Модулированные колебания, спектральный анализ, линейная фильтрация (1178574), страница 3
Текст из файла (страница 3)
9á: çäåñü íåò îòðèöàòåëüíûõ ÷àñòîò, à äëèíû ñòðåëî÷åê íà ïîëîæèòåëüíûõ ÷àñòîòàõ â ñîîòâåòñòâèè ñ (15) óäâàèâàþòñÿ. Ïðè ýòîì ïîñòîÿííûå13ñîñòàâëÿþùèå (íà ÷àñòîòå ω = 0) â ðàçëîæåíèÿõ (13) è (14) îäèíàêîâû: a0 == c0 .Ïîä÷åðêí¼ì åù¼ ðàç, ÷òî ìû ãîâîðèì î ðàçëîæåíèè â ðÿä Ôóðüå (ëèáîðÿä (13), ëèáî ðÿä (14)) äåéñòâèòåëüíûõ óíêöèé f (t).PSfragàññìîòðèì âíà÷àëå ëèøü íåñêîëüêî ïðîñòûõ èçè÷åñêè èíòåðåñíûõ ïðèìåðîâ.4.2. Ïðèìåðû ñïåêòðàëüíûõ ðàçëîæåíèéf (t) = a0 cos2 ω0 t. Èñïîëüçóÿ èçâåñòíîå òðèãîíîìåòðè÷åñêîå òîæäåñòâî, çàïèøåìÇàäà÷à 2.f (t) =à)a0a0a0a0a0+cos 2ω0 t =+ ei2ω0 t + e−i2ω0 t .22244cnplaementsa02a04a04−2ω002ω0aná)a020a02(16)Ïåðâîå èç ðàâåíñòâ (16) ðàçëîæåíèå â ðÿä(14), âòîðîå â ðÿä (13).
Êîíñòàíòó a0 /2 ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ãàðìîíè÷åñêîå êîëåáàíèå íóëåâîé ÷àñòîòû, ïîýòîìó ðàâåíñòâî (16) ω ýòî åñòü ïðåäñòàâëåíèå êîëåáàíèÿ f (t) â âèäåñóììû äâóõ ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé îäèíàêîâîé àìïëèòóäû a0 /2 ñ ÷àñòîòàìè ω1 = 0 èω2 = 2ω0 (âî âòîðîì ñëó÷àå ñ ÷àñòîòàìè 2ω0è −2ω0 ). Ñïåêòð ïðîöåññà f (t) ïðåäñòàâëåí íàðèñ. 10à (ðàçëîæåíèå â ðÿä (13)) è íà ðèñ. 10áω (ðàçëîæåíèå â ðÿä (14)).2ω0èñ. 10àññìîòðèì àìïëèòóäíî-ìîäóëèðîâàííîå êîëåáàíèåÇàäà÷à 3.f (t) = a(t) cos ω0 t,ãäå a(t) = a0 (1 + m cos Ωt).(17)Êîíñòàíòà m < 1 íàçûâàåòñÿ ãëóáèíîé ìîäóëÿöèè. Ìû èìååìf (t) = a0 (1 + m cos Ωt) cos ω0 t =ma0ma0cos(ω0 + Ω)t +cos(ω0 − Ω)t.= a0 cos ω0 t +22(18)ma0ma0cos(ω0 + Ω)t, f2 (t) =cos(ω0 − Ω)t22ma00ñ ÷àñòîòàìè ñîîòâåòñòâåííî ω0 , ω0 + Ω, ω0 − Ω è àìïëèòóäàìè a0 , ma2 , 2 .Êîëåáàíèå f0 (t) íàçûâàåòñÿ íåñóùèì êîëåáàíèåì, à f1 (t) è f2 (t) áîêîâûìè ãàðìîíèêàìè.
