Топология интегрируемых систем с неполными полями (1162485), страница 3
Текст из файла (страница 3)
РассмотримRk = t1 ×, . . . , ×tkи односвязную область Ω ⊂ Rk (построенную выше) , в образе которойпри действииGt̄ (x0 ) = g1t1 ◦ . . . ◦ gktk (x0 )потоки неполных полей коммутируют глобально. Определим Γ как множество точек непродолжения, то есть множество точек t̃ из Rk таких,что знасение Gt̃ (x0 ) неопределено, также определим Γ1 = ∂Ω, котороесостоит из множества точек непродолжения Γ и некоторого множестваχ. Ясно, что множество Γ замкнуто, поскольку в каждой из его граничных точек нельзя построить шар, в котором коммутируют потоки,а значит ∂Γ ⊂ Γ.Пусть на M (x0 ) есть точки накопления, тогда будем доказыватьутверждение от противного индукцией по числу неполных полей k.
Выберем x0 за точку накопления T .1◦ . Случай с k = 1 следует из теоремы 1.минимального радиуса с центром в нуле,2◦ Рассмотрим сферу Sxk−10содержащую точки из Γ, см. рис. 4. Такая существует в силу замкнутости Γ. Без ограничения общности будем считать, что A = (0, 0, . . . , r)11AAα′β′Sxk0α′Рис. 4: Минимальная сфера, содержащая точки непродолжения.лежит на пересечении сферы и Γ.
Будем отождествлять точки пересечения M (x0 ) с A(x0 ) y = Gω (x0 ) с ω. Тогда направлением на точкупересечения назовём нормированный векторω′ =ω|ω|Если есть точки накопления, то рассмотрим последовательность элементов множества L направлений на точки пересечения{ω1 , . . . , ωn , . . .}У неё есть предельные точки в силу того, что вся последовательность лежит на единичной сфере.(1) Если есть предельные точки вне плоскости tk = 0, то найдётсямалый вектор α′ ∈ L такой, что прямая lα ему параллельная и проходящая через A пересекается с внутренностью сферы Sxk0 по интервалу сдлиной больше, чем у α, тогда следующая цепочка равенств приводитк противоречию с утверждением 3:At ◦ Gϵ (x0 ) = Gϵ ◦ At (x0 ) = Gϵ ◦ Gα (x0 ) == Gα ◦ Gϵ (x0 ) => At (xϵ ) = Gα (xϵ )А значит, не продолжающаяся до бесконечности траектория неполного поля пересекается с траекторией полного поля более одного раза,что и приводит к противоречию.12C(2) Если есть предельная последовательность в горизонтальной плоскости, то переходим к шагу индукции, а именно, найдётся горизонтальная плоскость π на которой есть как точки продолжения, так инепродолжения, а тогда соединим путём γ точки x0 и точку y0 – точкупродолжения на π.
Из-за компактности траектории пути следует, чтов её малой окрестности все потоки коммутируют, а значит мы можемсовершить индуктивный переход в плоскость π с новой центральнойточкой y0 .Если же в горизонтальной плоскости лежит лишь конечное числоточек из L, то рассмотрим последовательность{ω1 , . . . , ωn , . . .}с предельной точкой A′ в горизонтальной плоскости.Берём достаточно близкую к A′ точку α′ (достаточно, чтобы |α| < r/2).Понятно, что на прямой lα , параллельной α′ , и проходящей через Aна расстоянии не больше, чем модуль α, лежит какая-то точка непродолжения C (без ограничения общности выберем ближаюшую к нулю,а такая найдётся из-за замкнутости Γ).Теперь выберем более близкую β ′ ∈ L такую, что β ′ лежит внутриконуса с осью A′ и образующей α′ и с длиной β такой, что прямая lβ ,параллельная β ′ и приложенная к C пересекает внутренность сферыSxk0 по интервалу с длиной, больше, чем |β|.Построив данную конструкцию мы сразу же приходим к противоречию с утверждением 3, полностью повторяя рассуждение из пункта(1).
Таким образом теорема полностью доказана.4. Системы на sl(3, R)Многообразие M 2n называется пуассоновым, если на нём задана скобка Пуассона {·, ·} : C ∞ (M 2n ) × C ∞ (M 2n ) → C ∞ (M 2n ) (в случае невырожденности скобки многообразие будет симплектическим). Пусть H –гладкая функция на M (называемая гамильтонианом), тогда она задаётсистему уравнений Гамильтона:ẋi = {xi , H},i(1)где за x обозначены локальные координаты на многообразии.
Одним из способов решения данной системы является поиск достаточного13числа находящихся в инволюции первых интегралов и сужение системына их совместную поверхность уровня. Например в случае интегрируемости по Лиувиллю для полного решения системы достаточно лишьn функционально независимых первых интегралов fi , находящихся винволюции, то есть для всех i, j выполнено {fi , fj } = 0 c условием полноты порождаемых векторных полей.Теперь рассмотрим сопряжённое пространство к произвольной конечномерной алгебре Ли g∗ . На нём определим скобку Пуассона-Ли,заданную по правилу{f, g}(x) :=< x, [dx f, dx g] >(2)где x ∈ g∗ , а dx f, dx g ∈ g∗∗ , которое изоморфно g.Коприсоединённое представление группы Ли задаётся следующим∗образом: Ad∗g x(X) =< x, Ad−1g X >, где x ∈ g , X ∈ g, а g лежит в группеЛи G. На орбитах коприсоединённого представления скобка ПуассонаЛи, определённая выше, оказывается невырожденной (< ·, · > обозначает действия элемента из двойственного пространства на элементе изисходного).Системы, заданные на орбитах коприсоединённого представлениягруппы Ли со скобкой Пуассона, определённой выше, естественно возникают в механике, когда уравнения движения инвариантны относительно действия группы Ли, как, например, в случае динамики твёрдого тела [7].Особый интерес представляют системы с полиномиальными первыми интегралами, поскольку именно такие системы чаще всего встречаются в приложениях (как например в случае динамики твёрдого телаили в случае геодезических потоков на сфере и торе [6]).Вопрос построения таких систем на компактных алгебрах Ли решён,например, в [11], для некомпактных же алгебр вопрос построения полиномиальных интегрируемых систем с полными полями остаётся открытым, и поднимался, например, в [4].Пусть алгебра g является полупростой, тогда, обозначая за f1 , .
. . , fnбазисные инварианты коприсоединённого представления, для элементаa из алгебры, запишем сдвиг инварианта вдоль a:∑degfifi (x + λa) =fij (x)λjj=1где функции fij (x) – полиномы. Обозначим набор fij (x) за Fa .Теорема 3. (Мищенко-Фоменко). Для любого регулярного ковектора aсемейство Fa является полным инволютивным набором, то есть все14функции семейства коммутируют относительно скобки ПуассонаЛи, а пространство, порождённое их дифференциалами, лагранжевопочти всюду [8, 9].Стоит отметить, что позже было доказано существование полногоинволютивного набора полиномов для произвольных конечномерныхалгебр Ли С.Т. Садэтовым в [5].Отличие полного инволютивного набора функций на симплектическом многообразии от интегрируемой или вполне интегрируемой поЛиувиллю системы состоит в том, что поля порождаемые первыми интегралами могут быть неполными, то есть их интегральные траекториимогут не продолжаться по времени до бесконечности, что отражаетсяна топологии слоения, делая её более сложной.Теперь рассмотрим инволютивный набор полиномов, полученныйметодом сдвига аргуманта на sl∗ (3).
