Модулированные колебания, спектральный анализ, линейная фильтрация (1178574), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Ìîäóëèðîâàííûå êîëåáàíèÿ. Àìïëèòóäíàÿ è àçîâàÿàçå êîëåáàíèÿ ϕ0 (ðèñ. 4). Ïðè ýòîì ÷àñòîòà ω ãàðìîíè÷åñêîãî êîëåáàíèÿìîäóëÿöèèïðåäïîëàãàåòñÿ çàäàííîé. Ñìûñë ýòîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ñîñòîèò â ñëåäóþùåì.Äëÿ ïåðåäà÷è ñèãíàëîâ ìóçûêè, ðå÷è, òåëåâèçèîííîãî èçîáðàæåíèÿ Âîîáðàçèì, ÷òî âåêòîð S âðàùàåòñÿ âîêðóã òî÷êèSíåîáõîäèìîíàðóøåíèå ñèíóñîèäàëüíîñòè. Îòêëîíåíèå îò ñèíóñîèäàëüíîñòèO ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè (àa2 S 2èâûðàæàåòñîäåðæàíèå ïåðåäàâàåìîé èíîðìàöèè. Êîëåáàòåëüíûé ïðîöåññ,ìû ñäåëàëè ìãíîâåííóþ îòîãðàèþ â ìîìåíò t =aϕ2îòëè÷íûéîòãàðìîíè÷åñêîãî, íàçîâ¼ì ìîäóëèðîâàííûì êîëåáàíèåì.
Ïðèìåðû= 0, êîãäà óãîë íàêëîíà âåêòîðà Φ(t) = ωt + ϕ0 ðàâåía1òàêèõïðîöåññîâ(èõ îñöèëëîãðàììû) ïðèâåäåíû íà ðèñ. 6.ϕ0 ). Çàìåòèì, ÷òî ïðîåêöèÿ âåêòîðà S íà îñü x ïðèS1ϕ10âðàùåíèè èçìåíÿåòñÿ ïî çàêîíó f (t) = a cos(ωt + ϕ0 ),ò. å. ñîâåðøàåò ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ.èñ. 5åîìåòðè÷åñêîå èçîáðàæåíèå ãàðìîíè÷åñêîãî êî PSfrag replaementsëåáàíèÿ f (t) â âèäå âåêòîðà S óäîáíî èñïîëüçîâàòü ïðè ðåøåíèè çàäà÷è ñëîæåíèÿ êîëåáàíèé.
Ïóñòü ìû èìååì äâå ñêàëÿðíûå âåëè÷èíû f1 è f2 , èçìåíÿþùèõñÿ ïî ãàðìîíè÷åñêîìó çàêîíó ñ îäèíàêîâîé ÷àñòîòîé ω :á)â)à)f1 (t) = a1 cos(ωt + ϕ1 ),f2 (t) = a2 cos(ωt + ϕ2 ).èñ. 6Íåîáõîäèìî íàéòè êîëåáàíèå f (t) (ñêàëÿðíóþ âåëè÷èíó), ÿâëÿþùååñÿ ñóììîé êîëåáàíèé f1 (t) è f2 (t):f (t) = f1 (t) + f2 (t).Èçîáðàçèì êîëåáàíèÿ f1 (t) è f2 (t) â âèäå âåêòîðîâ S 1 è S 2 (ðèñ. 5), âåêòîðS ñóììàðíûé âåêòîð.
Âåêòîðû S 1 , S 2 , S îáðàçóþò òðåóãîëüíèê, ïðè÷¼ìâíåøíèé óãîë òðåóãîëüíèêà (óãîë ∆ϕ ìåæäó âåêòîðàìè S 1 è S 2 ) ðàâåí ðàçíîñòè àç êîëåáàíèé f1 è f2 . Ïðåäñòàâèì ñåáå, ÷òî âåêòîðû S 1 è S 2 âðàùàþòñÿ ñ îäíîé è òîé æå óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè. ßñíî, ÷òîóãîë ϕ ìåæäó âåêòîðàìè S 1 è S 2 îñòà¼òñÿ ïðè òàêîì âðàùåíèè íåèçìåííûì,à ñóììàðíûé âåêòîð S ïîâåðí¼òñÿ çà âðåìÿ t (êàê è S 1 è S 2 ) íà óãîë ωt, ò. å.8Áóäåì çàïèñûâàòü ìîäóëèðîâàííûå êîëåáàíèÿ â âèäåf (t) = a(t) cos(ω0 t + ϕ(t)).(5) îòëè÷èå îò ãàðìîíè÷åñêîãî êîëåáàíèÿ, çäåñü a(t) è ϕ(t) ìåíÿþùèåñÿ âîâðåìåíè âåëè÷èíû.
Ôîðìà çàïèñè (5) îñîáåííî öåëåñîîáðàçíà â òîì ñëó÷àå,êîãäà a(t) è ϕ(t) ìåäëåííî ìåíÿþùèåñÿ óíêöèè âðåìåíè, ò. å. íà èíòåðâàëàõ âðåìåíè τ , ñóùåñòâåííî ïðåâûøàþùèõ ïåðèîä ãàðìîíè÷åñêîãî (òàêíàçûâàåìîãî ¾íåñóùåãî¿) êîëåáàíèÿ ÷àñòîòû ω0 :τ≫92π,ω0(6)f (t) = a(t) cos(ω0 t + ϕ0 ),(7)ãäå a(t) > 0. Òàêîå êîëåáàíèå íàçûâàþò ìîäóëèðîâàííûì ïî àìïëèòóäå.Åñëè a(t) = a0 = const, òîf (t) = a0 cos(ω0 t + ϕ(t)).(8)a(t)Îïåðàöèþ ìîäóëÿöèè ïåðåìíîæåíèå ìîäóëèðóþùåãî ñèãíàëà f0 (t) íà ìîäóëèðóåìîå âûñîêî÷àñòîòíîå ãàðìîíè÷åñêîå êîëåáàíèå eiω0 t ïðèíÿòî èçîáðàæàòü â âèäå áëîê-ñõåìû (ðèñ.
7).Òàêèì îáðàçîì, íåïðåìåííûìè ñîñòàâíûìè ÷àñòÿìè ëþáîé ïåðåäàþùåéðàäèîñòàíöèè ÿâëÿþòñÿ: ãåíåðàòîð âûñîêî÷àñòîòíîãî ãàðìîíè÷åñêîãî êîëåáàíèÿ eiω0 t , èñòî÷íèê ñèãíàëà f0 (t), ñîäåðæàùåãî ïåðåäàâàåìóþ èíîðìàöèþ,è ìîäóëÿòîð óñòðîéñòâî, îñóùåñòâëÿþùåå èõ ïåðåìíîæåíèå.PSfrag replaementsÒàê æå, êàê è ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ,êâàçèãàðìîíè÷åñêèå ïðîöåññû èçîáðàæàþòâ âèäå âåêòîðîâ. Åñëè ãàðìîíè÷åñêîå êîëåáàíèåa0ϕ(t)f (t) = a0 cos(ω0 t + ϕ0 )(10)ϕ0ýòè óíêöèè îñòàþòñÿ ïðàêòè÷åñêè íåèçìåííûìè: a(t) ≈ a0 è ϕ(t) ≈ ϕ0 .Òàêîå êîëåáàíèå íàçûâàåòñÿ êâàçèãàðìîíè÷åñêèì.  ýòîì ñëó÷àå ìåäëåííîìåíÿþùèåñÿ âåëè÷èíû a(t) è ϕ(t) ïðèíÿòî íàçûâàòü àìïëèòóäîé è íà÷àëüíîéàçîé ìîäóëèðîâàííîãî êîëåáàíèÿ.Èòàê, êâàçèãàðìîíè÷åñêîå êîëåáàíèå ìîæíî õàðàêòåðèçîâàòü äâóìÿ ïàðàìåòðàìè: ïåðèîäîì íåñóùåãî êîëåáàíèÿ T0 = 2π/ω0 è âðåìåíåì τ ≫ T0 ,õàðàêòåðèçóþùèì áûñòðîòó èçìåíåíèÿ àìïëèòóäû a(t) è (èëè) íà÷àëüíîéàçû ϕ(t).Äëÿ ïåðåäà÷è ðàäèîñèãíàëîâ èñïîëüçóþòñÿ âûñîêî÷àñòîòíûå íåñóùèå êîëåáàíèÿ (îò ñîòåí êèëîãåðö äî ñîòåí ìåãàãåðö), â òî âðåìÿ êàê ìîäóëÿöèîííûå îòêëîíåíèÿ îò ñèíóñîèäàëüíîñòè, êîòîðûå îïèñûâàþòñÿ óíêöèÿìèa(t) è ϕ(t), õàðàêòåðèçóþòñÿ ñâîåé ìåäëåííîñòüþ, ò.
å. ñðàâíèòåëüíî íèçêèìèçâóêîâûìè ÷àñòîòàìè (îò äåñÿòêîâ äî òûñÿ÷ ãåðö), òàêèì îáðàçîì, íåðàâåíñòâî (6) âûïîëíÿåòñÿ, êàê ïðàâèëî, ñ áîëüøèì çàïàñîì. Äëÿ îïèñàíèÿ ìîäóëèðîâàííûõ êîëåáàíèé èñïîëüçóåòñÿ ñëåäóþùàÿ òåðìèíîëîãèÿ: ãîâîðÿò, ÷òîóíêöèÿ a(t) îïèñûâàåò çàêîí àìïëèòóäíîé ìîäóëÿöèè, à óíêöèÿ ϕ(t) çàêîí àçîâîé ìîäóëÿöèè. Èìåííî â ýòèõ óíêöèÿõ è çàëîæåíà ïåðåäàâàåìàÿèíîðìàöèÿ.Åñëè ϕ(t) = ϕ0 = const, òîà)á)èçîáðàæàåòñÿ âåêòîðîì S 0 , èìåþùèì èêñèðîâàííóþ äëèíó a0 è íàïðàâëåíèå ϕ0 , òîèñ. 8ìîäóëèðîâàííîå êîëåáàíèå íà òîé æå âåêòîðíîé äèàãðàììå åñòåñòâåííî èçîáðàçèòü â âèäå âåêòîðà, äëèíà êîòîðîãî a(t) è (èëè) óãîë íàêëîíà ϕ(t)ìåäëåííî èçìåíÿþòñÿ (ìåäëåííî åñëè ðå÷ü èä¼ò î êâàçèãàðìîíè÷åñêîìêîëåáàíèè).
 ÷àñòíîñòè, àìïëèòóäíî-ìîäóëèðîâàííîå êîëåáàíèå (7) èçîáðàæàåòñÿ âåêòîðîì íåèçìåííîãî íàïðàâëåíèÿ ϕ0 , äëèíà êîòîðîãî èçìåíÿåòñÿ(ðèñ. 8à), à êîëåáàíèå (8), ìîäóëèðîâàííîå ïî àçå, âåêòîðîì íåèçìåííîéäëèíû, óãîë íàêëîíà êîòîðîãî ϕ(t) èçìåíÿåòñÿ (êà÷àíèÿ âåêòîðà íà ðèñ. 8á).Àðãóìåíò êîñèíóñà â (8) íàçûâàþò àçîé ìîäóëèðîâàííîãî êîëåáàíèÿΦ(t) = ω0 t + ϕ(t), ïðè÷¼ì â îòëè÷èå îò ãàðìîíè÷åñêîãî êîëåáàíèÿ ñêîðîñòüèçìåíåíèÿ àçû Φ̇ (âåëè÷èíà, êîòîðóþ ìîæíî íàçâàòü ÷àñòîòîé ω ) ÿâëÿåòñÿóíêöèåé âðåìåíèω(t) = Φ̇(t) = ω0 + ϕ̇(t).(11)Òàêîå êîëåáàíèå íàçûâàþò ìîäóëèðîâàííûì ïî àçå. îáùåì ñëó÷àå èìååì êàê àìïëèòóäíóþ, òàê è àçîâóþ ìîäóëÿöèþ, ò.
å.êîëåáàíèå âèäà (5).Ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå ðåàëüíîìó ìîäóëèðîâàííîìó êîëåáàíèþ (5) êîìïëåêñíóþ óíêöèþz(t) = a(t)ei[ω0 t+ϕ(t)] .(9)Åñëè âûïîëíåíî óñëîâèå êâàçèãàðìîíè÷íîñòè (6), òî ϕ̇(t) ≪ ω0 , ò. å. ìåíÿþùàÿñÿ âî âðåìåíè ÷àñòîòà ω(t) ìàëî îòêëîíÿåòñÿ îò ÷àñòîòû ω0 ãàðìîíè÷åñêîãî êîëåáàíèÿ (10).Îòìåòèì òàêæå, ÷òî åñëè ϕ(t) ìåíÿåòñÿ ïî ëèíåéíîìó çàêîíó ϕ(t) = Ωt,òî ìû ïîëó÷àåì èç (11)ω = ω0 + Ω,(12)Êîëåáàíèå (5) ÿâëÿåòñÿ äåéñòâèòåëüíîé ÷àñòüþ êîìïëåêñíîé óíêöèè z(t): f (t) = Re z(t).Ôóíêöèÿ z(t) ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ óíêöèè f0 (t) = a(t)eiϕ(t) , ñîäåðæàùåé âñþèíîðìàöèþ î çàêîíàõ ìîäóëÿöèè a(t) è ϕ(t), èóíêöèè eiω0 t ãàðìîíè÷åñêîãî íåñóùåãî êîëåáàíèÿ (çàïèñàííîãî â êîìïëåêñíîé îðìå)z(t) = f0 (t)eiω0 t .ò. å. ãàðìîíè÷åñêîå êîëåáàíèå ñî ñìåù¼ííîé ÷àñòîòîé, ïðè÷¼ì Ω ≪ ω0 ïðèóñëîâèè (6). ñèñòåìå êîîðäèíàò, â êîòîðîé ãàðìîíè÷åñêîå êîëåáàíèå ÷àñòîòû ω0 èçîáðàæàåòñÿ íåïîäâèæíûì âåêòîðîì, êîëåáàíèå ñ ÷àñòîòîé ω = ω0 +Ω èçîáðàæàåòñÿ âåêòîðîì, ìåäëåííî âðàùàþùèìñÿ ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè ñ ÷àñòîòîéΩ, åñëè Ω > 0 è ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå ïðè Ω < 0.Îñöèëëîãðàììû ïðîöåññîâ íà ðèñ.
6à, á ÿâëÿþòñÿ ïðèìåðàìè àìïëèòóäíîìîäóëèðîâàííûõ êîëåáàíèé, à íà ðèñ. 6â ïðèìåð êîëåáàíèÿ, ìîäóëèðîâàííîãî ïî àçå.1011plaements eiω0 tf0 (t)eiω0 tf0 (t)èñ. 74. Ñïåêòðàëüíîå ðàçëîæåíèåÊàêîâà ñâÿçü ìåæäó êîýèöèåíòàìè ýòèõ ðàçëîæåíèé: êîìïëåêñíûì êîýèöèåíòîì cn è äåéñòâèòåëüíûìè ÷èñëàìè an , ϕn ? Êàæäîå ñëàãàåìîå ðÿäà(14) ìîæíî ñ ïîìîùüþ îðìóëû Ýéëåðà:4.1. Äåéñòâèòåëüíàÿ è êîìïëåêñíàÿ îðìà ñïåêòðàëüíûõðàçëîæåíèéÈòàê, ïðè èçó÷åíèè ëèíåéíûõ ñèñòåì (èëüòðîâ) âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòü ïðåäñòàâëåíèÿ ïðîèçâîëüíîãî ñèãíàëà (ìîäóëèðîâàííîãî êîëåáàíèÿ)f (t) â âèäåXf (t) =cn eiωn t .(13)Ïðåäñòàâëåíèå (13) íàçûâàåòñÿ ðàçëîæåíèåì ñèãíàëà f (t) â ðÿä Ôóðüå, à îòäåëüíûå ñëàãàåìûå ðÿäà (ñîñòàâëÿþùèå ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ) cn eiωn tíàçûâàþò ãàðìîíèêàìè.
