Топология интегрируемых систем с неполными полями (1162485), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Пусть M 2n – симплектическое многообразие, и задан набор функционально независимых коммутирующих функций f1 , . . . , fnна нём, причём гамильтоновы векторные поля v1 , . . . , vk образуют полностью взрывающуюся систему, а поля vk+1 , . . . , vn полны, тогда связная компонента регулярной совместной поверхности уровня функцийf1 , .
. . , fn устроена как многообразие N из теоремы 2.В соответствии с теоремой, описание совместных поверхностей уровня взрывающейся системы первых интегралов сводится к описанию отдельно полной в смысле полей части (которая уже описана) и полностью взрывающейся части. Также, видимо, несложно (по крайней мере для случая одного неполного поля) построить аналоги переменныхдействие-угол, в которых векторные поля косых градиентов первых интегралов выпрямятся.
Стоит заметить, что этот вопрос для полностьювзрывающихся систем в частном случае начал исследоваться в [10]Т.А. Лепским.3. Доказательства основных теоремПодготовим несколько утверждений для основной теоремы.Заметим, что из того, что векторные поля коммутируют глобально следует только то, что соответствующие им потоки коммутируюттолько локально, легко привести пример неполных коммутирующихвекторных полей, чьи фазовые потоки глобально не перестановочны(достаточно взять плоскость с выколотой точкой и постоянными векторными полями).Утверждение 1.
Пусть g1 , g2 являются фазовыми потоками коммутирующих независимых векторных полей v1 , v2 на гладком многообразии M n , причём поле v2 полно, а поле v1 неполно, и пусть g1 (x0 )не продолжается на время t1 , тогда g1 (g2t2 (x0 )) также не продолжается на то же время t1 для любого t2 , то есть вдоль интегральнойтраектории полного поля неполные продолжаются на одно и то жевремя.Доказательство. Фазовые потоки g1 и g2 коммутируют локально.Для любого t2 если для всех t < t2 g1 (g2t (x0 )) продолжается до t1 ,запишем:6g1t1 −ϵ ◦ g2t2 (x0 ) = g2t2 ◦ g1t1 −ϵ (x0 )g2−t2 ◦ g1t1 −ϵ ◦ g2t2 (x0 ) = g1t1 −ϵ (x0 )Но поле v2 полно, g1t1 −ϵ (x0 ) → ∞, а значит и g1t1 −ϵ (g2t2 (x0 )) → ∞, что итребовалось.В противном же случае рассмотрим R2(t) и множество точек непродолжения на нём, это множество замкнуто потому, что каждая точкасодержит маленький шар, в котором потоки определены и коммутируют.
Значит существует ближайшая к нулю точка в нём, тогда в прямоугольнике, соединяющем эту точку с нулём все потоки коммутируют.А тогда воспользуемся рассуждением, приведённым выше.Замечание 2. Стремление к бесконечности в последнем доказательстве стоит понимать так: интегральная траектория выходит заграницы любого компакта при ϵ → 0.Утверждение 2. Пусть g1 , g2 являются фазовыми потоками коммутирующих независимых векторных полей v1 , v2 на гладком многообразии M n , тогда если две интегральные кривые пересекаются вточках x0 , x1 так, что x1 = g1t1 (x0 ) = g2t2 (x0 ), то они пересекаются ив точках xn = ginti (x0 ), если фазовые потоки продолжаются до этоговремени.x2x1x0Рис.
2: фазовые потокиДоказательство. Действительно, если предположить, что потоки продолжаются на нужное время, в силу коммутации получим:7g1t1 (x0 ) = g2t2 (x0 )g1t1 ◦ g1t1 (x0 ) = g1t1 ◦ g2t2 (x0 )g1t1 (x1 ) = g2t2 (x1 )Дальше рассуждение легко продолжается по индукции, а именно,заменой фигурирующих в выкладке x0 и x1 на xn−1 и xn , см. рис. 2.В качестве следствия получим ещё одно утверждение.Утверждение 3. Пуcть даны два коммутирующих потока g1 , g2 ,пусть поток g1 не продолжается на некоторое конечное время t′x , апоток g2 определён на R, тогда интегральные кривые пересекаютсямаксимум в одной точке.g1g2Рис.
3: фазовые потокиДоказательство. Поскольку поток g2 полон, из утвержения 1 следует,что g1 должен продолжаться на одно и то же время, начиная с любойточки интегральной кривой потока g2 , если потоки пересекаются в двухточках x0 и x1 , то такое возможно лишь если и поток g1 полон, см. рис.3.Доказательство теоремы 1. Для начала заметим, что из коммутацииинтегралов следует коммутация соответствующих векторных полей, а,значит по теореме Фробениуса, и локальная коммутация фазовых потоков, причём, по предыдущим утверждениям, на каждой поверхностиуровня вдоль полных потоков неполный продолжается на одно и то жевремя.Пусть A(x0 ) – орбита действия полных фазовых потоков, проходящая через x0 , а N – рассматриваемая совместная поверхность уровняпервых интегралов.
Покажем, что интегральная кривая поля vn = sgradfn , изоморфная R1 , не может пересечь A(x0 ) более чем в одной точке.8От противного: пусть существуют две различных точки пересеченияx0 , x1 такие, чтоtm−1x1 = gntn (x0 ) = g1t1 ◦ . . . ◦ gn−1(x0 ).Тогда определим новый потокttm−1(x0 )g∗t = g1t1 t ◦ . . . ◦ gn−1и соответствующее ему векторное поле фазовой скорости, являющееся линейной комбинацией полей v1 , .
