Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1161662), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Следовательно, величина самого лаваення будет находиться в обратной зависимости от квадрата толщины слоя жидкости между стенками. Чтобы зто учесть, заменим размерное давление р через безраамерное р, следующим образом: гидРОДЕИАмическАя теОРия смАзки !гл, ч! 196 1 й — — ° е (2.12) При этом предположении сохраним в соотношениях (2.10) и в уравнениях (2.11) лишь слагаемые, имеющие наибольший порядок величины.
Тогда соотношения, выражающие гипотеау Ньютона, предста. вятся в виде ~~а 'е ри,' Рии = РЫ е Р()з, рт,= — —,ры (2.13) а ди, р,„=рП, д', з Гдиг дге,! г 'чдщ+ дкг!' е дмг Рви= Р()г3 —, У На основании полученных равенств (2.13) заключаем, что в тонком смазочном слое наибольшим по своему порядку нипряжением будет напряжение давления. Из касательных напряжений наибольшими по своему порядку будут те компоненты напряжений, которые развиваются на площадках, перпендикулярных к оси у, т. е, на площадках, приблизительно параллельных ограничивающим поверхностям. Дифференциальные уравнения (2.!1) при использовании (2.12) и сохранении слагаемых, не содержащих в качестве множителя параметр -, принимают следующий вид: (2.14) На основания второго уравнения (2.14) мы заключаем, что е тонком смазочном слое давление не изменяется по толщине слоя.
Возвращаясь в соотношениях (2.!3) и уравнениях (2.14) к размерным величинам и присоединяя к ннм уравнение несжимаемости, Полученные дифференциальные уравнения движения вязкой жидкости в тонком слое содержат два безраамерных параметра в и гч. Параметр е, представляющий собой отношение толщины слоя к среднему радиусу кривизны поверхностей, считается заведомо малой величиной, а 1ч мовкет и не быть малой. Теперь примем, что число Рейнольдса по своему порядку обратно пропорционально значению параметра г в первой степени, т. е. 3) диежвтвнцилльнои ттхвнвнив для давления в слоя 197 получим: Р = — Р дж /ди дсе( (2.16) ' Е' 1 ду ' Рев 1 (,де+ дх,)' ) Р =Ряв= да Рие 1 ду' др дхи д-.= Г1 =О, др У др дэи ое Р 63' да до дсе — + — + — = О. дх ду де (2.16) Дифференциальные уравнения (2.11) при подстановке (2.12) будут содержать только один малый параметр е.
Решения втой системы дифференциальных уравнений можно представить в виде рядов по степеням этого параметра. Тогла этв система уравнений вместе с уравнением несжнмаемостн разобьвтся иа последовательность отпепьных систем уравнений. Первой системой этой последовательности будут уравнения Рейнольдсэ (2.14), второй же системой будут те уравнения, которые были использованы Л.
С. Лейбензоном с) лли вычисления первой попрэвкн на учат квадратичных членов инерции. ф 3. Дифференциальное уравнение для давления в слое Дифференциальные уравнения (2.16) разрешаются весьма просто относительно скоростей. Так как давление не зависит от у, то в перлом и третьем уравнениях можно провести интегрирование по переменному у. Интегрирование по переменному у можно провести н в уравнении несжимаемости. В результате этих интегрирований ') Л ей бе н во н Л. С., Второе приближение з теории О.
Рейнольдса, сборник «Гидродннамическзя теория смвзкнь, ГТТИ, 1934, стр. 557; Слб з к ни Н. А., К воврасу об уточнении решейнй уравнений Рейнольхса, ДАН СССР, т. (.(Ч, )а 2, 1946. Полученные дифференциальные уравнения (2.16) носят название дифференциальных уравнений Рейнольдса для смазочного слоя. Сопо. ставляя зти уравнения с полными дифференциальными уравнениями устанознвшегосн движения несжимаемой вязкой жидкости, мы видим, что для перехода от полных уравнениИ к уравнениям (2.!6) должны быть отброшены не только все квадратичные члены инерции, но и часть слагаемых, обусловленных вязкостью.
