1) − v (t ,1) + 2 w(t ,1) = ψ 2 (t ), u(t ,1) − v (t ,1) − w(t ,1) = ψ 3 (t ).5Левые собственные векторы – векторы-строки, удовлетворяющие равенству g6- на правой границе 1 входящая характеристикаTA = λg T⎛u⎞⎛ R1 ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ Цель – диагонализовать матрицу A , т.е.

найти невырожденную замену ⎜ v ⎟ = S ⎜ R2 ⎟ , где S - матрица перехода,⎜ w⎟⎜R ⎟⎝ ⎠⎝ 2⎠⎛ λ1⎜~−1при которой A = SAS = ⎜ 0⎜0⎝λ2⎛ h11⎜Ah i = λi h i , то S = ⎜ h21⎜h⎝ 31h13 ⎞⎟h23 ⎟ и нам предстоит находить S −1 /.h33 ⎟⎠h12h22h32000⎞⎛ h1i ⎞⎜ ⎟⎟0 ⎟ . Если h i = ⎜ h2i ⎟ , i = 1 ÷ 3 собственные векторы матрицы A , т.е.⎜h ⎟λ3 ⎟⎠⎝ 3i ⎠⎛ g 1i ⎞⎜ ⎟TTTС другой стороны, g i = ⎜ g 2i ⎟ ‐ собственные векторы A : A g i = λi g i . Т.к. спектры матриц A и A совпадают⎜g ⎟⎝ 3i ⎠(определяются из одного и того же характеристического уравнения), то B = DA DT⎛ g11⎜D = ⎜ g 21⎜g⎝ 31Т.о.,g12g 22g 32g13 ⎞⎟g 23 ⎟ .g 33 ⎟⎠TT~SAS −1 = A = B = B T = (DA T D −1 ) = (D −1 ) AD T ,т.е.

можем положитьS−1⎛ g 11⎜= D = ⎜ g12⎜g⎝ 13Tg 21g 22g 23g 31 ⎞⎟g 32 ⎟ .g 33 ⎟⎠−1⎛ λ1⎜=⎜ 0⎜0⎝0λ200⎞⎟0 ⎟ , гдеλ3 ⎟⎠⎛ R1 ⎞⎛u⎞⎛ g11⎜ ⎟⎜ ⎟⎜Тогда ⎜ R2 ⎟ = G ⎜ v ⎟ , где G = ⎜ g12⎜R ⎟⎜ w⎟⎜g⎝ 2⎠⎝ ⎠⎝ 13g 21g 22g 23g 31 ⎞⎟g 32 ⎟ .g 33 ⎟⎠1 ⎞⎛ g 11 ⎞ ⎛ 3 − 3 1 ⎞⎛ g11 ⎞⎛1 + 2 − 3⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟λ1 = −2 : A − λ1 E g 1 = ⎜ − 3 1 + 2 − 1 ⎟⎜ g 21 ⎟ = ⎜ − 3 3 − 1⎟⎜ g 21 ⎟⎜ 1− 1 5 + 2 ⎟⎠⎜⎝ g 31 ⎟⎠ ⎜⎝ 1 − 1 7 ⎟⎠⎜⎝ g 31 ⎟⎠⎝()T( 3)⎛ 3 −3 1 ⎞( 2)⎜⎟(1) + ( 2 )⎜ − 3 3 − 1⎟ ⎯⎯⎯→⎜ 1 −1 7 ⎟⎝⎠(1)⎛ 1 − 1 7 ⎞ ( 2 ) +3(1) ⎛ 1 − 1 7 ⎞ ⎛ 1 − 1 7 ⎞⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟1) − 7 ( 2 )( 3)⎯→ ⎜ 0 0 20 ⎟ → ⎜ 0 0 1 ⎟ ⎯(⎯⎯⎯→⎜ − 3 3 − 1⎟ ⎯⎯ ⎯⎜ 0⎟⎜⎟⎜⎟00⎠⎝⎝0 0 0 ⎠ ⎝0 0 0⎠⎛1⎞⎛ 1 − 1 0 ⎞ ⎛ 1 0 − 1⎞ ⎛ g11 ⎞⎛1⎞⎜ ⎟⎟⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎜ ⎟⎜ 0 0 1 ⎟ → ⎜ 0 1 0 ⎟ и ⎜ g 31 ⎟ = C ⎜ 0 ⎟ .

Т.о. g 1 = ⎜ 1 ⎟ и R1 = u + v .⎜ 0⎟⎜0 0 0⎟ ⎜0 0 0 ⎟ ⎜ g ⎟⎜1⎟⎝ ⎠⎝⎠ ⎝⎠ ⎝ 21 ⎠⎝ ⎠Т.к. условие для R1 ставится на правой границе, то уже сейчас можно сказать, что условия 1)7 и 4)8 неподходят.1 ⎞⎛ g12 ⎞ ⎛ − 2 − 3 1 ⎞⎛ g12 ⎞⎛1 − 3 − 3⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟λ2 = 3 : A − λ2 E g 2 = ⎜ − 3 1 − 3 − 1 ⎟⎜ g 22 ⎟ = ⎜ − 3 − 2 − 1⎟⎜ g 22 ⎟⎜ 1− 1 5 − 3 ⎟⎠⎜⎝ g 32 ⎟⎠ ⎜⎝ 1 − 1 2 ⎟⎠⎜⎝ g 32 ⎟⎠⎝(T)( 3)⎛− 2 − 3 1 ⎞(1) + 2 (3 )⎜⎟( 2 ) + 3 ( 3)⎯→⎜ − 3 − 2 − 1⎟ ⎯⎯ ⎯⎜ 1 −1 2 ⎟⎝⎠(1)⎛ 1 − 1 2 ⎞ −( 2 ) / 5 ⎛ 1 − 1 2 ⎞⎜⎟ ( 3) + ( 2 ) ⎜⎟ (1) +( 2)⎜ 0 − 5 5 ⎟ ⎯⎯⎯→ ⎜ 0 1 − 1⎟ ⎯⎯⎯→⎜0 − 5 5⎟⎜0 00 ⎟⎠⎝⎝⎠⎛1 0 1 ⎞⎜⎟⎜ 0 1 − 1⎟ и⎜0 0 0 ⎟⎝⎠⎛1⎞⎛ g12 ⎞⎛ − 1⎞⎜ ⎟⎜⎟⎜ ⎟⎜ g 32 ⎟ = C ⎜ 1 ⎟ .

