Краткие лекции по ЭиМ (1166441), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Напомним, что фильтррассматривается как линейное устройство, поэтому речь идет не онелинейных искажениях. Имеются в виду искажения, причиной которыхявляется несовершенство фазочастотной характеристики фильтра.Вначале рассмотрим фильтр с настолько совершенной фазочастотнойхарактеристикой, что искажение формы сигнала отсутствует.
Такаяфазочастотная характеристика является линейной однородной функциейкруговой частоты и определяется выражениемгдек—постояннаяположительнаявеличина.Приведемсоответствующий график (рис. 2.49). Пусть входным сигналом являетсянапряжение ивх, содержащее две гармоники (рис. 2.50):ОглавлениеДля первой гармоники фильтр обеспечивает сдвиг по фазе <Pi(co) =— к'Щ, а для второй гармоники сдвиг по фазе будет равен ф2(ш) = —к-щ =—2к-щ. Обозначим через Тх и Т2 периоды соответственно первой и второйгармоник, а через /1 и /2 — их частоты. Определим сдвиги по времени t\ и/2, соответствующие сдвигам по фазе ф! и фг.
Обратимся к первойгармонике. Для нее сдвиг по фазе —2я соответствует периоду Т\, а сдвиг пофазе ф! соответствует искомому времени t{.отсюдаАналогично получаемСоставим пропорциюТаким образом, в рассматриваемом случае гармоники будут сдвинутыпо времени на одну и ту же величину к и поэтому сигнал не будет искажен,т. е. форма его останется прежней. Но, естественно, выходной сигнал будетсдвинут относительно входного на время +к (в рассматриваемом случаевыходной сигнал будет отставать от входного на время к).Определим для рассматриваемого фильтра время замедления:Таким образом, в рассматриваемом случае время замедления — этовремя, на которое выходной сигнал будет сдвинут относительно входного.Если фазочастотная характеристика не будет линейной однороднойфункцией круговой частоты, то различные гармоники будут сдвинутыфильтром на различные отрезки времени, и поэтому форма сигнала,содержащегоне одну гармонику, будет искажаться.
Чем ближефазочастотная характеристика некоторого фильтра к линейной однороднойфункции (и чем меньше значения времени замедления отличаются отнекоторой константы), тем искажения будут меньше.Поэтомуприиспользованиисистемавтоматизированногопроектирования (САПР) характеристику времени замедления часто выводятна экран компьютера и используют для оценки искажений сигналовфильтром. Время замедления называют также временем запаздывания.ОглавлениеИз изложенного следует, что частотные характеристики фильтраполностью определяются значением коэффициента К передаточнойфункции, а также значением ее нулей и полюсов. Нули и полюсы частоизображают в виде точек на плоскости комплексной частоты (s-плоскости),получая так называемую диаграмму нулей и полюсов.
Такая диаграммавместе с коэффициентом К несет полную информацию о частотныхсвойствах фильтра. Имея диаграмму нулей и полюсов, легко определитьзначения модуля и аргумента частотной передаточной функции, т. е.коэффициент усиления и сдвиг по фазе.Допустим, что некоторый полюс рк расположен на s-плоскости так,как показано на рис. 2.51.
Пусть круговая частота равна СО}. Тогда дляучета полюса рк в знаменатель дроби, определяющей величину |Г(/со)|,следует добавить сомножитель, равный длине вектора с началом в полюсерк и окончанием на мнимой оси с ординатой щ, а в алгебраическую сумму,определяющую величинуaig Т(До), следует добавить слагаемое —ср*, где ф* — угол,указанный на рисунке.Классификация фильтров по виду их амплитудно- частотныххарактеристикРассмотрим основные типы фильтров, классифицируемых по видуамплитудно-частотных характеристик.Фильтры нижних частот.Для фильтров нижних частот (ФНЧ) характерно то, что входныесигналы низких частот, начиная с постоянных сигналов, передаются навыход, а сигналы высоких частот задерживаются.Приведем примеры амплитудно-частотных характеристик фильтровнижних частот. На рис.
2.52, а показана характеристика идеального (нереализуемого на практике) фильтра (ее иногда называют характеристикойтипа«кирпичнаястена»).Надругихрисункахпредставленыхарактеристики реальных фильтров.Полоса пропускания лежит в пределах от нулевой частоты до частотысреза шс. Обычно частоту среза определяют как частоту, на которойвеличина А(со) равна 0,707 от максимального значения (т. е. меньшемаксимального значения на 3 дБ).ОглавлениеПолосазадерживания(подавления)начинаетсяотчастотызадерживания (о3 и продолжается до бесконечности.
