Топология интегрируемых систем с неполными полями (1162485), страница 4
Текст из файла (страница 4)
−b a 0 0 0 −2aa 1 03. 0 a 0 0 0 −2a0 1 04. 0 0 10 0 0Для типов 1, 3, 4 Cyl2k ≃ R2 и совместная поверхность уровняфункций гомеоморфна R3 , а для типа 2 Cyl2k ≃ S1 × R1 и поверхностьуровня гомеоморфна цилиндру S1 × R2 .Доказательство. Это показывается из явных выражений для векторных полей с использованием того факта, что поля переменных уголвыражаются через линейные комбинации исходных векторных полей.Выпишем явно векторные поля для каждого из случаев. Ниже представлены поля v1 = [A, X]0(a − b)x12(2a + b)x130(2b + a)x23 1.
(b − a)x21(−b − 2a)x31 (−a − 2b)x320b(x21 + x12 ) b(x22 − x11 )bx23 + 3ax132. b(x22 − x11 ) −b(x21 + x12 ) −bx13 + 3ax23 bx32 + 3ax31 bx31 − 3ax32 )0x21x22 − x113ax13 + x23−x213ax23 3. 0−3ax31 −3ax32 − x310x21 x22 − x11 x23 − x124. x31 x32 − x21 x33 − x22 0−x31x23 − x3218Векторные поля v2 = [A2 , X] для соответствующих типов матрицы Aвыглядят примерно также, но с другими константами при координатах.Рассмотрим уравнения Ẋ = vi (X). Эти уравнения являются линейными уравнениями с постоянными коэффициентами, а потому исследуются явно. Таким образом получается, что для случаев 1, 2, 4 решениелюбой линейной комбинации полей v1 , v2 гомеоморфно прямой, а потому образом действия фазовых потоков на произвольную точку является многообразие, гомеоморфное R2 .
Наибольший интерес представляетслучай 2, в котором реализуется цилиндр. Выпишем для этого случаяполе v2 :2ab(x21 + x12 ) 2ab(x22 − x11 )2abx23 − cx13Ẋ = 2ab(x22 − x11 ) −2ab(x21 + x12 ) −2abx13 − cx23 2abx32 + cx31 −2abx31 + cx320Где c = 3a2 +b2 . Соответственно комбинируя v1 и v2 можем получитьцикл и прямую (в евклидовом смысле):x21 + x12 x22 − x11x233av ′ = v1 + v2 = c1 x22 − x11 −x21 − x12 −x13 cx32−x3102c1 = b + 6ac b . Решением этого уравнения является линейная комбинация чисто мнимых экспонент, то есть окружность.
Теперь получимпрямую:00 −x1310 −x23 v ′ = v1 − v2 = c 2 02ax31 x320cгде c2 = −3a − 2a. При интегрировании этого поля получаем прямую, а значит: 1) Cyl2k некомпактна, 2) Cyl2k не гомеоморфна R2 в силуналичия циклов, пересекающих прямую только в одной точке => k =1 и поверхность является цилиндром.В силу последнего утверждения можно заключить, что даже несмотря на неполноту поля система является с некторой точки зрения интегрируемой по Лиувиллю.Также стоит заметить, что на sl(3) построен как минимум один полный инволютивный набор полиномов с полными гамильтоновыми полями, а именно, система Гельфанда-Цейтлина, которая исследоваласьв [3], полнота системы также следует из статьи.19Список литературы[1] Konyaev A.Yu. Fomenko A.T.
«Algebra and Geometry Through HamiltonianSystems». В: Continuous and Distributed Systems. Theory and Applications.Solid Mechanics and Its Applications. Vol.211, pp.3-21 (2014).[2] Konyaev A.Yu. Fomenko A.T. «New approach to symmetries andsingularities in integrable Hamiltonian systems». В: Topology and itsApplications, vol.159, pp.1964-1975 (2012).[3] Wallach N.
Kostant B. «Gelfand-Zeitlin theory from the perspectiveof classical mechanics». В: arXiv:math/0408342 [math.SG] (2004).[4] Болсинов А.В. и др. «Алгебра и топология интегрируемых систем.Задачи для исследования». В: Труды Семинара по Векторному иТензорному Анализу, том 28, с. 119-191 (2012).[5] Садэтов А.Т.. «Доказательство гипотезы Мищенко-Фоменко». В:Доклады Академии наук, том 397, № 6, c. 751-754 .
- ISSN 08695652 (2004).[6] Фоменко А.Т. Болсинов А.В.. Интегрируемые гамильтоновы системы. Издательский дом ”Удмуртский университет”, 1999.[7] Арнольд В.И.. Математические методы классической механики.Наука, 1989.[8] Фоменко А.Т. Мищенко А.С.. «Интегрирование уравнений Эйлера на полупростых алгебрах Ли». В: Доклады АН СССР, том231, № 3, с. 536-538 (1976).[9] Фоменко А.Т. Мищенко А.С.. «Уравнения Эйлера на конечномерных группах Ли». В: Известия АН СССР, том 42, № 2, с. 396-415(1978).[10] Лепский Т.А.. «Неполные интегрируемые гамильтоновы системыс комплексным полиномиальным гамильтонианом малой степени». В: Матем. сб., 201:10 (2010), 109–136 (2012).[11] Фоменко А.Т.
Трофимов В.В.. «Интегрируемость по Лиувиллюгамильтоновых систем на алгебрах Ли». В: Успехи математических наук, том 39, № 2, с. 3-56 (1984).20.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
