7. Числа Рамсея. Верхняя оценка числа Рамсея (1176844)
Текст из файла
Лекция 7. Числа Рамсея. Верхняя оценка числаРамсея. Нижняя оценка числа Рамсея.Лектор — Селезнева Светлана Николаевнаselezn@cs.msu.suфакультет ВМК МГУ имени М.В. ЛомоносоваЛекции на сайте http://mk.cs.msu.ruЧисла РамсеяВерхняя оценкаНижняя оценкаЧисла РамсеяГраф Ḡ = (V , Ē ) — дополнительный к графу G = (V , E ),если Ē содержит все те ребра, которых нет в E , т.е.Ē = {(v , w ) | v , w ∈ V , v 6= w , (v , w ) ∈/ E }.Число R(m, n) — такое наименьшее целое число x, что длялюбого графа G с x вершинами:либо в G найдется подграф Km ,либо в Ḡ найдется подграф Kn .ЗадачиЧисла РамсеяВерхняя оценкаНижняя оценкаЧисла РамсеяРаскраска ребер графа G = (V , E ) в два цвета —отображение ρ : E → {1, 2}.Число R(m, n) — такое наименьшее число x, что при любойраскраске ребер полного графа Kx в два цветалибо в нем найдется подграф Km с ребрами цвета 1,либо в нем найдется подграф Kn с ребрами цвета 2.ЗадачиЧисла РамсеяВерхняя оценкаНижняя оценкаЗадача о знакомыхДоказать, что среди любых шести человек найдутся либо троепопарно знакомых, либо трое попарно незнакомых.ЗадачиЧисла РамсеяВерхняя оценкаНижняя оценкаЗадачиЗадача о знакомыхПредложение 1.
Если G — граф с шестью вершинами, толибо G , либо Ḡ содержит треугольник.Доказательство. Пусть G = (V , E ) и v ∈ V — произвольнаявершина.1. Пусть в графе G вершина v смежна с какими-то тремявершинами v1 , v2 , v3 ∈ V .Если какие-то две вершины из v1 , v2 , v3 смежны в графе G , товместе с вершиной v они образуют треугольник.Если все три вершины v1 , v2 , v3 не смежны в графе G , то ониобразуют треугольник в графе Ḡ .2. Если в графе G вершина v смежна не более, чем с двумявершинами, то повторим рассуждения для графа Ḡ .Числа РамсеяВерхняя оценкаНижняя оценкаЗадачиВерхняя оценка числа РамсеяТеорема 1.
При m, n ≥ 2 справедливо неравенствоR(m, n) ≤ R(m − 1, n) + R(m, n − 1),при этом если оба числа R(m − 1, n), R(m, n − 1) — четные, тонеравенство строгое.Доказательство.Положим x = R(m − 1, n) + R(m, n − 1).Рассмотрим произвольную раскраску ребер полного графа Kx вцвета 1 и 2.Из произвольной вершины v графа Kx исходитлибо R(m − 1, n) ребер цвета 1,либо R(m, n − 1) ребер цвета 2.Случаи аналогичны, рассмотрим один из них.Числа РамсеяВерхняя оценкаНижняя оценкаЗадачиВерхняя оценка числа РамсеяДоказательство.1. Пусть из вершины v графа Kx исходит R(m − 1, n) реберцвета 1.Положим V — множество из y = R(m − 1, n) концов этих ребер.Множество V вместе с соединяющими их ребрами образуютполный подграф Ky графа Kx .По определению числа R(m − 1, n) в графе Ky найдется либополный подграф Kn с ребрами цвета 2, либо полныйподграф Km−1 с ребрами цвета 1.В первом случае этот полный подграф Kn с ребрами цвета 2есть и в графе Kx .Во втором случае добавим к этому полному подграфу Km−1вершину v и получим полный подграф Km с ребрами цвета 1 вграфе Kx .Числа РамсеяВерхняя оценкаНижняя оценкаЗадачиВерхняя оценка числа РамсеяДоказательство.2.
