Неопределённый интеграл (1177100), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Приведённые примеры показывают, для каких функций надо применять (или попытаться применить) формулу интегрирования по частям:
10.6.1. Интегралы вида 
, 
, 
, где 
- многочлен 
-ой степени. Так, для имеем 
, 
, и 
. В результате мы получили интеграл того же типа с многочленом степени на единицу меньше. После -кратного применения формулы степень многочлена уменьшится до нуля, т.е. многочлен превратится в постоянную, и интеграл сведётся к табличному.
10.6.2. Интегралы 
, где 
- трансцендентная функция, имеющая дробно-рациональную или дробно-иррациональную производную (
). В этом случае имеет смысл взять 
, для того, чтобы в интеграле 
участвовала не , а её производная. Пример: 
.
10.6.3. Для некоторых функций применяется приём «сведения интеграла к самому себе». С помощью интегрирования по частям (возможно, неоднократного) интеграл выражается через такой же интеграл; в результате получается уравнение относительно этого интеграла, решая которое, находим значение интеграла. Примеры:
Найти 
(это интеграл №19 из табл. 10.3.неопределённых интегралов; в предыдущем параграфе мы вычислили этот интеграл с помощью тригонометрической подстановки 
).
.
В результате для искомого интеграла мы получили уравнение 
,
решая которое, получаем 
(константа 
появилась вследствие того, что интегралы 
в правой и левой частях уравнения определены с точностью до произвольной постоянной) и 
(константа 
переобозначена через ). Аналогично выводится интеграл №20 из табл. 10.3.неопределённых интегралов.
Сведение интеграла к самому себе – самый простой способ нахождения часто встречающихся интегралов вида 
и 
(
). Например, 
. Итак, после двукратного интегрирования по частям получено уравнение относительно : 
, решение которого 
.
При нахождении эти интегралов не принципиально, положим ли мы 
или 
; важно только при втором применении формулы интегрирования по частям загонять под знак дифференциала функцию того же типа, что и при первом (показательную или тригонометрическую).
10.6.4. Ещё один вид формул, которые обычно получаются с помощью интегрирования по частям, и используются для нахождения интегралов - рекуррентные соотношения. Если подынтегральная функция зависит от некоторого параметра , и получено соотношение, которое выражает интеграл через аналогичный интеграл с меньшим значением , то это соотношение и называется рекуррентным соотношением. Примеры:
. Представим подынтегральную функцию в виде 
; интеграл от первого слагаемого аналогичен исходному с значением параметра на две единицы меньше; к интегралу от второго слагаемого применим формулу интегрирования по частям:
.
Теперь, зная 
, 
, мы можем выписать 
; 
;
и т.д.
В качестве второго примера выведем ещё рекуррентную формулу для интеграла, который нам понадобится в дальнейшем: 
:
.
Теперь, начиная с 
, можем найти
и т.д.
10.7. Интегралы, содержащие квадратный трёхчлен 
.
10.7.1. Интегралы вида 
(
) приводятся к табличным выделением полного квадрата в трёхчлене: 
. Смысл этих преобразований: слагаемое 
в числителе превращаем в производную получившегося знаменателя; второе слагаемое в числителе от 
не зависит. Теперь относительно переменной 
интеграл свёлся к 
, где 
, 
. Первый интеграл 
, второй - один из табличных интегралов 14, 15.
Пример: 
.
Тот же результат можно получить формальной заменой переменной 
(производная знаменателя), или 
, или 
:
(после всех преобразований) 
.
10.7.2. Интегралы вида 
( ) с помощью той же операции (выделение полного квадрата) приводятся к одному из табличных интегралов 18,19 (в зависимости от знака 
). Примеры:
.
.
10.7.3. Интегралы вида 
( ), как и в пункте 10.7.1, приводятся к табличным выделением полного квадрата в трёхчлене: 
; первое слагаемое в числителе даст интеграл от степенной функции с показателем степени -1/2, второе - в зависимости от знака - табличный интеграл №16 или №17:
.