При отождествлении коалгебры g∗с алгеброй g при помощи формы Киллинга гамильтоново уравнениепереходит в уравнение Эйлера в форме Лакса:Ẋ = [X, dH](3)При этом коприсоединённое представление отождествляется с присоединённым. Теперь рассмотрим инварианты присоединённого представления на алгебре sl(3). Как известно, они имеют вид trX n . С помощью метода сдвига аргумента строим полный инволютивный наборфункций: рассмотрим полиномы по λ, на которые распадается tr(X +λA)n , где A произвольный регулярный элемент, лежащий в алгебре Ли.Выделим из них тройку независимых первых интегралов:trAX, trA2 X, trAX 2(4)Соответствующие интегралам (4) векторные поля имеют вид (с точностью до знака и сомножителя):v1 : Ẋ = [X, A]v2 : Ẋ = [X, A2 ]v3 : Ẋ = [X 2 , A]Уравнения на X в случаях v1 и v2 представляют собой линейныесистемы и решаются явно, а сами векторные поля полны.
Можно показать, что поле v3 неполно для любого регулярного A ∈ sl(3).15Таким образом система функций (4) является полным инволютивным набором, но соответствующие векторные поля не все полны, чтоявляется препятствием к интегрируемости системы по Лиувиллю. Требуется описать совместные поверхности уровня этих первых интегралов. Заменой базиса в алгебре любая матрица A приводится к одномуиз четырёх видов:a 000 1. 0 b0 0 −a − ba b02. −b a 0 0 0 −2aa 1 03. 0 a 0 0 0 −2a0 1 04. 0 0 10 0 0Для каждого из видов матрицы можно явно выписать двупараметрическое семейство элементов sl(3), через каждый из которых (и через0) проходит прямая, распадающаяся на три интегральные кривые поляv3 , для двух из которых которых естественный параметр определён нена всей кривой.
Интегральными кривыми на прямой являются стационарная точка 0, лежащая на вырожденной орбите, и два открытыхлуча, на которые неподвижная точка делит прямые.Утверждение 4. Для случаев 1, 2, 3, 4 трёхмерное подмногообразие,заметаемое двупараметрическим семейством прямых (без точки 0),гомеоморфное двум экземплярам R3 в случаях 1, 3, 4 ( двум экземплярам R2 × S1 в случае 2), лежит в орбите элемента нильпотентногоэлемента ранга 2, и его каждая связная компонента является связнойкомпонентой совместной поверхности уровня системы (4). см.
рис. 5.Это проверяется непосредственно (семейство является инвариантным относительно сдвигов вдоль vi ). Проведём выкладки, например,для случая 4. В этом случае явный вид подмногообразия N , заметаемого семейством прямых имеет вид:α α2 − βα3X = k −1 −2α −2α2 − β 01αгде k не нуль. Запишем условие того, что поля v1 , v2 лежат в касатeльной плоскости к N, для любой точки из N.161 2α 3α20 −1 0cα 0 −2 −4α + cβ 0 0 −1 =0 010 00−1 −3α 3α20 −1 023α + c2 0 0 −1=c1 000−10 00Из этой выкладки видно, что каждый из векторов выражается через линейную комбинацию остальных, что и доказывает утверждениевкупе с тем фактом, что совместная поверхность уровня имеет размерность 3 и инвариантна относительно сдвигов вдоль фазовых потоков.g1,2g3Рис.
5: Поверхность уровняЕстественные параметры этой поверхности являются параметрамиинтегральных кривых полей vi . Эта поверхность является двумя компонентами связности поверхности уровня, гомеоморфными R3 .Дальнейшие исследования показали, что и другие поверхности уровня также имеют простое топологическое устройство, что навело намысль об устройстве систем с одним неполным векторным полем.Теперь применим результаты, полученные в предыдущем разделе ксистеме (4).
Описание совместной поверхности уровня для неё сводитk, то есть орбит потоков полных гамильтоновыхся к описанию Cyln−117полей. Явно опишем поверхности уровня полей v1 , v2 для каждого из4-х типов матрицы.Утверждение 5. Система функций trAX, trA2 X и trAX 2 на коалгебре Ли sl∗ (3, R) является почти интегрируемой. Матрица A заменой базиса приводится к одному из следующих типов:a 000 1. 0 b0 0 −a − ba b02.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