Т.о. g 2 = ⎜ − 1⎟ и R2 = u − v − w .⎜ − 1⎟⎜g ⎟⎜1⎟⎝ ⎠⎝ 22 ⎠⎝ ⎠1 ⎞⎛ g13 ⎞ ⎛ − 5 − 3 1 ⎞⎛ g13 ⎞⎛1 − 6 − 3⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟λ3 = 6 : A T − λ3 E g 3 = ⎜ − 3 1 − 6 − 1 ⎟⎜ g 23 ⎟ = ⎜ − 3 − 5 − 1⎟⎜ g 23 ⎟⎜ 1− 1 5 − 6 ⎟⎠⎜⎝ g 33 ⎟⎠ ⎜⎝ 1 − 1 − 1⎟⎠⎜⎝ g 33 ⎟⎠⎝()( 3)⎛− 5 − 3 1 ⎞(1) + 5 (3 )⎜⎟( 2 ) + 3 ( 3)⎯→⎜ − 3 − 5 − 1⎟ ⎯⎯ ⎯⎜ 1 − 1 − 1⎟⎝⎠(1)⎛ 1 − 1 − 1 ⎞ −( 2 ) / 8 ⎛ 1 − 1 − 1 ⎞⎜⎟ ( 3) − ( 2 ) ⎜⎟ (1) +( 2)⎜ 0 − 8 − 4 ⎟ ⎯⎯⎯→ ⎜ 0 1 1 / 2 ⎟ ⎯⎯⎯→⎜ 0 − 8 − 4⎟⎜0 00 ⎟⎠⎝⎝⎠⎛ 1 0 − 1/ 2 ⎞⎜⎟⎜ 0 1 1/ 2 ⎟ и⎜0 00 ⎟⎠⎝⎛1⎞⎛ g13 ⎞⎛ 1/ 2 ⎞⎜ ⎟⎜⎟⎜⎟⎜ g 33 ⎟ = C ⎜ − 1 / 2 ⎟ .

Т.о. g 3 = ⎜ − 1⎟ и R3 = u − v + 2w .⎜2⎟⎜g ⎟⎜ 1 ⎟⎝ ⎠⎝ 23 ⎠⎝⎠ 7 u (t ,0) + v (t ,0) = ψ 1 (t ),8 u (t ,0 ) + v(t ,0 ) = ψ 1 (t ) ,u(t ,1) − v (t ,1) + 2 w(t ,1) = ψ 2 (t ), u(t ,0) − v (t ,0) − w(t ,0) = ψ 3 (t ). u(t ,0) − v(t ,0) + 2 w(t ,0) = ψ 2 (t ), u(t ,1) − v(t ,1) − w(t ,1) = ψ 3 (t ). Т.к.

условие для R2 и R3 ставится на левой границе, то условие 2)9 поставлено корректно.Б) В) В новых переменных система распадается на три уравнения для каждого из инвариантов римана, которыебудем решать независимо:∂R3∂R∂R1∂R∂R2∂R−2 1 = f +g ,+3 2 = f − g −h,+ 6 3 = f − g + 2h .∂t∂x∂t∂x∂t∂xДля первого уравнения простейшая схема первого порядка (правый явный уголок)p mn +1 − p mnp mn +1 − p mnn−2= ( f + g )m будет устойчивой и монотонной при выполнении условияhτ2τкуранта10 0 < σ 1 << 1 11.hПо этой схеме рассчитываем значения во внутренних узлах и на левой границе.Для второго и третьего уравнений простейшие схемы первого порядка (левый явный уголок)q mn +1 − q mnq mn − q mn −1r n +1 − rmnrn − rnnn= ( f − g − h )m и m+ 6 m m −1 = ( f − g + 2h )m будут устойчивы иττhh3τ6τмонотонны при выполнении условий куранта 0 < σ 2 <<1 и 0 < σ3 << 1 , соответственно.hh+3По этим схемам рассчитываем значения во внутренних узлах и на правой границе.Для выполнения условий куранта во всех трех случаях на предложенном шаблоне выбираетотношение шаговτh< 91.6 u (t ,1) + v(t ,1) = ψ 1 (t ) , u (t ,0) − v (t ,0) + 2 w(t ,0) = ψ 2 (t ),u(t ,0) − v (t ,0) − w(t ,0) = ψ 3 (t ).

10 Условие Куранта-Фридрикса-Леви: Пусть область влияния разностной схемы содержит в себе область влияниядифференциального уравнения. Разностная схема является неустойчивой, если это условие не выполнено.11 Характеристики x = at + c уравнения в частных производныхdt dx∂u∂u=+a= f находим из уравнения. 1a∂t∂x.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов учебной работы