Подсчет количества атомов с одной особой точкой (1162482)
Текст из файла
11.1ВведениеИстория вопросаПонятие атома было введено А.Т. Фоменко для качественного изучения гамильтоновых систем (см. [1]). Атомописывает бифуркацию торов Лиувилля в прообразе критического значения функции морса, определенной на симплектическом многообразии. В случае систем с двумя степенями свободы возникают трехмерные изоэнергетичексиемногообразия (при H=const). Тем самым 3-атомы ( то есть трехмерные атомы (см. [1], [2])) классифицируют особенности слоений Лиувилля.
В [1], [2] доказано, что трехмерные атомы однозначно, с точностью до гомеоморфизма,кодируется двумерными атомами.А.Т. Фоменко была поставлена задача:”Описать 2-атомы, соответствующие функциям с вырожденными критическими точками”. В качестве первого важного шага было решено исследовать атомы с одной вырожденной критической точкой степени 2n. Оказывается, что изучение 2-атомов можно свести к изучению хордовых диаграмм (сточностью до симметрии).В [3], [4] вычислено количество хордовых диаграмм с точностью до поворотов (см.
[3], Khruzin) и поворотов исимметрий (см. [4], Манойло). В работах [3] и [4] вопрос о хордовых диаграммах, соответствущих ориентируемыматомам не ставился.Также есть работы по построению алгоритмов нахождения на компьютере хордовых диаграмм с точность доповоротов, например в статьях |5| и |6|. В результате работы алгоритмов выдаются кодировки подходящих хордовыхдиаграмм. В.О.Мантуров в статье |7| с помощью языка Mathematica 3.0 перечислил хордовые диаграммы с 2nвершинами и привел их для n = 5.Для обычных (не черно-белых) хордовых диаграмм их количество, найденное в данной работе совпадает с результатами работ |3|, |4| для небольших размерностей (до n=5).
Отметим, что количество хордовых диаграммрастет очень быстро, например количество хордовых диаграмм с точностью до поворотов при n = 12 равно13176573910, как указано в работе |5| Joe Sevada. Ассимптотика роста найдена A.Khruzin в работе |3| и равна(2n − 1)!!/(2n) для хордовых диаграмм с точностью до поворотов и (2n − 1)!!/(4n) для хордовых диаграмм с точностью до поворотов и симметрий. Нестрого причины появления таких чисел таковы: количество хордовых диаграммс фиксированной нумерацией вершин равно (2n − 1)!!, при n → ∞ практически все хордовые диаграммы не имеютсимметрий и имеют период 2n, а любая хордовая диаграмма, имеющая период 2n и не имеющая осей симметрийучаствует в выражении (2n − 1)!!) ровно 2n раза с точностью до поворотов и 4n раза с точностью до поворотов исимметрий.
Аналогично, количество черно-белых диаграмм с точностью до поворотов равно n!/(2n) и с точностьюдо поворотов и симметрий — n!/(4n), т.к. количество черно-белых хордовых диаграмм с фиксированной нумерацией вершин равно n! (берем первую черную вершину, ей соответствует одна из n белых, следующей черной — однаиз n − 1 белой и т.д.). Отсюда можно сделать вывод, что доля количества классов эквивалентности ориентируемыхn!n!/ 4n→ ∞ и (2n−1)!!/ 2n→ ∞ при n → ∞.вырожденных атомов среди всех атомов стремится к 0, так как (2n−1)!!4n2nДля хордовых диаграмм с фиксированным направлением обхода и началом отсчета можно рассматривать ориентируемые поверхности им соответствующие, получающиеся приклейкой неперекрученных ленточек вместо хордк границе диска и дальнейшей заклейкой граничных окружностей дисками.
