Iv_task5 (1178896)
Текст из файла
Ñåðãåé Èâàíû÷åâÃðóïïà 376ÔÓÏÌ ÌÔÒÈsergeyivanychev@gmail.comvk.com/ivanychevsergey+79104577995Âåðñèÿ 1.1Çàäàíèå 5Ðåãóëÿðíûå ÿçûêè: èòîãîâîå çàäàíèå.Çàäà÷à 1Îïðåäåëåíèå, íà îñíîâàíèè êîòîðîãî âåäåòñÿ äàëüíåéøåå ðàññóæäåíèå çâó÷èò ñëåäóþùèìîáðàçîì âçÿòî èç Âèêèïåäèè. Ñîãëàñíî ýòîìó îïðåäåëåíèþ,ïðàâèëüíûå ñêîáî÷íûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îáðàçóþò ÿçûê Äèêà è ôîðìàëüíî îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:ïóñòàÿ ñòðîêà ïðàâèëüíàÿ ñêîáî÷íàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü;• ïðàâèëüíàÿ ñêîáî÷íàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, âçÿòàÿ â ñêîáêè îäíîãî òèïà ïðàâèëüíàÿ ñêîáî÷íàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü;• ïðàâèëüíàÿ ñêîáî÷íàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, ê êîòîðîé ïðèïèñàíà ñëåâà èëè ñïðàâàïðàâèëüíàÿ ñêîáî÷íàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òîæå ïðàâèëüíàÿ ñêîáî÷íàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü.•Îäíèì èç ñâîéñòâ ÿçûêà Äèêà D2 ÿçûêà ïðàâèëüíûõ ñêîáî÷íûõ âûðàæåíèé ñ äâóìÿ òèïàìè ñêîáîê ÿâëÿåòñÿ ðàâåíñòâî êîëè÷åñòâ îòêðûâàþùèõ è çàêðûâàþùèõ ñêîáîê îäíîãîòèïà.
Òàê ∀w ∈ D2 , |w|( = |w|) .Ïóñòü ýòî íå òàê, òî åñòü ñóùåñòâóåò ÑÏ ñ íåðàâíûì êîëè÷åñòâîì îòêðûâàþùèõñÿ è çàêðûâàþùèõñÿ ñêîáîê îäíîãî òèïà, òîãäà äàííàÿ ÑÏ (áåç ïîòåðè îáùíàñòè ðàññìàòðèâàåìíåðàâíûå ïî êîëè÷åñòâó ñêîáêè (, ), îáîçíà÷èì åå b) íå ÿâëÿåòñÿ ïóñòîé ñòðîêîé, òî åñòüïî îïðåäåëåíèþ b = (b0 ), b = [b00 ] èëè b = b1 b2 , ãäå |b| > |b0 |, |b00 ||b1 |, |b2 |. Åñëè â b - íåðàâíîå êîëè÷åñòâî ñêîáîê (, ), òîãäà â b0 , b00 òàêæå íåðàâíîå êîëè÷åñòâî ïîäîáíûõ ñêîáîê èëè,â ñëó÷àå 3, â êàêîé-òî èç ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòåé b1 , b2 íåðàâíîå êîëè÷åñòâî ïîäîáíûõñêîáîê. Òîãäà ðàññìîòðèì ñîîòâåòñòâåííóþ, ìåíüøóþ ïî äëèíå ïîäñòðîêó è ïðèìåíèì äëÿíåå ýòè æå ðàññóæäåíèÿ.Òàê êàê äëèíà èçíà÷àëüíîé ñòðîêè áûëà êîíå÷íîé, òî â ñî÷åòàíèè ñ òåì, ÷òî êàæäàÿ ïîäîáíàÿ ïîäñòðîêà íå ÿâëÿåòñÿ ïóñòîé ñòðîêîé, ìû ïðèõîäèì ê ïðîòèâîðå÷èþ, òàê êàê â èòîãåïîëó÷àåì ïðè êîíå÷íîé ïîëñëåäîâàòåëüíîñòè äàííûõ ðàññóæäåíèé ïîäñòðîêó äëèíîé ìåíüøåé èëè ðàâíîé íóëÿ, ÷åãî áûòü íå ìîæåò, èç ÷åãî ñëåäóåò äîêàçûâàåìîå óòâåðæäåíèå1Ïóñòü äàííûé ÿçûê ÿâëÿåòñÿ ðåãóëÿðíûì, òîãäà äëÿ íåãî ñïðàâåäëèâà ëåììà î íàêà÷êå.Ïóñòü p êîíñòàíòà èç ëåììû, òîãäà ðàññìîòðèì ñëîâî w = (p )p [].