Пусть оба числа R(m − 1, n), R(m, n − 1) — четные.Положим z = R(m − 1, n) + R(m, n − 1) − 1. Рассмотримпроизвольную раскраску ребер полного графа Kz в цвета 1 и 2.Если из некоторой вершины v графа Kz исходитлибо R(m − 1, n) ребер цвета 1, либо R(m, n − 1) ребер цвета 2,то искомый полный граф найдется.Пусть из каждой вершины v графа Kz исходит в точностиR(m − 1, n) − 1 ребер цвета 1.Тогда рассмотрим подграф H графа Kz , образованный всемивершинами графа Kz и всеми ребрами цвета 1.В графе H нечетное числовершин z = R(m − 1, n) + R(m, n − 1) − 1, причем степенькаждой вершины — нечетна (равна R(m − 1, n) − 1), чего неможет быть.Числа РамсеяВерхняя оценкаНижняя оценкаЗадачиВерхняя оценка числа РамсеяСледствие 1.1.
При m, n ≥ 1 справедливо неравенствоm−1R(m, n) ≤ Cm+n−1.Доказательство: индукция по m.Базис индукции m = 1 верен.Индуктивный переход: по теореме получаемR(m, n) ≤ R(m − 1, n) + R(m, n − 1) ≤m−2m−1m−1≤ Cm+n−2+ Cm+n−2= Cm+n−1.Числа РамсеяВерхняя оценкаНижняя оценкаНекоторые оценки чисел РамсеяВерны равенства R(1, n) = 1, R(2, n) = n.Поэтому получаем:R(3, 3) ≤ R(2, 3) + R(3, 2) = 3 + 3 = 6;R(3, 4) ≤ R(2, 4) + R(3, 3) ≤ 4 + 6 = 12;R(3, 5) ≤ R(2, 5) + R(3, 4) ≤ 5 + 12 = 17;R(4, 4) ≤ R(3, 4) + R(4, 3) ≤ 12 + 12 = 24.ЗадачиЧисла РамсеяВерхняя оценкаНижняя оценкаЗадачиНижняя оценка числа РамсеяТеорема 2 (Эрдеша).
При k ≥ 2 справедливо неравенствоR(k, k) ≥ 2k/2 .Доказательство. Рассмотрим k ≥ 3, т.к. R(2, 2) = 2.Оценим долю γ(p, k) графов с p помеченными вершинами, вкоторых найдется полный подграф с k вершинами.Возможных ребер в графах с p вершинами ровно Cp2 , откуда2графов с p вершинами в точности 2Cp .Выбрать k вершин, образующих полный подграф, из p вершинможно Cpk способами.Оставшиеся Cp2 − Ck2 ребра могут быть проведены произвольно.Поэтому число графов с p вершинами, содержащих полный22подграф с k вершинами, не более Cpk · 2Cp −Ck .Числа РамсеяВерхняя оценкаНижняя оценкаНижняя оценка числа РамсеяДоказательство.
Значит,2γ(p, k) ≤2Cpk · 2Cp −CkCp22=pk2k!2Ck.При p < 2k/2 получаем2γ(p, k) <2k/212k /2=<.2k!2k!2k /2−k/2ЗадачиЧисла РамсеяВерхняя оценкаНижняя оценкаЗадачиНижняя оценка числа РамсеяДоказательство.Разобьем все графы с p вершинами на пары (G , Ḡ ).Тогда по доказанному выше при p < 2k/2 в этом разбиениинайдется такая пара графов (G , Ḡ ), что ни G , ни Ḡ несодержат полный подграф с k вершинами.Поэтому R(k, k) ≥ 2k/2 .Числа РамсеяВерхняя оценкаНижняя оценкаНижняя оценка числа РамсеяСледствие 2.1.
При m, n ≥ 2 справедливо неравенствоR(m, n) ≥ 2min(m,n)/2 .ЗадачиЧисла РамсеяВерхняя оценкаНижняя оценкаИзвестные числа РамсеяВерны равенства R(1, n) = 1, R(2, n) = n, R(m, n) = R(n, m).Числа Рамсея R(m, n):m\n 3 4 5 6 736 9 14 18 2349 18ЗадачиЧисла РамсеяЗадачи1. Доказать, что:1)2)3)4)2.R(2, n) = n;R(3, 3) > 5;R(3, 4) > 8;R(3, 5) > 13.Верхняя оценкаНижняя оценкаЗадачиЧисла РамсеяВерхняя оценкаНижняя оценкаЛитература к лекции1.
Харари Ф. Теория графов. М.: Мир, 1973. С. 28–30.2. Bondy J.A., Murty U.S.R. Graph theory. Springer, 2008.С. 308–313.ЗадачиЧисла РамсеяВерхняя оценкаКонец лекцииНижняя оценкаЗадачи.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