Óñëîâèå êâàçèãàðìîíè÷íîñòè êîëåáàíèÿ f (t): Ω ≪ ω0 . Â14à)á)S0S1â)S0S2t=0t=T8S1S2ã)S1S0t=T4S0S1S2S2t=T2èñ. 11 ïðîöåññå êîëåáàíèé îñòà¼òñÿ íåèçìåííûì íàïðàâëåíèå ñóììàðíîãî âåêòîðà S = S 0 + S 1 + S 2 , èçìåíÿåòñÿ ëèøü åãî äëèíà (îò ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ a0 (1 + m) äî ìèíèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ a0 (1 − m)), ÷òî ñîîòâåòñòâóåòàìïëèòóäíîé ìîäóëÿöèè.Çàäà÷à 4. àññìîòðèì òåïåðü ïðèìåð àçîâîé ìîäóëÿöèè (êîëåáàíèå, ìîäóëèðîâàííîå ïî àçå):f (t) = a0 cos(ω0 t + ϕ(t)),ãäå ϕ(t) = m cos Ωt.(19)Êîíñòàíòà m ãëóáèíà ìîäóëÿöèè àçû îïðåäåëÿåò äèàïàçîí èçìåíåíèÿíà÷àëüíîé àçû (îò −m äî +m) èëè (åñëè îáðàòèòüñÿ ê âåêòîðíîé äèàãðàììå) ¾àìïëèòóäó êà÷àíèÿ¿ âåêòîðà S (ðèñ. 8á). Èñïîëüçóÿ èçâåñòíîå òðèãîíîìåòðè÷åñêîå òîæäåñòâîcos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β,Èòàê, àìïëèòóäíî-ìîäóëèðîâàííîå êîëåáàíèå ñ çàêîíîì ìîäóëÿöèè (17) ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ñóììû òð¼õ ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé (òð¼õ ãàðìîíèê):f0 (t) = a0 cos ω0 t, f1 (t) =ýòîì ñëó÷àå öåëåñîîáðàçíî ðàññìàòðèâàòü êîëåáàíèÿ f1 (t) è f2 (t) êàê êîëåáàíèÿ ÷àñòîòû ω0 , íà÷àëüíàÿ àçà êîòîðûõ ìåíÿåòñÿ ïî çàêîíó ϕ1 (t) = +Ωt èϕ2 (t) = −Ωt.
Äðóãèìè ñëîâàìè, íà âåêòîðíîé äèàãðàììå, ãäå íåñóùåå êîëåáàíèå èçîáðàæàåòñÿ íåïîäâèæíûì âåêòîðîì S 0 , êîëåáàíèÿ f1 (t), f2 (t) èçîáreplaementsðàæàþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî âåêòîðàìè S 1 è S 2 , êîòîðûå âðàùàþòñÿ (ïðîòèâ èïî ÷àñîâîé ñòðåëêå) ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ Ω (ñ ïåðèîäîì T = 2π/Ω).Íà ðèñ. 11 ïîêàçàíû ïîñëåäîâàòåëüíûå ñòàäèè âåêòîðíîãî ñëîæåíèÿ íåñóùåãî êîëåáàíèÿ ñ áîêîâûìè ãàðìîíèêàìè.çàïèøåì f (t) â âèäåf (t) = a0 cos ω0 t cos ϕ(t) − sin ω0 t sin ϕ(t) . îáùåì ñëó÷àå çàêîí ìîäóëÿöèè (19) ïðèâîäèò ê äîâîëüíî ñëîæíîìó ñïåêòðó (ñ áîëüøèì ÷èñëîì ñëàãàåìûõ ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé). Ìû ðàññìîòðèì ñëó÷àé m ≪ 1 (ìàëàÿ ãëóáèíà ìîäóëÿöèè àçû), êîãäà ìîæíî èñïîëüçîâàòü ïðèáëèæ¼ííûå âûðàæåíèÿ: cos ϕ(t) ≈ 1, sin ϕ(t) ≈ ϕ(t) (ìû îòáðàñûâàåìâåëè÷èíû ïîðÿäêà m2 è âûøå).
Òîãäàf (t) = a0 cos ω0 t − a0 m sin ω0 t cos Ωt,15èëè (ò. ê. 2 sin α cos β = sin(α + β) + sin(α − β)):ma0π ma0πf (t) = a0 cos ω0 t ++. (20)cos (ω0 + Ω)t +cos (ω0 − Ω)t +2222Ýòî è åñòü èñêîìîå ïðåäñòàâëåíèå êîëåáàíèÿ f (t) â âèäå ñóììû ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé.Ñðàâíèì îðìóëû (18) è (20). Ïåðâàÿ èç íèõ ðàçëîæåíèå â ñïåêòðplaementsêîëåáàíèÿ, ìîäóëèðîâàííîãî ïî àìïëèòóäå, âòîðàÿ êîëåáàíèÿ, ìîäóëèðîâàííîãî ïî àçå. Ýòè êîëåáàíèÿ ñèëüíî ðàçëè÷àþòñÿ ïî îðìå (ñðàâíèòåîñöèëëîãðàììû íà ðèñ.