Äàííîå ñëîâî ÿâëÿåòñÿïðàâèëüíîé ñêîáî÷íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ, òàê êàêw = w1 w2 , w1 = (p )p , w2 = [ ]Ãäå w êîíêàòåíàöèÿ ñêîáî÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé w1 è w2 , êàæäàÿ èç êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿïðàâèëüíîé, òàê êàê âòîðàÿ âçÿòàÿ â ñêîáêè ïóñòàÿ ñòðîêà (ðåêóðåíòíûå ïðàâèëà 1 è 2),ïåðâàÿ n ðàç âçÿòàÿ â ñêîáêè ïðàâèëüíàÿ ñêîáî÷íàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, òàê êàê íàïîñëå ïåðâîãî øàãà w11 = () ïðàâèëüíàÿ ñêîáî÷íàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, íà i-ì øàãå ïðèw1i−1 ÏÑÊ, ñëåäóåò, ÷òî w1i = (w1i−1 ) ïðàâèëüíàÿ ñêîáî÷íàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïîðåêóðåíòíîìó ïðàâèëó 2.
Ïî èíäóêöèè ïîëó÷àåì, ÷òî w1 ≡ w1p ÏÑÊ, òî åñòü w = w1 w2 êîíêàòåíàöèÿ äâóõ ÏÑÊ, ò.å. ÏÑÊ.Äëÿ ñëîâà w ïî òåîðåìå î íàêà÷êå, ∃w = xyz : |y| > 0, íî òîãäà y = (k , k 6= 0 ⇒ w0 :w0 = xyyz, |w0 |( 6= |w0 |) , òàê êàê |w|( = |w|) , òî åñòü w0 íå ïðèíàäëåæèò ÿçûêó Äèêà, òî åñòüëåììà î íàêà÷êå íå ðàáîòàåò äëÿ ýòîãî ÿçûêà, òîãäà îí íå ÿâëÿåòñÿ ðåãóëÿðíûì.Çàäà÷à 2Ñ÷èòàåì, ÷òî â ëþáîì òðîè÷íîì ïðåäñòàâëåíèè ñëîâà èç L ñóùåñòâóåò òðåòèé ñèìâîë ñêîíöà, íå ÿâëÿþùèéñÿ ëèäèðóþùèì íóëåì.  òðîè÷íîé çàïèñè òðåòèé ñèìâîë ñïðàâà 2, òîåñòü äîïóñòèìû 32 = 9 ðàçëè÷íûõ âàðèàíòîâ òðåõ ïîñëåäíèõ ñèìâîëîâ (íà ïðåäïîñëåäíåéè ïîñëåäíåé ïîçèöèÿõ ìîãóò áûòü 0, 1, 2) {200, 201, 202, 210, 211, 212, 220, 221, 222}.Ïóñòü w - íåêîòîðîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, w = an .
. . a0 ïðåäñòàâëåíèå ÷èñëà â òðîè÷íîìâèäå, ãäå an ïåðâàÿ íåíóëåâàÿ öèôðà ñëåâà.w=nXai 3i(1)i=0ÏóñòüS ∗ = {n| n = 2 · 32 + a1 31 + a0 30 , a2 , a1 , a0 ∈ {0, 1, 2}}(2)Ãäå S ìíîæåñòâî îñòàòêîâ ïðè äåëåíèè íà 33 = 27. Ñ÷èòàÿ ïîíÿòèÿ L è ìíîæåñòâî ÷èñåë,ïîëó÷àþùèõñÿ èíòåðïðåòàöèåé ñëîâ èç L êàê äâîè÷íûå ïðåäñòàâëåíèÿ, ýêâèâàëåíòíûìè èîáîçíà÷àÿ çà L, äîêàæåì ÷òî L = {n| n mod 27 ∈ S ∗ } ≡ QQ ⊂ L, òàê ∀q ∈ Q â òðîè÷íîì ïðåäñòàâëåíèè èìåþò äâîéêó â êà÷åñòâå âòîðîãî ñïðàâàñèìâîëà. Ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî, òàê êàê ëþáîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî îäíîçíà÷íî ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå 1, òî îñòàòîê îò äåëåíèÿ íà 33 áóäóò õàðàêòåðèçîâàòü ëèøü êîýôôèöèåíòûïðè 32 , 31 , 30 , òàê êàê âñå îñòàëüíûå íàòóðàëüíûå ñòåïåíè òðîéêè äåëÿòñÿ íà 27.
Êîýôôèöèåíòû ïðè ýòèõ òðåõ ñòåïåíÿõ áóäóò õàðàêòåðèçîâàòü ïîñëåäíèå òðè öèôðû â òðîè÷íîì2ïðåäñòàâëåíèè, ïðè ýòîì êîýôôèöèåíò ïðè 32 ðàâåí 2, ÷òî ñëåäóåò èç ïðèíàäëåæíîñòèîñòàòêà îò äåëåíèÿ q íà 27 ê ìíîæåñòâó S∗ è îäíîçíà÷íîñòè ïðåäñòàâëåíèÿ â âèäå 1.L ⊂ Q, òàê êàê ∀l ∈ L, îñòàòîê îò äåëåíèÿ l íà 27 áóäåò ëåæàòü â ìíîæåñòâå S ∗ , òàê êàêòðåòüÿ ñ êîíöà öèôðà l ðàâíà 2, à â ìíîæåñòâå S ∗ ïðèñóòñòâóþò âñå âîçìîæíûå îñòàòêèïðè äåëåíèè íà 27 ïðè òðåòüåé ñ êîíöà äâîéêå, ÷òî ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ ìíîæåñòâà.Èòàê L = Q, òî åñòü ÄÊÀ äîëæåí ðàñïîçíàâàòü ÷èñëà ñ îñòàòêàìè, ëåæàùèìè â S ∗ èòîëüêî èõ.Çàäàäèì àâòîìàò ñëåäóþùèì îáðàçîì:A = (Q, Σ, qin , δ, F )Q = {qin , q0 , .
. . , q26 }Σ = (0, 1)δ : (qi , 0) → qj : j = 2i mod 27; (qi , 1) → qk : k = (2i + 1) mod 27, i ∈ [0 . . . 26];(qin , 0) → q0 , (qin , 1) → q1F = {qi |i ∈ S ∗ }(3)Îáðàòèì âíèìàíèå íà òî, ÷òî äàííûé àâòîìàò äåòåðìåíèðîâàííûé, òàê êàê ïî ëþáîéïàðå (w, l ∈ Σ) îòîáðàæåíèå îïðåäåëåíî â åäèíñòâåííóþ âåðøèíó.Ïóñòü w âõîäíîå ñëîâî. Äîêàæåì, ÷òî, ëèáî w = ε, ëèáî èíäåêñ j ñîñòîÿíèÿ (qin , w) `∗(qj , ε) ðàâåí îñòàòêó îò äåëåíèÿ ÷èñëà n, ÿâëÿþùåãîñÿ äâîè÷íîé èíòåðïðåòàöèåé ñëîâà w,íà 27.1.Áàçà èíäóêöèè.
