Лекции ТММ 1 (1172676), страница 46

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 46)

Динамическая модель- математическая модель, которая отражает изменение рассматриваемого явления во времени. При формировании модели некоторыми свойствами объекта пренебрегают (эти свойства называются допущениями), другие свойства сохраняют неизменными (эти свойства называются критериями адекватности модели исследуемому объекту). В данном случае критериями адекватности являются:

• кинетические и потенциальные энергии, которыми обладают звенья и упругие элементы объекта, равны кинетической и потенциальной энергии соответствующих элементов модели;

• работы внешних сил и моментов для объекта и модели равны;

• звенья модели (без учета их деформации) должны двигаться с одной частотой или скоростью.

При формировании дискретной динамической модели принимаем следующие допущения:

• деформация упругих связей линейна и подчиняется закону Гука;

• инерционные свойства звеньев отображаются сосредоточенными в точках массами или сосредоточенными в сечении моментами инерции;

• упругие связи между этими массами и моментами инерции считаем безинерционными;

• влиянием нерезонансных частот при резонансе пренебрегаем;

• потери энергии при деформации упругих связей не учитываем.

Двухмассовая модель привода с упругими связями.

Рассмотрим механическую систему (рис.21.1), состоящую из двигателя 1, редуктора и исполнительного устройства 2.

На рис.21.1 приняты следующие обозначения:

I₁ и I₂^* - моменты инерции соответственно ротора двигателя и исполнительного устройства, с₁ и с₂^* - крутильные жесткости соответственно входного и выходного валов, М_д и М_с - моменты движущих сил и сил сопротивления, угловые координаты: ₁ - ротора двигателя, ₁ - шестерни редуктора, ₂ - колеса редуктора и ₂* - исполнительного устройства.

Рис.21.1

Согласно принятым допущениям приведем движения всех подвижных звеньев системы к движению с частотой (или скоростью) вала двигателя. Для этого определим приведенные жесткости, моменты и моменты инерции. При этом жесткости приводятся из условия равенства потенциальных энергий деформации, моменты - из условия равенства работ, моменты инерции - из равенства кинетических энергий. Для нашего примера:

Передаточное отношение редуктора

.

Теорема о изменении кинетической энергии:

,

где

- изменение кинетической энергии системы, - изменение потенциальной энергии системы, - работа внешних сил.

Приведенный момент инерции исполнительного устройства

.

Приведенная крутильная жесткость выходного вала

.

Приведенная угловая координата исполнительного устройства

.

Приведенный момент сопротивления на валу исполнительного устройства

.

После приведения к одной частоте вращения расчетная схема динамической модели примет вид, изображенный на рис.21.2.

Рис.21.2

Два последовательно соединенных элемента системы можно заменить одним эквивалентным, при этом суммируются податливости этих элементов

, .

Окончательно расчетная схема принимает вид

Рис.21.3

Определение закона движения динамической модели.

Положение звеньев динамической модели определяется двумя обобщенными координатами и . Уравнения движения динамической модели запишем в виде условий кинетостатического равновесия звеньев 1 и 2:

,

. (21.1)

Разделим первое уравнение системы на , а второе - на , и получим

,

. (21.2)

Преобразуем уравнения системы следующим образом. Вычтем и первого уравнения (21.2) второе, а затем просуммируем уравнения (21.1). Тогда системы уравнений запишется в следующем виде:

,

. (21.3)

Обозначим деформацию упругой связи . Ее вторая производная по времени , откуда . Обозначим также

или и .

Подставим эти обозначения в (21.3) и получим

,

. (21.4)

Упругие вынужденные колебания в системе.

Первое уравнение системы содержит только координату деформации упругой связи и описывает упругие колебания в системе, второе включает и координату связанную с движением системы без деформации . Рассмотрим решение первого уравнения системы при следующих исходных данных:

, .

С учетом этого первое уравнение системы (21.4) запишется так

. (21.5)

Введем следующие обозначения

, , ,

а также и , и подставим в (21.5)

. (21.6)

Решение этого уравнения при и начальных условиях

, (21.7)

где - свободные колебания с частотой ,

- гармонические колебания с частотой и с амплитудой зависящей от ,

- вынужденные колебания с частотой возмущающей силы .

Определение собственных частот колебаний системы.

Рассмотрим свободные колебания рассматриваемой системы, то есть положим и . Тогда система составленная из первого уравнения (21.4) и второго уравнения (21.3) запишется так:

,

. (21.8)

Ищем решение этой системы в виде

.

Для этого дифференцируем это выражение два раза

и подставляем в систему (21.8)

,

.

Из первого уравнения если , то и .

Из второго уравнения если , то и . Нулевые частоты соответствуют движению системы без деформации.

Определение форм колебаний.

При деформации системы ее собственная частота не равна нулю . Тогда и . Если принять , то и эпюра угловых координат по длине упругой связи будет иметь следующий вид:

Рис.21.4

П
ри движении системы без деформации собственная частота колебаний равна нулю . Тогда , и . Эпюра угловых координат для движения без деформации показана на рис.21.5.

Рис.21.5

Пример для системы без упругих связей.

Если в рассмотренной модели принять с₁ и с₂   , то  и  . Расчетная схема этой динамической модели приведена на рис. 21.6, где:

I^пр_ - приведенный суммарный момент инерции

;

M^пр_ - приведенный суммарный момент внешних сил

;

Т - изменение кинетической энергии

.

Уравнение движения для этой модели Рис.21.6 .

Моделирование динамических процессов в приводе с упругими связями.

Рассмотренные выше уравнения движения механической системы можно использовать при моделировании поведения этой системы при различных значениях ее параметров. Ниже (на рис. 21.7) приведены результаты исследования влияния жесткости с на неравномерность вращения , момент в приводе М_п и на динамическую ошибку .

Рис.21.7

Характеристики

Список файлов лекций