LS_lektsii (1171245), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Определяем центр кривизны дуг ON и OM,для чего через середину хордвосстанавливаем перпендикуляр допересечения с касательными.3. В соответствии с теоремой Прандтля,центр кривизны участка линии скольжениядолжен лежать на касательной, причем4. Из точек COM , CON проводим дуги. Полученные точки CMK, CNK являются центрами кривизны искомых ЛСМетод линий скольжения.5. Точка K определяется пересечением дуг новых линийскольжения, проведенных из центров CMK , CNKрадиусами NCNK , MCMK12. Построение поля ЛС для задачи Римана по методуШофманаМетод Шофмана: графический способ построения, основанный напервой теореме Генки.Ограничение: поле ЛС должно быть равноугольным – углы междулюбыми двумя близлежащими ЛС д.б. одинаковы для обоих семействЛС.Если угол между двумяближайшими линиями скольжениямал, то линии скольжения можнозаменить дугами окружностей.В этом случае угол между двумяходами равен p/2, а между двумядругими p/2±gОртогональное поле линий скольжения пометоду Шофмана заменяют полем изчетырехугольников, два угла которых –прямые, а два остальных равны p/2±g.Метод линий скольжения.12.
Построение поля ЛС для задачи Римана по методуШофмана…Последовательность построения1. Проводим хорды OM и ON.2. Восстанавливаем перпендикуляр кхордам в точках N, M3. Точка пересечения перпендикуляров Kявляется новым узлом, а отрезкиперпендикуляров - отрезками линийскольженияОшибка в определении координат узлов при g<15 не превышает5%.Угол между ближайшими линиями скольжения одного семействапри построении по методу Шофмана всегда постоянен и равен gНапряжения в узлах определяются точно, т.к.
они пропорциональныуглу поворота ЛС, который при построении по Шофману изменяетсяот узла к узлу на величину g как при точном построении.Метод линий скольжения.13. Численный способ построения ЛС для задачи РиманаЧисленный способ построения, основанный на первой теореме Генки.Известно:O: xm,n; ym,n; wm,nN: xm+1,n; ym+1,n; wm+1,nM: xm,n+1; ym,n+1; wm,n+1ОпределитьK: xm+1,n+1; ym+1,n+1; wm+1,n+1На основании первой теоремы Генкидл линий bоткудаДифференциальные уравнения линий скольжения заменяемразностнымиМетод линий скольжения.14. Вырожденный случай задачи РиманаNO; wNwOРешение – пучок линий скольжения, исходящий из точки OВ точке О пересекаются несколько линий скольжения, имеющихразный наклон w.Поскольку напряженное состояние в точке зависит от угла наклоналиний скольжения, то НС в точке О неопределенно.Точка, из которой исходит пучок линий скольжения называется особой.Метод линий скольжения.14.
Физический смысл особой точкиТочки А, одновременно принадлежащие свободной поверхности иконтактной поверхности штампа при осадке широкой полосыНа контактной поверхности tk0На свободной поверхности tk =0,scp=±kСледовательно, НС в точках А1-A4неопределенноСправедливо обратное утверждение:Если в какой-либо точке напряженное состояние исходя из физическогосмысла задачи неопределенно, то такая точка является особой и из нееисходит пучок (веер) линий скольженияОсобая точка является абстракцией, обусловленной выбранной жесткопластической схемой напряженного состояния.
В действительностивблизи особых точек существуют высокие градиенты перехода от упругихк пластическим деформациямМетод линий скольжения.15. Частный случай вырожденной задачи Римана:центрированное поле линий скольженияЦентрированное поле ЛС1-е семейство ЛС - пучок прямых ЛС,исходящих из особой точки2-е семейство - семейство концентрическихокружностей с центром в особой точкеЦентрированное поле можетсоседствовать только с участком поля изортогональных прямых линий скольжения(полем с однородным НС)Метод линий скольжения.16.
Основные краевые задачи. Смешанная задачаЗадана линия скольжения OM и некоторая линия ON неявляющаяся линией скольжения на которой известен уголнаклона линий скольжения.Типичный случай – выход линийскольжения на линию симметрии:• Линии скольжения выходятна линию симметрии подуглом 45° т.к. на линиисимметрии отсутствуюткасательные напряжения• Линия симметрии сама неявляется линиейскольжения.Метод линий скольжения.16. Основные краевые задачи. Смешанная задача…Методика построения поля ЛС для смешанной задачи1.
Заданную линию скольжения делятна некоторое число малых дугузлами, номера которых (0,0), (1,0), …, (m,0)2. По известному углу выхода линиискольжения определяют координатыузла (1,1), лежащего на линии ON.3. Определяют координаты узлов (2,1) ,… , (m,1), решая 2-ю краевую задачу.4. Рассматривая линию (1,1)-(m,1) какизвестную линию скольженияпродолжают построение всоответствие с п.п.2-3.Ключевой вопрос – построение узла, лежащего на линии ONМетод линий скольжения.16. Построение поля ЛС для смешанной задачи пометоду ШофманаЛС и линия симметрии образуют криволинейный треугольник, одинугол которого – прямой, а два других p/4Поле ЛС должно быть равноугольнымЕсли угол между двумя ближайшимилиниями скольжения мал, то линиискольжения можно заменить дугамиокружностей.