Èç âåðøèíû qin èìååì ïåðåõîä â q0, q1 ïðè ïåðåõîäå ïî 0, 1 ñîîòâåò-2.Øàã èíäóêöèè Ïóñòü w0 6= 0 ñ÷èòàíî è w0 mod 27 = i, ïðè ýòîì àâòîìàò íàõîäèòñÿ âñòâåííî, èíäåêñû êîòîðûõ ðàâíû ñîîòâåòñòâåííûì îñòàòêàì ïðè äåëåíèè íà 27ñîñòîÿíèè qi , òîãäà• qi 6= qin , òàê êàê â qin íåò ïåðåõîäîâ.• Ïðè ñ÷èòûâàíèè íóëÿ èìååì ñ÷èòàííîå ñëîâî w0 0, çíà÷åíèå êîòîðîãî 2 · w0 , òîåñòü èç ñâîéñòâ àðèôìåòèêè îñòàòêîâ 2 · w0 mod 27 = 2i mod 27. Ïðè ýòîì èçîïðåäåëåíèÿ δ íîâûé èíäåêñ ñîñòîÿíèÿ òàêæå ðàâåí 2i mod 27 (ïðè ïåðåõîäåïî 0), òî åñòü èíäåêñ ñîñòîÿíèÿ ïðè ñ÷èòàííîì ïîäñëîâå w0 0 ñîâïàäàåò ñ åãîîñòàòêîì ïðè äåëåíèè íà 27• Ïðè ñ÷èòûâàíèè åäèíèöû èìååì ñ÷èòàííîå ñëîâî w0 1, çíà÷åíèå êîòîðîãî 2·w0 +1,òî åñòü àíàëîãè÷íî ïóíêòó âûøå èìååì èíäåêñ ñîñòîÿíèÿ ïðè ñ÷èòàííîì ïîäñëîâå w0 1 ñîâïàäàåò ñ åãî îñòàòêîì ïðè äåëåíèè íà 27.3.
Èç êîíå÷íîñòè w èìååì ëèáî òî, ÷òî w = ε, ëèáî (qin , w) `∗ (qj , ε) : j = w mod 27 èçèíäóêöèè. Óòâåðæäåíèå äîêàçàíî.Òåïåðü äîêàæåì, ÷òî L = L(A).3L ⊂ L(A), òàê êàê ∀l ∈ L, l mod 27 ∈ S ∗ , è, â ÷àñòíîñòè, l 6= ε. Èç äîêàçàííîãî âûøåóòâåðæäåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî èíäåêñ êîíå÷íîãî äëÿ l ñîñòîÿíèÿ ëåæèò â S ∗ , òî åñòü êîíå÷íîåäëÿ l ñîñòîÿíèå ÿâëÿåòñÿ ïðèíèìàþùèì ïî îïðåäåëåíèþ ìíîæåñòâà F àâòîìàòà A.L(A) ⊂ L.
∀w ∈ L(A), w mod 27 ∈ S ∗ èç îïðåäåëåíèÿ àâòîìàòà, íî òîãäà w ∈ Q ≡ L.L = L(A), òî åñòü èñêîìûé ÄÊÀ ïîñòðîåí.Çàäà÷à 3Çàäà÷à 4Ïîñòðîèì A è B , êîòîðûå ðàñïîçíàþò ñîîòâåòñòâåííî ÿçûêè, â êîòîðîì íåò òðåõ áóêâ aïîäðÿä(L1 ) è â êîòîðîì ÷èñëî áóêâ b â êàæäîì ñëîâå ÷åòíî(L2 ).A:bq0baaq1q2aq3a, bbÄîêàæåì, ÷òî àâòîìàò A ðàñïîçíàåò ÿçûê L1 .Ïóñòîå ñëîâî ïðèíèìàåòñÿ àâòîìàòîì è ëåæèò â L1 . ∀w ∈ L1 , w ∈ L(A). Ïóñòü ýòî íå òàê,òîãäà êîíå÷íûì ñîñòîÿíèåì ïðè ðàñïîçíàâàíèè íåêîãî w ∈ L1 , ñòàëî q3 , íî â q3 ìîæíîqaaïîïàñòü òîëüêî ïî îòîáðàæåíèþ q2 −→ q3 , â q2 òîëüêî ïî q1 −→ q2 , â q1 òîëüêî ïî q0 →− 1 , òîåñòü â ñëîâå w åñòü ïîäñëîâî aaa, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ïðèíàäëåæíîñòè L1 .Äîêàæåì, ÷òî L(A) ⊂ L1 .