10.7.4. Интегралы вида 
(
) берутся с применением той же техники. После приведения подынтегральной функции к виду (см. 10.7.1) 
относительно переменной интеграл сводится к 
. Первый интеграл 
, второй может быть найден по рекуррентной формуле, выведенной в 10.6.4.
Пример: 
(первый интеграл - интеграл от степенной функции; второй - полученный в 10.6.4 по рекуррентной формуле интеграл 
, в котором надо заменить на 
)
.
10.7.5. Интегралы вида 
подстановкой 
сводятся к интегралам, рассмотренным в разделе 10.7.3. Пример: 
.
10.8. Интегрирование рациональных функций.
10.8.1. Интегрирование простых дробей. Напомним определение раздела 9.3.1. Определение рациональных функций и простых дробей: Простыми дробями называются рациональные функции следующих четырёх типов:
| I. | II. |
| III. | IV. |
Интегралы от дробей первых двух типов - табличные интегралы:
интегрирование дробей III и IV типов рассмотрено в 10.7. Интегралы, содержащие квадратный трёхчлен.
10.8.2. Интегрирование рациональных функций. Алгоритм вычисления интегралов от рациональных функций, т.е. интегралов вида
заключается в следующем (см. раздел 9.3. Рациональные функции и их разложение в сумму простых дробей):
1. Если дробь 
неправильна, её интегрирование сводится к интегрированию многочлена и правильной дроби. Для этого она представляется в виде 
, 
; нахождение целой части 
и остатка 
может быть выполнено, например, с помощью процедуры деления "уголком". Дальше рассматривается интегрирование правильных дробей.
2. Знаменатель 
правильной дроби представляется в виде произведения
, где 
- попарно различные действительные корни этого многочлена, 
- их кратности, квадратные трёхчлены (соответствующие попарно различным парам сопряжённых корней 
кратностей 
) 
с действительными коэффициентами не имеют действительных корней (т.е. 
), 
.
3. Выписывается представление дроби в виде суммы простейших дробей с неопределёнными коэффициентами:
.
4. Правая часть разложения приводится к общему знаменателю. Общие знаменатели слева и справа сокращаются, и из условия равенства числителей составляется система линейных уравнений для нахождения неопределённых коэффициентов. Применяются два способа:
4.1. Способ частных значений. В равенство подставляются различные значения и таким образом составляют уравнения системы. В первую очередь берутся корни ; если все корни знаменателя - различные действительные числа, будут найдены все неопределённые коэффициенты.
4.2. Приравниваются коэффициенты при одинаковых степенях многочленов слева и справа от знака равенства. При этом количество уравнений обязательно будет равно количеству неопределённых коэффициентов.
4.3. Комбинированный способ. Некоторые коэффициенты определяются по частным значениям, для нахождения остальных составляются уравнения по способу 4.2.
5. Выполняется интегрирование простых дробей.
Примеры. 1. 
. Дробь неправильна, поэтому выделяем целую часть:
|
|
|
. Равенство числителей:
. Подставив в это равенство 
, получим 
; при 
получим 
. Если сравнивать коэффициенты при степенях , получим систему 
, т.е. тот же результат. Итак, 
.
2. 
. Разложение имеет вид 
. Приводим к общему знаменателю: 
. Условие равенства числителей: 
. Применяем комбинированный метод:
|
| Отсюда
|
. Здесь мы воспользовались значением для 
, полученным в 10.6.4 (выражение в квадратных скобках).
3. 
. Представление подынтегральной функции в виде суммы простых дробей: 
. При 
: 
. Коэффициенты при 
. Коэффициенты при 
. Поэтому 
.
10.9. Интегрирование функций, рационально зависящих от 
.
В этом разделе мы рассмотрим интегралы 
, где рационально зависящая от 
функция 
- отношение двух многочленов относительно этих функций (пример - 
).
10.9.1. Универсальная тригонометрическая подстановка. Переход в подынтегральной функции к переменной 
преобразует в функцию, рационально зависящую от 
; методы интегрирования таких функций рассмотрены в предыдущем разделе. Выразим 
через : 
(делим на 
) 
; 
(делим на ) 
. В результате все компоненты подынтегральной функции выражаются через функции, рационально зависящие от . Пример:
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