Ñîâîêóïíîñòü êîýèöèåíòîâ cn íàçûâàåòñÿ ñïåêòðîì óíêöèè f (t), ïðè ýòîì |cn | îïðåäåëÿåò àìïëèòóäó ãàðìîíèêè ÷àñòîòûωn , à arg cn íà÷àëüíóþ àçó.àâåíñòâî (13) óòâåðæäàåò, ÷òî ìîæíî ïîäîáðàòü àìïëèòóäû è àçû ñëàãàåìûõ ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé, à òàêæå èõ ÷àñòîòû òàê, ÷òîáû ïîëó÷èòüâ ñóììå çàäàííûé ñèãíàë f (t).  äàëüíåéøåì ìû áóäåì ãîâîðèòü (åñëè íå äåëàåòñÿ ñïåöèàëüíûõ îãîâîðîê) î ñèãíàëàõ, îïèñûâàåìûõ äåéñòâèòåëüíûìèóíêöèÿìè f (t). Ïîäðîáíåå óñëîâèÿ, íàëàãàåìûå íà óíêöèè f (t), ïðè âûïîëíåíèè êîòîðûõ âîçìîæíî ðàçëîæåíèå (13), èçó÷àþòñÿ â êóðñàõ ìàòåìàòèêè.Çäåñü æå îòìåòèì çàìå÷àòåëüíûå ìàòåìàòè÷åñêèå ñâîéñòâà ãàðìîíè÷åñêèõóíêöèé.Âî-ïåðâûõ, ãàðìîíè÷åñêîå êîëåáàíèå eiω0 t ÷àñòîòûìîæåò áûòü ïðåäPω0 íåñòàâëåíî ñóïåðïîçèöèåé ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèécn eiωn t äðóãèõ ÷àñòîòωn 6= ω0 , êàêèå áû êîýèöèåíòû cn , ò. å.
àìïëèòóäû è àçû ñëàãàåìûõãàðìîíèê, ìû íè ñòàðàëèñü ïîäîáðàòü. Ìàòåìàòè÷åñêè ýòî ñâîéñòâî íàçûâàþò îðòîãîíàëüíîñòüþ: óíêöèÿ eiω0 t íå èìååò ¾ïðîåêöèè¿ íà ëþáóþ äðóãóþóíêöèþ eiωn t ïðè ω0 6= ωn , ïîäîáíî òîìó êàê âåêòîð, ïàðàëëåëüíûé îñè z ,íåâîçìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû âåêòîðîâ, ïàðàëëåëüíûõ îñÿì x è y .Âòîðîå âàæíåéøåå ìàòåìàòè÷åñêîå ñâîéñòâî åäèíñòâåííîñòü ïðåäñòàâëåíèÿ (13): ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé íàáîð íåîáõîäèìûõ ÷àñòîò ωn è åäèíñòâåííûé íàáîð îòâå÷àþùèõ ýòèì ÷àñòîòàì àìïëèòóä an è àç ϕn , îáåñïå÷èâàþùèõ ïðåäñòàâëåíèå óíêöèè f (t) â âèäå ñóïåðïîçèöèè ãàðìîíè÷åñêèõóíêöèé. Íàêîíåö, íå âäàâàÿñü â ìàòåìàòè÷åñêèå äåòàëè, îòìåòèì åù¼ îäíîâàæíîå îáñòîÿòåëüñòâî: ëþáîé èçè÷åñêè ðåàëèçóåìûé êîëåáàòåëüíûé ïðîöåññ ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â âèäå ñóììû (áûòü ìîæåò, â âèäå íåïðåðûâíîéñóììû èíòåãðàëà) ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé.Íàðÿäó ñ ðàçëîæåíèåì (13) ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ ðàçëîæåíèå äåéñòâèòåëüíûõ óíêöèé â ðÿä Ôóðüå âèäàf (t) =Xan cos(ωn t + ϕn ).12(14)cos α =eiα + e−iα2ïðåäñòàâèòü â âèäåan cos(ωn t + ϕn ) =an iϕn iωn t an −iϕn −iωn te+e,ee22îòêóäà ÿñíî, ÷òî ðàçëîæåíèÿ (13) è (14) áóäóò òîæäåñòâåííû, åñëè ñóììèðîâàíèå â (13) ïðîâîäèòü êàê ïî ïîëîæèòåëüíûì ÷àñòîòàì ωn (èìåþùèì ïîíÿòíûé èçè÷åñêèé ñìûñë), òàê è ïî îòðèöàòåëüíûì (îðìàëüíî ââåä¼ííûì)÷àñòîòàì ωn , ïðè÷¼ì ñîîòâåòñòâóþùèå êîýèöèåíòû èìåþò âèäcn =1an eiϕn ,2c−n =1an e−iϕn2(15)(êîýèöèåíòû c−n ñîîòâåòñòâóþò îòðèöàòåëüíûì ÷àñòîòàì −ωn ), ò.å êàæäîìó ñëàãàåìîìó an cos(ωn t + ϕn ) ðÿäà (13) ñîîòâåòñòâóþò äâà ñëàãàåìûõcn eiωn t è c−n e−iωn t ðÿäà (14).Ìû âèäèì, ÷òî ïðè ðàçëîæåíèè{cn }äåéñòâèòåëüíûõ óíêöèé f (t) â ðÿäà)replaementsÔóðüå êîýèöèåíòûPSfragðàçëîæåíèÿc−n íà îòðèöàòåëüíûõ ÷àñòîòàõ ñâÿçàíû ñ êîýèöèåíòàìè cn ïðîñòûìϕ1ϕ2ñîîòíîøåíèåì cn = c∗−n , ò.
å. ÿâëÿϕ3ϕ4þòñÿ êîìïëåêñíî-ñîïðÿæ¼ííûìè. Òàωêèì îáðàçîì, ãàðìîíèêè ñ îòðèöà−ω4 −ω3 −ω2−ω1 0 ω1 ω2 ω3 ω4òåëüíûìè ÷àñòîòàìè íå íåñóò êàêîéëèáî äîïîëíèòåëüíîé èíîðìàöèè î{an }ñèãíàëå f (t).á)Ñïåêòð óíêöèè f (t) ïðèíÿòîèçîáðàæàòü â âèäå ãðàèêà (ðèñ. 9):äëèíà ñòðåëî÷êè íà êàæäîé ÷àñòîòå ωn îïðåäåëÿåòñÿ ìîäóëåì êîýèöèåíòà cn (ò. å. àìïëèòóäîé ñîîòωâåòñòâóþùåãî ãàðìîíè÷åñêîãî êîëåωωωω12340áàíèÿ). Ñëåäóåò óêàçàòü òàêæå àçûèñ. 9ϕn ñïåêòðàëüíûõ êîìïîíåíò.Ñîîòâåòñòâóþùåå ðàçëîæåíèå (14) (â ðÿä êîñèíóñîâ) ïðåäñòàâëåíî íà ãðàèêå ðèñ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