В этом случае угол междуходами равен p/2Криволинейный треугольник заменяют прямоугольным треугольником,углы которого равны p/4±g/2.Последовательность построения1. Провести хорду OA2. Провести перпендикуляр к хорде OA в точке A3. Искомая точка B находится на пересечении линии симметрии иперпендикуляра к хорде.Метод линий скольжения.17. Внедрение жесткого пуансона в пластическоеполупространствоОпределить давление абсолютно жесткого пуансона напластическое полупространство.• Пуансон имеет бесконечную длинув направлении, перпендикулярномплоскости чертежа.• Рассматривается начальныймомент внедрения, когда плоскостьполупространства еще не искаженавытекающим из-под торцапуансона материалом.• Трение под торцом пуансонаотсутствует.На линии AB: p= -syTs MГраничныеусловияМетод линий скольжения.scpM , wMwN ,scpNПоле ЛСИнтегралыГенкиsyN=f(scpN,k,wN)17.
Внедрение жесткого пуансона в пластическоеполупространствоПостроение поля ЛС: решение Прандтля1. Область вне пуансона: границапрямолинейна, внешние нагрузкиотсутствуют краевая задача Коши.Решение – ортогональное поле линийскольжения, выходящее на границупод 45 (внешние границы полянеизвестны).2. Точки A, B – особые, одна из ЛС –прямая вырожденный случайкраевой задачи Римана.Решение – центрированное поле ЛС.Внешняя граница неизвестна3. Пересечение ЛС под прямым углом возможно только в т.С.
определена внешняя граница поля ЛС - GPCDE4. Область под пуансоном: по одной ЛС каждого семейства прямые все ЛС области прямые.Решение – ортогональное поле линий скольжения, выходящее награницу под 45.Следствие – давление пуансона на полупространство равномерноеМетод линий скольжения.17. Внедрение жесткого пуансона в пластическоеполупространствоОпределение среднего напряжения в точке M из граничных условийна линии BE отсутствуют нормальные и касательныенапряжения, следовательноиз условия пластичности Губера – Мизесаопределим напряжение sxзнак выбираем исходя из физическогосмысла задачиМеталл вытекает из под штампа и поступает в область BDE. Такимобразом, в этой области реализуется напряженное состояние сжатияНапряженное состояние налинии BEМетод линий скольжения.17. Внедрение жесткого пуансона в пластическоеполупространствоОпределение среднего напряжения в под пуансоном на основеинтегралов ГенкиВыбираем две точки M и N черезкоторые проходят линии скольженияИдентификация линий скольженияУгол, между направлением главной оси 1 и касательной к линии aравен +p/4.
Следовательно, линия MN - линия bМетод линий скольжения.17. Внедрение жесткого пуансона в пластическоеполупространство…Напряженное состояние под пуансоном (на линии АВ )Правильность построения поля линий скольжения определяетсяусловиями:1. Пересечение линиями скольжения осей симметрии под углом 45°2. Контакт жестких зон в одной точке.3. Соблюдением кинематических граничных условийМетод линий скольжения.18. Связь полей линий скольжения с полями скоростей.Для жестко-пластического тела справедливы уравнения течения СенВенана – Леви - МизесаНапряженное состояние вкриволинейной системекоординат sasbСкорости деформаций (скорости удлинения) вдоль линий скольженияТ.о.
скорости деформаций вдоль линий скольжения равны нулю.Метод линий скольжения.18. Связь полей линий скольжения с полями скоростей.Вдоль линий скольжения отсутствуют удлинения, а есть только сдвиги.Выберем на линии скольжения a дветочки M и M' достаточно близко друг кдругу, так, чтобы ЛС можно было бызаменить дугой окружности.Между этими двумя точками линияскольжения поворачивается на малыйугол Dw.Скорости материальных частиц вточках M и M' соответственно v и v+Dv.Метод линий скольжения.18. Связь полей линий скольжения с полями скоростей.Заменим дугу MM‘ хордой.Для того, чтобы вдольлинии скольженияотсутствовалидеформации растяженияили сжатия, проекциискоростей на хорду вточках M и M' должныбыть равныПредварительно разложим скоростина составляющие вдоль линийскольжения.Из геометрических соотношений следуетМетод линий скольжения.18.
Связь полей линий скольжения с полями скоростей.Метод линий скольжения.18. Связь полей линий скольжения с полями скоростей.Уравнения ГейрингерПренебрегая малыми высших порядковРассуждая аналогично для bУравнения ХильдыГейрингерУравнения Гейрингер являются уравнениями неразрывности вдольлиний скольженияМетод линий скольжения.19. Следствия из уравнений Гейрингер1. Бесконечно малое приращение скоростипри движении вдоль линии скольжениянаправлено ортогонально линиискольжения.2. Скорости вдоль прямых участков линийскольжения постоянны.3. В однородном поле ЛС, состоящем изортогональных прямых, скорости движенияв любой точке будут постоянны.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
