Лекции по методам математической статистики (1162373)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Методы математической статистики. Лекции.Пособие предназначено для освоения материала по математической статистике для студентов 4 курса физического факультета МГУ. Материал данного пособия несколько шире, чем был изложен на лекциях. Доказательства теорем инекоторые необязательные сведения выделены мелким шрифтом. Список использованной литературы и краткое оглавление приведены на последних страницах.(1-й вариант, 20 декабря 2015 г.)1ВведениеВ математической статистике на основе исходных экспериментальных данных (как правило,это наблюдения над случайными величинами) требуется вынести то или иное суждение илирешение о природе рассматриваемого явления, точнее, о параметрах математической (вероятностной) модели, описывающей это явление.

Речь идет об интерпретации (анализе) данныхэксперимента с ощутимой (не пренебрежимой) изменчивостью.Среди содержательных статистических задач можно выделить следующие типы:1) компактное описание информации, полученной в ходе исследования (построение вариационных рядов, расчет неизвестных параметров распределений, статистические группировочные таблицы и пр.);2) нахождение и измерение взаимосвязи между признаками явления (корреляционный,дисперсионный анализ и пр.);3) описание связей и взаимосвязей между признаками изучаемых явлений (регрессионныйанализ, математическое моделирование);4) выявление латентных (скрытых) факторов, детерминирующих связи изучаемого наборапараметров данного явления (факторный, латентный анализ);5) классификация признаков объектов, в том числе построение типологий (дискриминантный, кластерный анализ);6) проверка содержательных гипотез статистическими методами, оценка значимости расчетных значений статистических показателей и параметров распределений;7) прогнозирование путем выявления основных тенденций развития определенного процесса (временные, динамические ряды).Как правило, исследования ведутся в рамках некоторого семейства вероятностных моделей, зачастую полностью определенных с точностью до ограниченного числа неизвестныхпараметров.Кроме известных из теории вероятностей величин, таких, как функция распределенияFϑ (x), характеристическая функция f (t), моменты Eξ k , в статистике используются специфические понятия и обозначения1 :мода — точка максимума плотности вероятности,квантиль (p-квантиль) xp = res(F (x) = p), 0 < p < 1,в частности,x0.5 —медиана,x0.75 — верхняя квартиль,x0.25 — нижняя квартиль,1 Для обозначения математического ожидания в математической статистике чаще используется символ E — от иностранныхслов: expectation (англ.) или Erwartung (нем.)1x0.1 x0.2 ,...,x0.9 — децили.Кроме моментов в математической статистике используются следующие параметры распределений :3E ξ−Eξасимметрия: γ1 = 3/2Dξ4E ξ−Eξe2 = γ2 − 3.эксцесс: γ2 = 2 или γDξПримеры (проверьте самостоятельно).Нормальное распределение N(0, 1): γ1 = 0, γe2 = 0.q−p1Биномиальное распределение: γ1 = √npq , γe2 = npq− n6 .Равномерное распределение U (−1, 1): γ1 = 0, γe2 = − 65 .Центральным понятием математической статистики является выборка.1.1Определения1.

Однородной выборкой (выборкой) объема n при n > 1 называется случайный вектор~ξ = (ξi , ......, ξn )T , координаты которого ξi , i = 1, . . . , n, называемые элементами выборки,являются независимыми случайными величинами с одной и той же функцией распределенияF (x). Будем говорить, что выборка ξ~ соответствует функции распределения F (x).2. Реализацией выборки называется неслучайный вектор ~x = (xi , ..., xn )T , координатамикоторого являются реализации соответствующих элементов выборки ξi , i = 1, . .

. , n. Из определений 1 и 2 вытекает, что реализацию выборки ξ~ можно также рассматривать как последовательность x1 ..., xn из n реализаций одной и той же случайной величины ξ, полученных всерии из n независимых одинаковых опытов, проводимых в одинаковых условиях. Поэтомуможно говорить, что выборка ξ~ порождена наблюдаемой случайной величиной ξ, имеющейраспределение Fξ (x) = F (x).3. Если координаты вектора ξn независимы, но их распределения F1 (x1 ), ..., Fn (xn ) различны, то такую выборку называют неоднородной.4.

Множество X всех реализаций выборки ξn называется выборочным пространствомили генеральной совокупностью. Выборочное пространство может быть всем n-мерным евклидовым пространством Rn или его частью, если случайная величина ξ непрерывна, атакже может состоять из конечного или счетного числа точек из Rn , если случайная величина ξ дискретна. На практике при исследовании конкретного эксперимента распределения F1 (x1 ), ..., Fn (xn ) случайных величин ξi , ..., ξn редко бывают известны полностью. Частоаприори (до опыта) можно лишь утверждать, что распределение Fzn (zn ) = F1 (x1 ) · ... · Fn (xn )случайного вектора ξn принадлежит некоторому классу (семейству) P.Пара (X, A), где (A) — σ-алгебра подмножеств X является измеримым пространством, атройка (X, A, P) — статистической структурой.5.

Если распределения F (x, ϑ) из класса P определены с точностью до некоторого векторного параметра ϑ ∈ Θ ⊂ Rs , то такая статистическая модель называется параметрической. Внекоторых случаях выборочное пространство может не зависеть от неизвестного параметрараспределения (ϑ). В зависимости от вида статистической модели в математической статистике формулируются соответствующие задачи по обработке информации, содержащейся ввыборке.~ где ϕ(·) — произвольная измеримая функция от выборки,6.

Случайная величина η = ϕ(ξ),определенная на выборочном пространстве X и не зависящая от распределения F , называетсястатистикой.7. Вариационный ряд. Упорядочим элементы реализации выборки xi , ..., xn по возрастанию: x(1) 6 x(2) 6 . . . 6 x(n) , где индекс в скобках соответствует номеру элемента вупорядоченной последовательности. Обозначим через ξ(k) , k = 1, . . . , n, случайные величины,2которые при каждой реализации ~x выборки ξ~ принимают k-ое значения x(k) . Упорядоченную последовательность случайных величин ξ(1) 6 ξ(2) 6 . . .

6 ξ(n) называют вариационнымрядом выборки.8. Элементы ξ(k) вариационного ряда называются порядковыми статистиками, а крайниечлены вариационного ряда ξ(1) , ξ(n) — экстремальными порядковыми статистиками.~ для статистики ξ(1) = ϕ(ξ)~ определяется следующимНапример, для k = 1 функция ϕ(ξ)образом:~ = min{ξ(k) : k = 1, .

. . , n.}ϕ(ξ)Если однородная выборка ξn соответствует распределению F (x), то k-ая порядковая статистика ξ(k) имеет следующую функцию распределения:F(k) (x) = P {ξ(k) < x} =nXCni [F (x)]i [1 − F (x)]n−i .i=kВ частности, для k = 1 и k = n имеемF(1) (x) = 1 − [1 − F (x)]n ,F(n) (x) = [F (x)]n .Ранги и ранжирование. Рангом называется номер в упорядоченной (обычно по возрастанию) совокупности. При совпадении значений обычно берут средний номер (средниеранги).Ранжирование — переход к последовательности рангов.Ранжировка — результат перехода.Вариационныый ряд — совокупность, упорядоченная в соответствии с возрастанием рангов(обозначение x(1) , x(2) , .

. . , x(n) ).Выборочная (эмпирическая) функция распределенияk, x ∈ (x(k) , x(k+1) ], k = 1, . . . , n − 1,nx 6 x(1) ,F ∗ (x) = 1, x > x(n) .F ∗ (x) = Fn∗ (x) =F ∗ (x) = 0,Выборочное математическое ожидание — x =Выборочная дисперсия —1nВыборочная ковариация —nP1nxi1(xi − x)2 или (несмещенная)11nnPnP1n−1nP(xi − x)21(xi − x)(yi − y).1Соответствующим образом определяются выборочные асимметрия и эксцесс.Вернемся к задачам, стоящим перед математической (теоретической) статистикой.Исследуются вопросы:1). Согласуются ли данные с выбранным семейством вероятностных моделей.2).