Îêîí÷àíèå â q0 , q1 èëè q2 îçíà÷àåò, ÷òî â ñëîâå, ïðîàíàëèçèðîâàííîì àâòîìàòîì, íå áûëî ïîäñëîâà aaa, òàê êàê â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ïðè íà÷àëå ñ÷èòûâàíèÿäàííîãî ïîäñëîâà, èç ëþáîãî ñîñòîÿíèÿ ìû ïîïàäàåì â q3 :q0q1q2q3→ q1→ q2→ q3→ q3→ q2→ q3→ q3→ q3Ñëåäîâàòåëüíî, L(A) = L1 .B:4→ q3→ q3→ q3→ q3(4)bq0q1baaL2 ∈ L(B) Òàê êàê àâòîìàò ìåíÿåò ñîñòîÿíèå ñ q0 íà q1 è íàîáîðîò òîëüêî ïðî÷èòàâ î÷åaa→ q1 .→ q0 , q1 −ðåäíóþ áóêâó b. Ïðè ñ÷èòûâàíèè a àâòîìàò íå ìåíÿåò ñîñòîÿíèÿ, òàê êàê q0 −∀w ∈ L2 , |w|b mod 2 = 0, òî åñòü àâòîìàò ïîìåíÿåò ñîñòîÿíèå ÷åòíîå ÷èñëî ðàç, òî åñòüêîíå÷íûì ñîñòîÿíèåì áóäåò q0 , ÿâëÿþùååñÿ ïðèíèìàþùèì.L(B) ∈ L2 , òàê êàê ïðèíÿòîå ñëîâî ìåíÿëî ñîñòîÿíèå ÷åòíîå ÷èñëî ðàç, ïðè ýòî ñîñòîÿíèåìåíÿåòñÿ íà äðóãîå ëèøü ïðè ïåðåõîäå ïî b, òî åñòü ∀w ∈ L(B), |w|b mod 2 = 0.Òàêèì îáðàçîì L2 = L(B).Îòìåòèì, ÷òî îáà ïîñòðîåííûõ àâòîìàòà ÿâëÿåòñÿ ïîëíûìè, òîãäà ïîñòðîèì L = L1 ∪ L2ðàâíûé ïåðåñå÷åíèþ ýòèõ ÿçûêîâ, òàê êàê äëÿ ñëîâ èç L è òîëüêî íèõ âûïîëíÿþòñÿ îáàñâîéñòâà.
Ïîñòðîèì àâòîìàò ïî àëãîðèòìó ïîñòðîåíèÿ ÄÊÀ ïåðåñå÷åíèÿ ÿçûêîâ. Ñ÷èòàåì,÷òî ïåðâûé ýëåìåíò â ïàðå ñîñòîÿíèå èç B , à âòîðîå èç A.(0, 1)a(0, 2)aaa(0, 0)(0, 3)bbb bb b(1, 3)(1, 0)bbaa(1, 2)aa(1, 1)Äàííûé àâòîìàò ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì, òîãäà ïî óòâåðæäåíèþ, äîêàçàííîìó â ïðåäûäóùåì5çàäàíèè â ïðåäïîñëåäíåé çàäà÷å, ñëåäóåò, ÷òî ïðè èíâåðòèðîâàíèè ïðèíèìàåìîñòè êàæäîéâåðøèíû ìû ïîëó÷èì àâòîìàò, ðàñïîçíàþùèé äîïîëíåíèå ÿçûêà L.(0, 1)a(0, 2)aaa(0, 0)b(0, 3)bb b(1, 3)b bb(1, 0)baa(1, 2)aa(1, 1)Òåïåðü ïîñòðîèì äëÿ äàííîãî ïîëíîãî àâòîìàòà, àâòîìàò, ðàñïîçíàþùèé èíâåðòèðîâàííûéRÿçûê L̄ .
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