6á è 6â), îäíàêî èõ ñïåêòðû âåñüìà ïîõîæè (ðèñ. 12). îáîèõ ñëó÷àÿõ â ïðàâîé ÷àñòè òðè ñëàãàana0åìûõ, òðè ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèÿ, èìåþùèõma0 îäèíàêîâûå ÷àñòîòû (ω0 , ω0 ± Ω) è àìïëèòóäû2(a0 íåñóùèå êîëåáàíèÿ, ma0 /2 áîêîâûå ãàðìîíèêè). àçëè÷èå âûãëÿäèò íåáîëüøèì: áîêîâûåω0 ω0ãàðìîíèêèîòëè÷àþòñÿ àçîâûì ñäâèãîì π2 . Îäíàcnêî ýòî ðàçëè÷èå ïðèâîäèò ê êàðäèíàëüíîìó îòëè÷èþ â îðìå (â îñöèëëîãðàììå f (t)) ðåçóëüòèðóa02þùåãîñèãíàëà. Âåêòîðíûå äèàãðàììû íà ðèñ. 13ma0à)4ïîÿñíÿþòýòîò ðåçóëüòàò: ïîâîðîò âåêòîðîâ S 1 èá)ω0 ω S îòíîñèòåëüíî âåêòîðà S íà π (ðèñ. 13à, ñð. ñ−ω00202g replaementsèñ.
12ðèñ. 11à) ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî ñ òå÷åíèåì âðåìåíè (ðèñ. 13á, â, ã) ñóììàðíûé âåêòîð (èçîáðàæ¼í ïóíêòèðîì) èçìåíÿåò óãîëíàêëîíà, íå èçìåíÿÿ (ñ òî÷íîñòüþ äî âåëè÷èíû ïîðÿäêà m2 ) ñâîåé äëèíû,÷òî è ñîîòâåòñòâóåò àçîâîé ìîäóëÿöèè. Ýòîò ïðèìåð ïîä÷¼ðêèâàåò, êàêóþîãðîìíóþ ðîëü èãðàþò àçîâûå ñîîòíîøåíèÿ ïðè ñëîæåíèè êîëåáàíèé.4.3. Ñïåêòð ïåðèîäè÷åñêîãî ïðîöåññààññìîòðèì òåïåðü ïåðèîäè÷åñêèé êîëåáàòåëüíûé ïðîöåññ îáùåãî âèäàf (t) = f (t + T ), ãäå T ïåðèîä ïðîöåññà.  ýòîì ñëó÷àå óíêöèÿ f (t) ìîæåòáûòü ïðåäñòàâëåíà ñóììîé ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé ñ êðàòíûìè ÷àñòîòàìèωn = nω0 , ãäå T = 2π/ω0 :f (t) =XnÄåéñòâèòåëüíî, äëÿ ëþáîãî t óíêöèÿ (21) ïîâòîðÿåò ñâî¼ çíà÷åíèå ÷åðåçâðåìÿ T , ïîñêîëüêóeinω0 (t+T ) = einω0 t einω0 T = ei2πn einω0 t = einω0 t .Ñïåêòð {cn } ìîæíî íàéòè ñëåäóþùèì îáðàçîì: äîìíîæèì îáå ÷àñòè ðàâåíñòâà (21) íà e−imω0 t è ïðîèíòåãðèðóåì ïî t çà âðåìÿ, ðàâíîå ïåðèîäó (îò − T2äî + T2 ).
Ïîëó÷èìTZ/2f (t)e−imω0 tdt =Xâ)á)t=0t=T8ã)t=T4TZ/2ei(n−m)ω0 t dt.−T /2Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî èíòåãðàë â ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà åñòüTZ/2ei(n−m)ω0 tdt =0Tïðè n 6= m,ïðè n = m.(Èíòåãðàë îò óíêöèé cos(n − m)ω0 t è sin(n − m)ω0 t çà âðåìÿ T , ðàâíîåöåëîìó ÷èñëó ïåðèîäîâ êîëåáàíèÿ ýòèõ óíêöèé, ðàâåí 0 ïðè n 6= m.) Ñëåäîâàòåëüíî, ïîëó÷àåìt=T2èñ. 13Èòàê, èçìåíèâ àçó íåñóùåãî êîëåáàíèÿ (èëè áîêîâûõ ãàðìîíèê) íà π2 ,ìû ìîæåì ïðåîáðàçîâàòü êîëåáàíèå, ìîäóëèðîâàííîå ïî àçå, â àìïëèòóäíîìîäóëèðîâàííîå êîëåáàíèå. Ýòî èçâåñòíûé â ðàäèîòåõíèêå ¾ïðè¼ì ñ èçìåíåíèåì àçû íåñóùåé¿.×èòàòåëü ìîæåò ñàìîñòîÿòåëüíî ïðîàíàëèçèðîâàòü ¾ïðè¼ì áåç íåñóùåé¿:÷òî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìîäóëèðîâàííîå êîëåáàíèå f (t), åñëè ¾óáðàòü¿ ïåðâîåñëàãàåìîå íåñóùåå êîëåáàíèå a0 cos ω0 t?16cnn−T /2−T /2à)(21)cn einω0 t .cm1=TTZ/2f (t)e−imω0 t dt.(22)−T /2Ôîðìóëà (22) äà¼ò ïðàâèëî íàõîæäåíèÿ êîýèöèåíòîâ ðàçëîæåíèÿ ïåðèîäè÷åñêîé óíêöèè â ðÿä Ôóðüå.Çàäà÷à 5.
Íàéòè ñïåêòð ïåðèîäè÷åñêîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïðÿìîóãîëüíûõèìïóëüñîâ äëèòåëüíîñòè τ ñ ïåðèîäîì ñëåäîâàíèÿ èìïóëüñîâ T > τ (ðèñ. 14).Èñïîëüçóÿ (22), íàõîäèì17plaements1èñóíîê ñîîòâåòñòâóåò ñèòóàöèè, êîãäà 3ω0 = ∆ω , T = 3τ . Êàê âèäíî èçðèñóíêà, ñïåêòðàëüíûå ãàðìîíèêè, èìåþùèå çàìåòíóþ àìïëèòóäó, ñîñðåäîòî÷åíû â èíòåðâàëå ÷àñòîò |ω| . ∆ω = 2π/τ .f (t)1cn =TtτTτZ/21 · e−inω0 t dt4.4. Ñïåêòð íåïåðèîäè÷åñêîãî ñèãíàëà−τ /2èñ. 14(íà èíòåðâàëå èíòåãðèðîâàíèÿ T /2 6 t 6 T /2 óíêöèÿ f (t) îòëè÷íà îò íóëÿè ðàâíà åäèíèöå ëèøü â îáëàñòè |t| < τ /2). Äàëåå1cn =TτZ/2−τ /2τ /2e−inω0 t1 1d(−inω0 t) =e−inω0 t =−inω0T −inω0−τ /2τ=22Teinω0 τ /2 − e−inω0 τ /2.2inω0 τ /2àññìîòðèì çàäà÷ó ðàçëîæåíèÿ â ñïåêòð ïðîèçâîëüíîãî ñèãíàëà f (t).Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ïðîèçâîëüíûé ñèãíàë íå ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â âèäå (13) ëèáî (14), ò.
å. â âèäå ñóììû ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé ñ äèñêðåòíûìíàáîðîì ÷àñòîò ωn .  îáùåì ñëó÷àå íåîáõîäèì íåïðåðûâíûé íàáîð ãàðìîíèê, íåîáõîäèìî ñóììèðîâàòü ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ, ÷àñòîòû êîòîðûõíåïðåðûâíî çàïîëíÿþò íåêîòîðûé (áûòü ìîæåò, áåñêîíå÷íûé) èíòåðâàë ÷àñòîò. Òî åñòü íåîáõîäèìî èìåòü íå òîëüêî êîëåáàíèÿ ñ ÷àñòîòàìè ω1 , ω2 , . . .,ωn , íî òàêæå è âñå ÷àñòîòû â ïðîìåæóòêå ìåæäó íèìè. Ïðè ýòîì ðÿä (13)çàìåíÿåòñÿ èíòåãðàëîì Ôóðüå:Îêîí÷àòåëüíî íàõîäèìf (t) =cn =τTsin nω0 τ /2nω0 τ /2C(ω)ω0ω0 2ω02∆ωèñ.