Таким образом, диффе'ренциальные УРавнения Рейнольдса совершенно не учнтываз1 квадратичных членов инерции и лишь частично учитывают слагаемые от вязкости. (гл. чъ гидгодинлмичвскья твогия смазки ны получим следующие равенства для скоростей: и = — д — уз+ С,у+ Са, 1 др = )- —,у'+С у+Си 1 др о = — ~ ( — +-~-) Ыу+ Сь. д (ЗП) Входящие в этн равенства С,, Сз, Сз, С и С в общем случае могут считаться функциями переменных х и х. Установим граничные условия для скоростей. По нашему предположению точки первой поверхности имеют скорость У, только в направлении оси х, т.
е. граничные условия на первой поверхности будут представляться в виде и=.У,, о=О, ш.=б. (3.2) при у=О Точки второй поверхности имеют скорости У по касательной н Уя по нормали. Проектируя этн скорости на оси х и у и обозначая переменную толщину слоя через й, получим: прн у=и(х, л) и Узсоя(т, х) — Узз(п(т, х), о=У,зш(т, х)+Уясня(с, х), ш=О. Тангенс угла наклона касательной т ко второй поверхности к оси х будет представляться в виде ди 18(т. х) — дх.
В силу предположения о сравнительно малом искривлении второй поверхности можно положить: да 51п (т, х) 1и(т, х)= —, соя (с, х) 1.. При таком предположении граничные условия на второй поверхности будут представляться. в виде дз дл при у=и(х, з) и=Уз — У л-, о=Уях--+Ую ш=б. В предшествующем параграфе указывалось, что величяна скорости Уа ди должна быть малой величиной. Следовательно, произведение Уят- будет малой величиной второго порядка н им можно пренебречь. 31 диееаганпнальнов ггавивннв для ллвлзния в слов 199 при у = Ь (х, х) и = иа, о = $'я+ и~ 3-, те = О. (3,3) дл Используя граничные условна (3.2) и (З.З), получим: Са —— иы С =О, Са — О, С,= — —, хЬ+ — (и,— и), С,= — — —,Ь;1 1 ар 1 1 ар, (3,4) ь ияй+ г'з= — ~ Й+ а ) йу.
(З,б) о Подставляя в (3.1) значения С„, См Сз, С~ н Сз нз (3.4), получим следующие выражения для скоростей: + — (и,— и) — — — (уь — у), У ! др Ь 2н дх — — (УЬ вЂ” у ) 1 др 2н дх и = и„ (З.б) Обратимся теперь к еше неиспользованному соотношению (3.5). Вынесем за знак интеграла в правой части произволные по х н х, но при этом учтйм, что верхний предел является переменным. Учигывая условия (3,3), будем иметь; дн д Г дЬ д Г дл ох дх Ну = — и с(у — — (и)„= — ~ ис1У вЂ” и —, дх дх .! адх ' ды д Г да д Г 3 — пу= — ~ тп "У вЂ” у-(ш)ь= — 1 тл'(У о е Таким образом, соотношение (3.5) будет представляться в виде д Г д Г К =...— — ~ иду — — ) иду. дх Л ах д е о (л.у) Таким образом, граничные условие на второй поверхности будут Вйончательно представляться в виде 200 (гл.
ю гидгодинлиичвская таогия смазки На основании равенств (З.б) булеи ииетэп 1 лэ др и пу=--,ул(ц+ ит) — —, о шву=в да лр 121х Зл ' 1 (з,а) Подставляя зти выражения в правую часть (3.7), получим следующее лифференциальное уравнение для давления: — '„(йф)+,~ (йа — ',~) = бр ~2К,+ —,'„" ((Г,+ и,)~. (3.9) В это диюференциальное уравнение (3.9) входит величина д, которая представляет собой толщину слоя и является заданной функцией от переменных к и з, Таким образом, в дифференциальном уравнении лля давления коэффициенты будут, как правило, не постоянными, а переменными. Для определенности решения этого уравнения необходимо задать граничные условия для давления по той, вообще говоря, замкнутой кривой, которая ограничивает рассматриваемый смазочный слой в плане нз плоскости хОл.
Простейшим граничным условием будет условие, при котором давление считается на втой кривой известным и постоянным, т. е. )(х, у)=0, р=,зе — — сопя1. (3.10) ф 4. Сдавливанне слоя параллельными плоскостями Простейшим примером, в котором может быть использовзно дифференциальное уравнение (3.9) Рейнольдса для давления, служит эалача о сдавливании слоя параллельными плоскостями. Пусть мы имеем две параллельные пластинки, имеющие в плане одну и ту же, но произвольную форму(рис. 53). )(опустим, что между пластинками находится кзкое-то вязкое вещество.