Таким образом, каждой хордовой диаграмме можно поставить в соответствие число — род соответствующей хордовой диаграмме поверхности. ФормулаХарера-Загира дает характеристическую функцию числа хордовых диаграмм рода g (см. |8|), а также в работе |9|показано, что эти числа распределены нормально с математическим ожиданием (n − ln n)/2 и дисперсией (ln n)/4.Понятие атома также представляет интерес для теории узлов и комбинаторики. Например в теории инвариантов Васильева черно-белые хордовые диаграммы, рассматриваемые в теореме 3.1.1 соответствуют хордовымдиаграммам с четными хордами.1.2Результаты данной работыВ нашей работе был проведен анализ 2-атомов с одной критической точкой. Задача была сведена к дискретнойпутем доказательства существования биекции между классами эквивалентности 2-атомов (с точностью до гомеоморфизма) и множеством хордовых черно-белых хордовых диаграмм (с точностью до поворотов и симметрий).Доказательство приведено в Утверждении 2.2.1.Для получения количества хордовых диаграмм степени 2n (с точностью до поворотов и отражений) в основубыли взяты труды [3] и [4], как результат сформулирована Теоремы 3.1.1.
В Теореме 3.1.1 получены рекуррентныесоотношения, на что Никоновым И.М. было замечено, что возможно представление данных формул в нерекуррентном виде, в следствии чего была получена Теорема 3.1.2Также в работе приведены примеры подсчета классов эквивалентностей вырожденных 2-атомов с одной критической точкой для небольших n.122.1Постановка проблемыОпределение атомаДля начала введем понятия вырожденного седлового атома с одной вершиной.Определение 2.1.1 (Вырожденный седловой атом с одной вершиной степени 2n (2-атом)). Упорядоченная пара(P, K), где P - компактная связная двумерная поверхность с краем, а K - это вложенные в нее граф, у которогоодна вершина и n ребер (n > 2), называется “вырожденным седловым атомом с одной вершиной”, если:1) каждая из компонент связности P \K гомеоморфна кольцу I × S, где I — это полуинтервал, а S — этоокружность;2) каждое кольцо можно покрасить в один из двух цветов так, что к каждому ребру графа K в поверхности Pпримыкали кольца разных цветов.
Степень атома определим, как число 2n.При таком определение легко наследуется понятия “ориентируемости” и “эквивалентности” из классическойтеории поверхностей.Определение 2.1.2. Ориентируемый атом Атом является ориентируемым, если ориентируема соответствующая поверхность P .Определение 2.1.3 (Эквивалентность двух атомов).
Атомы являются эквивалентными, если существует гомеоморфизм соответствующих пар (цвета раскраски при этом можно одновременно менять на противоположные).Теперь мы можем рассматривать классы эквивалентности 2-атомов и возникает естественный вопрос: скольковсего классов эквивалентности? Для решения данной задачи мы разобъем её, естественным образом, на задачиподсчета отдельно количества классов эквивалентности ориентируемых 2-атомов и неориентируемых.Для полноценного сведения задачи к комбинаторной очень удобным оказалось понятия хордовой диаграммы ичерно-белой хордовой диаграммы.2.2Сведение задачи к хордовым диаграммамОпределение 2.2.1 (Хордовая диаграмма с 2n вершинами). Хордовой диаграммой с 2n вершинами называетсямножество из 2n точек в вершинах правильного многоугольника и окружности, которой они принадлежат,занумерованных по часовой стрелке натуральными числами от 1 до 2n, с проведенными между ними отрезками,называемыми хордами и разделяющими точки на пары.
Точку с номером 1 называют началом отсчета. Причеммногоугольник задан на стандартной плоскости R2 , его центр совпадает с точкой (0, 0) и вершина с номером 1имеет координату (0, 1).Хордовые диаграммы можно отождествлять с 2-атомами с одной особенностью, в то время, как для описанияориентируемых 2-атомов наилучшим образом подходит поняте “черно-белой хордовой диаграммы”:Определение 2.2.2 (Черно-белая хордовая диаграмма с 2n вершинами). Черно-белой хордовой диаграммой с 2nвершинами называется хордовая диаграмма с раскрашенными поочередно в черный и белые цвета вершинами, вкоторой каждая хорда соединяет вершины только разного цвета.Замечание 1.