. . vn−1 и коммутирующее с полемvn . Тогда по утверждению 3 для потоков gn , g∗ получаем требуемоеутверждение.Лемма. В условиях теоремы A(x0 ) – орбита действия группы сдвигов потоков g1 , . . . , gn−1 является гладким подмногообразием, гомеоkморфным Cyln−1Доказательство леммы. Для доказательства леммы применим теорему о неявных функциях для совместного уровня первых интегралови ещё одной функции, которая равняется времени, за которое можнодойти до орбиты действия группы сдвигов полных фазовых потоков,проходящей через фиксированную x0 , а именно, пустьtm−1A(t1 , . . .
, tn−1 ) = g1t1 ◦ . . . ◦ gn−1.Рассмотрим совместную поверхность уровня интегралов f1 , . . . , fn и функции f˜, которую определим так: фиксируем точку x0 на совместной поверхности интегралов N n , тогда в силу леммы 2 однозначно определенафункцияf˜(y) = t | ∃!y0 = A(t̃) (x0 ) : gnt (y0 ) = y.Нетрудно увидеть, что в силу гладкости потоков функция f˜ сама является гладкой (локально интегральные потоки задают систему координат на N , а значение этой функции есть просто одна из координатточки в этой системе координат). Градиент этой функции лежит в кокасательном пространстве к N n , но все градиенты первых интегралов,очевидно, не лежат в ней, отсюда следует линейная независимость дифференциаловdf1 , .
. . , dfn , df˜,а значит, по теореме о неявной функции совместная поверхность уровня функций f1 , . . . , fn , f˜ является гладким подмногообразием в N n . Наэтой совместной поверхности уровня гладко транзитивно действует группаtn−1A(t1 , . . . , tn−1 ) = g1t1 ◦ . . . ◦ gn−1,9следовательно, связная компонента поверхности совпадает с орбитойkдейстия группы и является гладким многообразием ≃ Cyln−1, то естьn−1фактором Rпо централизатору Hx0 .Продолжим доказательство теоремы.
По лемме орбита действияkгруппы A определённой выше гомеоморфна Cyln−1.Итак, совместная поверхность уровня – n-мерное гладкое многообразие, инвариантное относительно сдвигов вдоль v1 , . . . , vn , а значит связная компонента совместной поверхности уровня изоморфнаkR × Cyln−1.Пусть на гладком многообразии N заданы гладкие линейно независимые в каждой точке коммутирующие векторные поля v1 , .
. . , vk и путьγ : [0, 1] → Rk , который является кусочно-линейным путём, каждыйгладкий кусок траектории которого параллелен одному из координатных ортов в заранее фиксированном базисе. Определим отображениеN на себяGγ : N → N, Gγ (x) = git11 ◦ . . . ◦ gitnn (x), где оно определено (путь γ проходит вдоль координатных ортов в порядке ij , на каждом из которых его траектория проходит расстояниеtj ). Для произвольного пути отображение определяется через приближение пути кусочно-линейным, причём результат не будет зависеть отконкретного приближения в силу локальной коммутации потоков.Далее каждой точке x0 ∈ N сопоставим односвязную область Ω ⊂R , максимальную область, в которой все потоки коммутируют глобально.
Будем её строить следующим образом:1) B(0, r) ⊂ Ω, т.ч. ∀γ ⊂ B(0, r), Gγ (x0 ) определено, то есть в образеB(0, r) все потоки глобально коммутируют.2) Будем максимально расширять Ω вдоль радиальных путей, насколько это возможно.3) Дополним до максимальной односвязной области глобальной коммутации.В построенной области Gγ1 = Gγ2 , если начала и концы γ1 и γ2 совпадают, поэтому будем писать Gt̄ вместо Gγ , где t̄ = γ(1) − γ(0).kДоказательство теоремы 2. 1) очевидно следует из глобальной коммутации полных и неполных потоков, а именно, пусть y ∈ M (x0 ), значит x = Gt̄ (x0 ), тогда y = As̄ (x) = As̄ ◦ Gt̄ (x0 ) = Gt̄ ◦ As̄ (x0 ) = Gt̄ (y0 ),10множества M (x0 ) и M (y0 ) не пересекаются по определению, и As̄ задаёт их диффеоморфизм. Аналогично доказывается диффеоморфностьA(x0 ) и A(y0 ).3) => 2) в силу теоремы о неявном отображении.
Аналогично доказательству теоремы 2 можно показать, что A(x) является гладким подмногообразием, рассматривая поверхность уровня первых интегралов ифункций, равных времени, за которое можно добраться до фиксированной A(x0 ) (эти функции являются локальными координатами в системекоординат, заданной интегральными траекториями потоков неполныхполей, однозначность координат в некоторой окрестности A(x0 ) гарантируется в 3) ).3) => 4) Если в N нет точек накопления из T , то определено гладкое фактор-отображение прямого произведения M (x0 ) × A(x0 ), котороестроится следующим образом: (x, y) ∈ M (x0 ) × A(x0 ) ≃ (x′ , y ′ ), если∃t ∈ T : (x′ , y ′ ) = t(x, y).Докажем пункт 3)Фиксируем точку x0 на совместной поверхности уровня N .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