В ряде случаев частотузадерживания определяют как частоту, на которой величина А(а>) меньшемаксимального значения на 40 дБ (т. е. меньше в 100 раз).Между полосами пропускания и задерживания у реальных фильтроврасположена переходная полоса. У идеального фильтра переходная полосаотсутствует.Фильтры верхних частот.Фильтр верхних частот характерен тем, что он пропускает сигналыверхних и задерживает сигналы нижних частот.Частотныехарактеристикифильтровверхнихчастот,какихарактеристики фильтров нижних частот, многообразны в своих деталях.Изобразим для иллюстрации две характеристики: идеальную,нереализуемую (рис. 2.53, а), и одну из типичных реальных (рис. 2.53, б).Через (ос и со3 обозначены частоты среза и задерживания.Полосовые фильтры (полосно-пропускающие). Полосовой фильтр пропускает сигналы одной полосы частот, расположенной в некоторойвнутренней части оси частот.
Сигналы с частотами вне этой полосы фильтрзадерживает.Изобразим амплитудно-частотную характеристику для идеального(нереализуемого) фильтра (рис. 2.54, а) и одну из типичных реальныххарактеристик (рис. 2.54, б). Через оос| и соС2 обозначены две частотысреза, со0 — средняя частота. Она определяется выражениемРежекториые фильтры (полосно-заграждающиё).Режекторные фильтры не пропускают (задерживают) сигналы,лежащие в некоторой полосе частот, и пропускают сигналы с другимичастотами. Изобразим амплитудно- частотную характеристику дляидеального (нереализуемого) фильтра (рис. 2.55, а) и одну из типичныхреальных характеристик (рис. 2.55, б).Всепропускающие фильтры (фазовые корректоры).Эти фильтры пропускают сигналы любой частоты.
Построимсоответствующую амплитудно-частотную характеристику (рис. 2.56). ТакиеОглавлениефильтры используются в некоторой электронной системе для того, чтобыизменить с той или иной целью фазочастотную характеристику всейсистемы.Исходя из приведенного выше математического описания фильтров,нетрудно сделать вывод, что ход амплитудно-частотной характеристики надостаточном удалении от полосы пропускания прямо определяетсяпорядком фильтра. Этот факт хорошо иллюстрируют амплитудночастотные характеристики, выполненные в логарифмическом масштабе.Рассмотрим указанные характеристики для некоторых фильтров различногопорядка, имеющих одинаковые коэффициенты усиления на нулевойчастоте, равные 100 (рис.
2.57).Изматематическогоописанияследует,чтонадостаточномрасстоянии от полосы пропускания наклон характеристики равен —20лдБ/дек, где п — порядок фильтра. Наклон —20 дБ/дек означает, чтоувеличение частоты в 10 раз приводит к уменьшению коэффициентаусиления в 10 раз, а наклон —40 дБ/дек означает, что увеличение частоты в10 раз приводит к уменьшению коэффициента усиления в 100 раз.Из изложенного следует, что если необходимо обеспечить болеебыстрое изменение коэффициента усиления на удалении от полосыпропускания, то следует увеличить по- рядок фильтра (но при этом схемафильтра усложняется).Классификация фильтров по особенностям полиномов, входящихв передаточные функцииРассмотрим эту классификацию на примере фильтров нижних частот.Свойства фильтров сильно зависят от того, какими полиномамиописываются их передаточные функции, или, другими словами, от того, какрасположены нули и полюсы на плоскости комплексной частоты.Указанные особенности математического описания определяют ходОглавлениеамплитудно-частотных характеристик в полосе пропускания и в переходнойполосе.
Ход характеристик на удалении от полосы пропускания, как ужеотмечалось, определяется порядком фильтра.Напрактикеширокоиспользуютсяфильтры,отличающиесяхарактерными особенностями полиномов передаточных функций. Этофильтры Баттерворта, Чебышёва, Бесселя (Томсона).Для фильтров Баттерворта характерно то, что полюсы лежат наполуокружности в левой половине s-плоскости. Полюсы фильтра Чебышёварасположены на части эллипса. Полюсы фильтра Бесселя расположены накривой,лежащейвнеуказаннойполуокружности.Сказанноеиллюстрируется на рис.
2.58. Характер расположения полюсов определяетследующие особенности этих фильтров.ФильтрыБаттервортахарактеризуютсянаиболееплоскойамплитудно-частотной характеристикой в полосе пропускания. Это ихдостоинство. Но в переходной полосе указанные характеристики спадаютплавно, недостаточно резко.ФильтрыЧебышёваотличаютсярезкимспадомамплитудно-частотных характеристик в переходной полосе, но в полосе пропускания этихарактеристики не являются плоскими.Фильтры Бесселя характеризуются очень пологими участкамиамплитудно-частотных характеристик в переходной полосе, еще болеепологими, чем у фильтров Баттерворта. Их фазочастотные характеристикидостаточно близки к идеальным, соответствующим постоянному временизамедления, поэтому такие фильтры мало искажают форму входногосигнала, содержащего несколько гармоник.Изобразимамплитудно-частотныехарактеристикифильтровуказанных типов (рис. 2.59).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