Раскраска не фиксирована, то есть ее можно одновременно менять на противоположную у всехвершин. Нам будет важно только то, что хорды соединяют вершины из разных классов. Следующие определениявводятся аналогично для черно-белых диаграмм.Заметим также, что так как 2-атомы мы рассматриваем с точностью до гомеоморфизма, то и на множестве всеххордовых диаграмм нужно ввести некоторые симметрии: поворот на угол 2πkn относительно центра окружности иотражение относительно основного диаметра.Определение 2.2.3 (Эквивалентность двух 2-атомов).
Две хордовые диаграммы называются эквивалентнымис точностью до поворотов и отражений, если существует поворот или отражение относительно оси, проходящей через начало координат, h : R2 → R2 (или их композиция), переводящая первую хордовую диаграмму вовторую (без учета нумерации вершин).Рационально будет рассматривать не все хордовые диаграммы, а классы эквивалентности относительно перечисленных выше симметрий.Теперь покажем сходство двух множеств: множества классов эквивалентности вырожденных седловых атомовс одной вершиной степени 2n и множества классов эквивалентности хордовых диаграмм с 2n вершинами (классыэквивалентности относительно введеных на множествах симметрий).2Утверждение 2.2.1.
Существует естественная биекция между множеством классов эквивалентности вырожденных седловых атомов с одной вырожденной точкой и множество классов эквивалентности хордовыхдиаграмм с 2n вершинами.Доказательство. Построим отображение из класса эквивалентных атомов в класс эквивалентных, с точностьюдо поворота и симметрий, хордовых диаграмм и покажем, что оно является биекцией. Рассмотрим гомеоморфныйокрестности критической точки атома степени 2n диск в стандартной плоскости R2 с центром в начале координат ирадиусом 1. На границе диска задана последовательность точек пересечения ребер графа K и диска, перенумеруемточки по часовой стрелке числами от 1 до 2n, выбрав любую из них в качетсве первой.
Известно, какие пары точексоединены ребром в графе K, а значит и в последовательности нумерованных вершин. Построим соответствующемуатому хордовую диаграммы с точностью до поворотов и отражений. На окружности радиуса 1 в стандартнойплоскости расположим точки в вершинах правильного многоугольника, зануме- руем их по часовой стрелке так,что вершина с номером 1 имеет координату (0, 1) и построим хорды между вершинами с теми номерами, которыесоединены реб- ром графа K в последовательности перенумерованных вершин на диске.
Покажем проводимыепреобразования на примере:(a)(b)(c)Рис. 1: Пример построения отображения: (d) пример вырожденного седлового атома степени 6; (c) соответствиемежду полуребрами графа K вырожденного атома и вершинами хордовой диаграммы; (a) соответствующая атомухордовая диаграмма.Покажем корректность построенного отображения, для этого нужно показать, что эквивалентные атомы перейдут в эквивалентные с точностью до поворотов и симметрий хордовые диаграммы.Гомеоморфизм атомов можно ограничить на окрестность критической точки, поэтому, если рассмотреть длядвух эквивалентных атомов соответствующие им диски и построенные по ним хордовые диаграммы, то хордовыедиаграммы могут отличаться друг от друга поворотом и отражением(ввиду неоднозначности выбора точки началаотсчета и направления обхода на граничных окружностях дисков).Докажем биективность построенного отображения.
Для любой заданной хордовой диаграммы построим единственный с точностью до гомеоморфизма соответствующий ей атом. Пусть есть хордовая диаграмма с 2n вершинами, “перебрасываем ребра во внешнюю сторону окружности”, проводим отрезки, соединяющие вершины с началомкоординат. На этом этапе получаем граф K и окрестность критической точки атома, к которой впоследствии будемприклеивать ленточки. Временно раскрасим вершины хордовой диаграммы в черный и белый цвета в шахматномпорядке.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
