Неопределённый интеграл (1177100), страница 3
Текст из файла (страница 3)
.
Универсальная тригонометрическая подстановка всегда рационализирует подынтегральную функцию, с её помощью легко берутся интегралы вида 
(
- постоянные); однако часто она приводит к очень громоздким рациональным дробям, у которых, в частности, практически невозможно найти корни знаменателя. Поэтому при возможности применяются частные подстановки, которые тоже рационализируют подынтегральную функцию и приводят к менее сложным дробям.
10.9.2. Частные тригонометрические подстановки.
10.9.2.1. Подынтегральная функция нечётна относительно 
, т.е. 
. В этом случае применима подстановка 
.
10.9.2.2. Подынтегральная функция нечётна относительно 
, т.е. 
. В этом случае применима подстановка 
.
10.9.2.3. Подынтегральная функция чётна относительно и , т.е. 
. В этом случае применима подстановка 
(или 
, причём ответить на вопрос, что лучше, может только проба). Выражения , и 
через 
: 
.
Примеры: 1. 
. Подынтегральная функция нечётна относительно : 
, поэтому 
.
(можно перейти к более просто: 
и т.д.
2. 
(Подынтегральная функция нечётна относительно ) = 
.
3. 
(подынтегральная функция не меняется при одновременном изменении знака у и , поэтому ) 
.
При нахождении таких интегралов для понижения степеней иногда целесообразно воспользоваться основным тригонометрическим тождеством:
.
Интегрирование степеней и 
попадает под пункт 10.9.2.3:
10.9.3. Интегрирование произведения чётных степеней 
. При вычислении интегралов 
следует понизить степень тригонометрических функций переходом к косинусу двойного угла: 
. Угол удваивается до тех пор, пока одна из степеней не станет нечётной, после этого можно воспользоваться приёмами 10.9.2.1 или 10.9.2.2. Пример: 
.
10.9.4. Интегрирование произведений синусов и косинусов кратных дуг. При нахождении интегралов вида 
, 
, 
с помощью школьных тригонометрических формул
, 
, 
задача сводится к интегрированию линейной комбинации тех же функций (с другими аргументами). Пример: 
.
10.10. Интегрирование некоторых алгебраических иррациональностей.
10.10.1. Интегралы вида 
, где 
- натуральное число, 
- функция, рационально зависящая от своих аргументов.
Пример такой функции - 
. Как видно из этого примера, к рассматриваемому типу сводятся интегралы вида 
, где 
- рациональные числа, так как, если - общий знаменатель чисел , то подынтегральная функция рационально зависит от 
и 
. Подстановка 
рационализирует подынтегральную функцию, т.е. сводит её к рациональной функции переменной 
. Пример:
. Наименьшее общее кратное показателей корней равно 6, поэтому применяем подстановку 
: 
.
10.10.2. Интегралы вида 
, где 
- постоянные, остальные параметры имеют тот же смысл, что и в предыдущем разделе, рационализируются подстановкой 
. Пример: 
.
10.10.3. Тригонометрические подстановки для интегралов вида 
.
В разделе 10.7. Интегралы, содержащие квадратный трёхчлен, мы уже рассматривали некоторые методы интегрирования таких функций. Здесь мы рассмотрим тригонометрические подстановки для вычисления таких интегралов, которые сводят подынтегральную функцию к функции, рационально зависящей от и . После выделения полного квадрата в трёхчлене (и соответствующей линейной замены переменной) интеграл сводится, в зависимости от знаков 
и дискриминанта трёхчлена, к интегралу одного из следующих трёх видов: 
, 
, 
. Далее:
-
![]()
рационализируется подстановкой ![]()
(или ![]()
). Мы применяли эту подстановку в разделе 10.5. Замена переменной в неопределённом интеграле. -
![]()
рационализируется подстановкой ![]()
(или ![]()
, или ![]()
). -
![]()
рационализируется подстановкой ![]()
(или ![]()
, или ![]()
).
Примеры: 1. 
. Интеграл вида , из возможных подстановок наиболее удобной оказывается 
( это можно установить только пробой!). 
, поэтому 
. Ответ можно записать поизящнее. По школьным формулам 
, поэтому 
.
2. 
.
119
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