Нианяя пластинка пусть будет неподвижной, а верхняя пусть перемещается Рис. 53 поступательно в направлении к ниж- ней; тогда находящееся между пластинками вязкое вещество буает выдавливаться в стороны. х)ля применения к рассматриваемой аадаче дифференциального уравнения (3.9) необходимо: 1) считать толщину л не зависящей от координат х, л, 2) положить У, и Уэ равными нулю и 3) изменить $4! од*вливание слоя плвлллвльными плоскостяии хй) знак скорости Ъ; иа обратный.
В результате этих предположений получим для давления следующее дифференциальное уравнение Пуассона: дйр дзр 12НУ, длз + лая — лз На контуре Т, ограничивающем рассматриваемые пластинки в плоскости хОл, давление необхолнмо считать постоянным, т. е. (4.2) на т р=рз.
Сопоставляя постановку рассматриваемой задачи о славливании тонкого слоя вязкого вещества с постановкой задачи о прямолинейно- параллельном течении вязкой несжимаемой жидкости, изложенной в й 1 главы 1Ч, мы видим их полное формальное схолстзо. Следовательно, к для решения задачи о сдавливании слоя вязкого вещества в порялке аналогии можно привлекать те методы, которые используются для решения аадачи о вращении идеальной жидкости и кручении' призматического бруса. В качестве примера рассмотрим пластинки эллиптической формы.
Уравнение ограничивающего контура т будет, слелозательно, представляться в виде ля ла — + —,=. 1. а' ся (4.2) Булем искать решение уравнения Пуасс~~ч '4.1) в виде р=д~ — ", + — ', — 1)+В, где А, -  — произвольные постоянные. Подставляя это выражение дль давления в уравнение (4,1), получим: Таким образом, решение рассматриваемой залачи о сдавливании слоя вязкого вещества эллиптическими пластинками булет прелставляться в внле б, У, леся Гля ле р=р — — ' — ( — + — — 1). Лз лз+ ~ ~лз ся (4.4) Полагая в этои решении ля+ля = гз, с=а, Используя граничное условие (4.2) н уравнение (4.3) контура, получим: В =- ро гидзодин*мичкскля ткотия смлакп (гл.
ч! получим решение задачи о славливзнии слоя вязкого вещества круговыми пластинками р — ро= —,, (а — гз). ЗнУ, лз (4.3) 'г(а основании (4.5) заключаем, что давление в слое под круговой пластинкой булет распрелеляться по параболическому закону. Умножая левую и правую части (4,5) на плошаль элементарного кольца 2ягг(г и проводя интегрирование по всей площади круга, получим следующую формулу лля результирующего сопротивления сжатию кптговой пластинкой слоя вязкого вещества: 3 аз 2 ! заз (4.6) Таким образом, сопротивление слоя вязкого вещества пропорционально коэффициенту вязкости, скорости сжатия в первой степени, радиусу пластинки в четвбртой степени н обратно пропорционально кубу толщины слоя.
Допустим, что перемещение еерхыеы горизонтальной пластинки происходит под действием веса неготорого груза ы веса самой пластинки. Обо. знзчая общий вес через (;! и полагая ад Уз ш ' будем иметь следующее диффереыциальиое урааыеыне прямолинейного двп. жеыия нагруженной пластинки: () ЛУз 3 аз г(л — — ()+-2 ч — —. ас 2 Дз Ж ' (4. 7) Интегрируя уравнение (4.7) один рзз, получим; 3 аз — УЗ=О! — — ен — +СЬ 4 аз С, определим из начального условия: при Г=О Уз=О, 3=аз. Тогда для скорости перемещения нагруженной пластиныи получим выра- жение Ззнй Г! !Х Уз = а! аз ~,")' Зеп г ! ! Г = — аз ( 4(2 ( Лз Л,'Р Если предполагать скорость перемещения нагруженной пластыыып малой, то пз последнего уравнения (4.3) получим следую.ыую формулу зависимости времени сжатия слоя от ыеремеыной его толщины: й б1 слой смАзки между нлклониыми плАстинкАми 203 б 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