15Ñïåêòð {cn } ïîêàçàí íà ðèñ. 15. Ïóíêòèðíîé êðèâîé èçîáðàæåíà óíêöèÿτ sin ωτ /2.C(ω) =Tωτ /2Î÷åâèäíî, ïðè ω = nω0 ýòà óíêöèÿ ïðèíèìàåò çíà÷åíèå, ðàâíîå cn : cn == C(nω0 ). Ïîëóøèðèíà ∆ω ãëàâíîãî ìàêñèìóìà ýòîé óíêöèè îïðåäåëÿåòñÿóñëîâèåì sin ωτ /2 = 0:τ∆ω · = π2èëè18(24)C(ω)eiωt dω.−∞(23).cnPSfrag replaements∞Z12πÌíîæèòåëü C(ω) = a(ω)eiϕ(ω) ïîêàçûâàåò, ñ êàêèì âåñîì (ò.
å. ñ êàêîé àìïëèòóäîé a(ω) è ñ êàêîé íà÷àëüíîé àçîé ϕ(ω)) íåîáõîäèìî ñêëàäûâàòü ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ ðàçíûõ ÷àñòîò, ÷òîáû ïðè ñóììèðîâàíèè (èíòåãðèðîâàíèè)îáðàçîâàòü çàäàííûé ñèãíàë f (t). Ôóíêöèÿ C(ω) íàçûâàåòñÿ ñïåêòðîì (èëèïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå) ñèãíàëà f (t).Êàê íàéòè ñïåêòð, åñëè ñèãíàë f (t) èçâåñòåí? Ïðèâåä¼ì îðìóëó, âûâîäêîòîðîé äàí â ï. 8.3:∞ZC(ω) =(25)f (t)e−iωt dt.−∞Ñîîòíîøåíèå (25) ìàòåìàòèêè íàçûâàþò ïðÿìûì ïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå, àîðìóëó (24) îáðàòíûì ïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå. Ñâÿçü (24) ìåæäó óíêöèÿìè f (t) è C(ω) ñèìâîëè÷åñêè çàïèñûâàåòñÿ â âèäå f (t) ↔ C(ω).Êàê ÿñíî èç (25), ñïåêòð äåéñòâèòåëüíîé óíêöèè (f (t) ≡ f ∗ (t)) îáëàäàåò îïðåäåë¼ííîé ñèììåòðèåé: C(ω) = C ∗ (−ω) è, ñëåäîâàòåëüíî, |C(ω)| == |C(−ω)| (∗ çíàê êîìïëåêñíîãî ñîïðÿæåíèÿ). Ìàòåìàòèêè íàçûâàþò ýòîñâîéñòâî ýðìèòîâîñòüþ.Çàäà÷à 6.
àçëîæåíèå â ñïåêòð ïðÿìîóãîëüíîãî èìïóëüñà äëèòåëüíîñòè τ(ðèñ. 16à). Èñïîëüçóÿ (25), ïîëó÷àåìC(ω) =∆ω · τ = 2π.τZ/2−τ /2e−iωt1dt =−iωτZ/2−τ /219e−iωt d(−iωt) = τsin ωτ /2.ωτ /2PSfrag replaementsSfrag replaementsf (t)1C0 (ω)C(ω)2πτ− 2πτtτZ(ω)á)à)ω−Ω2∆ωωΩ02Ω0ω02Ωωèñ. 16èñ. 17Ôóíêöèÿ C(ω) ïîêàçàíà íà ðèñ. 16á.Ïîëåçíî ñðàâíèòü ñïåêòð îòäåëüíîãî èìïóëüñà ñî ñïåêòðîì ïåðèîäè÷åñêîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îäèíàêîâûõ èìïóëüñîâ (ðèñ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