Какие заключения можно сделать о значениях неизвестных параметров и функций отних (эти проблемы связаны, но методически их чаще всего различают).В рамках параметрической статистики можно представить себе эксперимент как вероятностный автомат:ϑ −→ Pϑ −→ xВсякий статистический анализ должен по наблюдению x вынести решение δ(x),δ(x) = d ∈ D относительно истинного значения параметра ϑ. δ(·) : x 7→ D — решающаяфункция (правило) или статистическая стратегия (критерий).D = {d} — множество возможных решений относительно истинного значения параметраϑ (пространство решений).3Как правило, ограничиваются априори некоторым множеством ∆ допустимых стратегий.Случай 1. Решение — точка ϑ0 из Θ, D = Θ, — теория точечных оценок. ∆ — например,несмещенные оценки.Случай 2.

Решение — некоторое подмножество Θ и D ⊂ M(Θ), где M(Θ) — множествовсех подмножеств множества Θ. Это теория доверительных множеств.Случай 3. Пусть Θ = Θ1 + Θ2 + · · · + Θs , D = (d1 , . . . , ds ), где di — решения вида ϑ ∈ Θi .Это теория проверки сложных гипотез. Задача решается до конца в случае одноточечныхмножеств ϑi (простые гипотезы).Конечная цель статистического исследования — выбор стратегии.

При этом желательноопределить критерии предпочтительности.2Точечные оценки.Пусть {ξi }, i = 1, 2, . . . , n — независимая выборка из распределения P (x, ϑ), где ϑ — неизвестный параметр. Нас интересует оценка величины τ (ϑ) (здесь τ (·) — известная функция),причем роль оценки играет некоторая статистика t(ξ).Терминология: X — выборочное пространство, n — объем выборки, всякая измеримаяфункция от выборки называется статистикой, следовательно по определению любая точечнаяоценка — статистика.Желательные свойства оценок:1. Несмещенность Et(ξ) = τ (ϑ). (Гарантирует от накопления систематических ошибок).P2. Состоятельность Tn (ξ) −→ τ (ϑ) (фактически рассматривается последовательность оцеn→∞нок).3. Минимальность дисперсии (если оценка несмещенная) — качество оценки при фиксированном объеме выборки.Примеры.nPНесмещенность µb = n1ξi очевидна.

Состоятельность µb — утверждение З.Б.Ч.i=1Если ξi ∼ N(µ, σ ), то σb2 =2ствительно, при этом σb2 =1n−1nP(ξk − µb)2 — несмещенная и состоятельная оценка. Дей-k=112 2σχn−1 ,n−122Ebσ 2 = σ 2 , а Dbσ2 =σ4Dχ2n−1(n−1)2=σ42(n(n−1)2− 1) и по2σ 4неравенству Чебышёва P {|bσ − σ | > ε} < ε2 (n−1) −→ 0. Если ξ не является нормальной, тоn→∞несмещенность оценки сохраняется:XXE(ξi − µb)2 = E[(ξi − µ)2 − 2(ξi − µ)(bµ − µ) + (bµ − µ)2 ] =XXX= E[ (ξi − µ)2 − 2(bµ − µ)(ξi − µ) +(bµ − µ)2 ] == E[XXX1Xn X(ξi − µ)2 − 2(ξi − µ)(ξi − µ) + 2(ξi − µ)(ξi − µ)] =nn= nσ 2 − 2σ 2 + σ 2 = (n − 1)σ 2 ,а состоятельность — нет.Минимальность дисперсии — желательное свойство, однако заметим, что смещение можетуменьшить ср. кв. уклонение.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций