2 Обобщенные линейные модели. Регуляризация обучения (1162170)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция 2Ветров,ЖуравлевЛикбезСтатистическаяпостановказадачимашинногообученияЛинейнаярегрессияЗадачаклассификацииЛекция 2. Обобщенные линейныемодели. Регуляризация обучения.Д. П. Ветров11Ю. И. Журавлев1МГУ, ВМиК, каф. ММПКурс «Математические основы теориипрогнозирования»План лекцииЛекция 2Ветров,ЖуравлевЛикбезСтатистическаяпостановказадачимашинногообученияЛинейнаярегрессияЗадачаклассификации1 ЛикбезОсновные понятия мат. статистикиНормальное распределениеРешение нерешаемых СЛАУ2 Статистическая постановка задачи машинного обученияВероятностное описаниеБайесовские решающие правила3 Линейная регрессияКлассическая линейная регрессияМетод наименьших квадратовВероятностная постановка задачи4 Задача классификацииЛогистическая регрессияМетод IRLSПлан лекцииЛекция 2Ветров,ЖуравлевЛикбезОсновныепонятия мат.статистикиНормальноераспределениеРешениенерешаемыхСЛАУСтатистическаяпостановказадачимашинногообученияЛинейнаярегрессияЗадачаклассификации1 ЛикбезОсновные понятия мат.

статистикиНормальное распределениеРешение нерешаемых СЛАУ2 Статистическая постановка задачи машинного обученияВероятностное описаниеБайесовские решающие правила3 Линейная регрессияКлассическая линейная регрессияМетод наименьших квадратовВероятностная постановка задачи4 Задача классификацииЛогистическая регрессияМетод IRLSКраткое напоминание основныхвероятностных понятийЛекция 2Ветров,ЖуравлевЛикбезОсновныепонятия мат.статистикиНормальноераспределениеРешениенерешаемыхСЛАУСтатистическаяпостановказадачимашинногообученияЛинейнаярегрессияЗадачаклассификации• X : Ω → R – случайная величина• Вероятность попадания величины в интервал (a, b)равнаP(a ≤ X ≤ b) =bp(x)dx,aгде p(x) – плотность распределения X, ∞p(x) ≥ 0,p(x)dx = 1−∞• Если поведение случайной величины определяетсянекоторым параметром, возникают условныеплотности p(x|θ).

Если рассматривать уcловнуюплотность как функцию от параметраf (θ) = p(x|θ),то принято говорить о т.н. функции правдоподобияОсновная задача мат. статистикиЛекция 2Ветров,ЖуравлевЛикбезОсновныепонятия мат.статистикиНормальноераспределениеРешениенерешаемыхСЛАУСтатистическаяпостановказадачимашинногообученияЛинейнаярегрессияЗадачаклассификации• Распределение случайной величины X известно сточностью до параметра θ• Имеется выборка значений величины X, x = (x1 , . .

. , xn )• Требуется оценить значение θ• Метод максимального правдоподобияθ̂ML = arg max f (θ) = arg max p(x|θ) = arg maxnp(xi |θ)i=1• Можно показать, что ММП является ассимптотическиоптимальным при n → ∞• Увы, мир несовершенен. Величина n конечна и обычноне слишком велика• Необходима регуляризация методаПример некорректного использованияметода максимального правдоподобияЗадача восстановления смеси нормальных распределенийЛекция 2Ветров,ЖуравлевЛикбезОсновныепонятия мат.статистикиНормальноераспределениеРешениенерешаемыхСЛАУСтатистическаяпостановказадачимашинногообученияЛинейнаярегрессияЗадачаклассификации2• X ∼ w1 N (μ1 , σ12 ) + · · · + wm N (μm , σm)• Необходимо определитьθ = (m, μ1 , σ12 , .

. . , μm , σm2 , w1 , . . . , wm )• Применяем ММПp(x|θ) =np(xi |θ) =i=1mn i=1 j=1xi − μj 2√exp −2σj22πσjwj• Решениеm̂ML = nμ̂j,ML = xj2σ̂j,ML=01ŵML,j =n→ maxθПлан лекцииЛекция 2Ветров,ЖуравлевЛикбезОсновныепонятия мат.статистикиНормальноераспределениеРешениенерешаемыхСЛАУСтатистическаяпостановказадачимашинногообученияЛинейнаярегрессияЗадачаклассификации1 ЛикбезОсновные понятия мат. статистикиНормальное распределениеРешение нерешаемых СЛАУ2 Статистическая постановка задачи машинного обученияВероятностное описаниеБайесовские решающие правила3 Линейная регрессияКлассическая линейная регрессияМетод наименьших квадратовВероятностная постановка задачи4 Задача классификацииЛогистическая регрессияМетод IRLSНормальное распределениеЛикбезОсновныепонятия мат.статистикиНормальноераспределениеРешениенерешаемыхСЛАУСтатистическаяпостановказадачимашинногообученияЛинейнаярегрессияЗадачаклассификации• Нормальное распределение играет важнейшую роль вматематической статистике(x − μ)21X ∼ N (x|μ, σ 2 ) = √exp −2σ 22πσμ = EX, σ 2 = DX E(X − EX)22Ветров,Журавлевp(x|m,s )Лекция 2sm3s• Из центральной предельной теоремы следует, чтосумма независимых случайных величин с ограниченнойдисперсией стремится к нормальному распределению• На практике, многие случайные величины можносчитать приближенно нормальнымиМногомерное нормальное распределениеЛекция 2Ветров,ЖуравлевЛикбезОсновныепонятия мат.статистикиНормальноераспределениеРешениенерешаемыхСЛАУСтатистическаяпостановказадачимашинногообученияЛинейнаярегрессияЗадачаклассификации• Многомерное нормальное распределение имеет видX ∼ N (x|μ, Σ) = √2π1n√1T −1exp − (x − μ) Σ (x − μ) ,2det Σгде μ = EX, Σ = E(X − μ)(X − μ)T — векторматематических ожиданий каждой из n компонент иматрица ковариаций соответственно• Матрица ковариаций показывает, насколько сильносвязаны (коррелируют) компоненты многомерногонормального распределенияΣij = E(Xi − μi )(Xj − μj ) = Cov(Xi , Xj )• Если мы поделим ковариацию на корень изпроизведений дисперсий, то получим коэффициенткорреляцииCov(Xi , Xj )∈ [−1, 1]ρ(Xi , Xj ) DXi DXjОсобенности нормального распределенияЛекция 2Ветров,ЖуравлевЛикбезОсновныепонятия мат.статистикиНормальноераспределениеРешениенерешаемыхСЛАУСтатистическаяпостановказадачимашинногообучения• Нормальное распределение полностью задаетсяпервыми двумя моментами (мат.

ожидание и матрицаковариаций/дисперсия)• Матрица ковариаций неотрицательно определена,причем на диагоналях стоят дисперсиисоответствующих компонент• Нормальное распределение имеет очень легкие хвосты:большие отклонения от мат. ожидания практическиневозможны. Это обстоятельство нужно учитыватьпри приближении произвольных случайных величиннормальнымиЛинейнаярегрессияЗадачаклассификацииx2x2x2x1(a)x1(b)x1(c)План лекцииЛекция 2Ветров,ЖуравлевЛикбезОсновныепонятия мат.статистикиНормальноераспределениеРешениенерешаемыхСЛАУСтатистическаяпостановказадачимашинногообученияЛинейнаярегрессияЗадачаклассификации1 ЛикбезОсновные понятия мат.

статистикиНормальное распределениеРешение нерешаемых СЛАУ2 Статистическая постановка задачи машинного обученияВероятностное описаниеБайесовские решающие правила3 Линейная регрессияКлассическая линейная регрессияМетод наименьших квадратовВероятностная постановка задачи4 Задача классификацииЛогистическая регрессияМетод IRLSПсевдообращение матрицЛекция 2Ветров,ЖуравлевЛикбезОсновныепонятия мат.статистикиНормальноераспределениеРешениенерешаемыхСЛАУСтатистическаяпостановказадачимашинногообученияЛинейнаярегрессияЗадачаклассификации• Предположим, нам необходимо решить СЛАУ видаAx = b• Если бы матрица A была квадратной и невырожденной(число уравнений равно числу неизвестных и всеуравнения линейно независимы), то решениезадавалось бы формулой x = A−1 b• Предположим, что число уравнений больше числанеизвестных, т.е.

матрица A прямоугольная.Домножим обе части уравнения на AT слеваAT Ax = AT b• В левой части теперь квадратная матрица и ее можноперенести в правую часть−1 Tx = AT AA b T −1 T• Операция A AA называется псевдообращениемматрицы A, а x – псевдорешениемНормальное псевдорешениеЛекция 2Ветров,ЖуравлевЛикбезОсновныепонятия мат.статистикиНормальноераспределениеРешениенерешаемыхСЛАУСтатистическаяпостановказадачимашинногообученияЛинейнаярегрессияЗадачаклассификации• Если матрица AT A вырождена, псевдорешенийбесконечно много, причем найти их на компьютеренетривиально• Для решения этой проблемы используетсяридж-регуляризация матрицы AT AAT A + λI,где I – единичная матрица, а λ – коэффициентрегуляризации. Такая матрица невырождена длялюбых λ > 0• Величина−1 Tx = AT A + λIA bназывается нормальным псевдорешением.

Оно всегдаединственно и при небольших положительных λопределяет псевдорешение с наименьшей нормойГрафическая иллюстрацияЛекция 2Ветров,ЖуравлевЛикбез(0.0175,0.0702)1.=12+5x=2+xx111Статистическаяпостановказадачимашинногообученияневязку, а нормальное псевдорешение отвечаетпсевдорешению с наименьшей нормой-xОсновныепонятия мат.статистикиНормальноераспределениеРешениенерешаемыхСЛАУ• Псевдорешение соответствует точке, минимизирующей-2x2=1ЛинейнаярегрессияЗадачаклассификации• Заметим, что псевдообратная матрица AT A−1−1совпадает с обратной матрицей A в случаеневырожденных квадратных матрицATПлан лекцииЛекция 2Ветров,ЖуравлевЛикбезСтатистическаяпостановказадачимашинногообученияВероятностноеописаниеБайесовскиерешающиеправилаЛинейнаярегрессияЗадачаклассификации1 ЛикбезОсновные понятия мат.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций