Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1161662), страница 40
Текст из файла (страница 40)
ду ь Уравнения (9.4), приближенно учитывающие квадратичные члены инерции, естественно назвать обобщенныжи урианенияии Реднольдси для слоя. Так как правая часть первого уравнения (9А) не будет зависеть от переменного у, то интегрирование этой системы уравнений будет проводиться так же просто и в том же порядке, в котором проводилось интегрирование основных уравнений Рейнольдса в Я 3 н 4. Проводя интегрирование по переменному у в первом и третьем уравнениях (9.4), будем иметь: и= — 2( — —,+-- !Рп,)У +С,Р+СЯ 1/1 др ! (9.5) ! ди в —.—.. — ) — — дт+С., ,) дхПодставляя найденные значения и н о я ~етвертое уравнение (9.4), можно получить выражение для среднего ускорения, а используя граничное условие для скорости о, можно получить соответственное уравнение для давления.
Правую часть выражения (9.4) для среднего ускорения можно представить в другой форме, если учесть равенства ь д ! и' 1 о и)г — — бу — — (ия)„—, дх .( 2 2 дх * о ь ь ь ои) — ~ и — бу — — ои~ + ~ и — бу, о (ди,,д! ил — д де+ (! = д ! и бу+ (и)а дх + С! (о)ь = 9 9! озоюцзнные трлвнения ряйнольдсл для слоя Таким образом, среднее по толщине слои ускорение будет иметь вид В'ср — — 1, ~д |пас!у — (и)4,= ~ п4(у+Се(и)4,— (ои)р~ (9.6) О о где через (и)„и (ои)р обозначены значения величин, эаключенных в скобки, иа верхней границе слои (л) и на нижней (О).
В качестве примера использования уравнениИ (9А) рассмотрим задачу о сдазливании слоя вязкого вещества параллельными пластинками (рис. 60) при следуюьцил услозняк: у:=0 л —.=О, о=О, у.—.= 'и а — О, и == — ! при т э р== О, р.= О. при (9.7) Рис. 60. при х= О х=! при Используя граничные условия (9.7), получим выражения для ско- ростей и = —,' А (уз--уй), (9.8) где 1 др 1 А .=.
— — + — В'рр. и дх (9.9) Второе граничное условие для и дает уравнение Из дА — К =- — —. 12 дх' Следовательно, 12 А = — ~' (С вЂ” х), (9. ! 0) где С4 — произвольная постоянная. Подставляя значение и из (9.8) в правую часть (9,6) и учитывая граничные условия (9.7), получим зыражецие для среднего уско- рения 1 4 дА Л ф, /44А (9.1 1) Если в выражение (9.9) подставить значение Юп, нз (9.1!) н значение А из (9,10) и провести интегрирование, то найдем: р= — я(р+ — '" ) з)(С4. — — 2+ С,).
Входящие з это выражение С, и Сз должны быть определены из условий (9.7) для давления. 224 (гл. в гидводинлмичаскля теогия смазки Таким образом, распределение давления в слое между пластинками будет определяться следующей формулой: р — — ~р + —,)(Š— х) х.
бра Е РЛУа 1 лт 5 Полученное решение (9.12) будет отличаться от решения обычных уравнений Рейнольдса дополнительным слагаемым (9.! 2) 5шз — (Š†-л)х, 5Л' которое не зависит от вязкости и пропорционально квадрату скорости поджатия слоя. Умноаеая обе части равенства (9.12) на г)х и интегрируя по переменному х от нуля до Е, получим следующую формулу для сопротивления сжатию вязкого слоя прямолинейной пластинкои ширины Н: г Ез 1 „П Р =- Н ~ Егг)х.== иГвН вЂ” + — 91/,.сŠ—, в Гт ' 5' /!т' О (9.13) Отношение второго сла~аемого в правой части (9.13) к первому будет выражаться через число Рейнольдса слоя таким образом: Уааа 1 (9.14) 5н 5 Следовательно, если число Рейнольлса слоя будет иметь порялок единицы и более, то пренебрегать вторым слзгаемым в формуле (9.13) уже нельзя.
ГЛАВА ЧЛ движение вязкой жидкости при мйлых числАх РЕЙНОЛЬДСА. МЕТОД ОЗЕЕНА Е !. Обобшйнные уравнения Стокса Векторное днфференцнальное уравнение лвнження вязкой несжнмаемой жидкости можно представить в следующей форме: дУ 6рвх' дУНу" дреГхе 1 — + — — + — — + — — =гт — — ягабр+тйУ. (1.1) дт дх йс дуЖ дх ей Г Левая часть этого уравнения представляет собой индивидуальную пронзводную от вектора скорости фиксированной частнцы.
До снх пор под координатами х, у, х мы рааумелн координаты фнкснрованной точки пространства по отношению к неподвнжной системе координат, тогда множители Фх' еГу* гй' дг' гй г Зе Ге' представляли собой проекцнн вектора скоростн абсолютного движения фиксированной частицы на осп координат. Будем теперь под х, у, х разуметь коордннаты геометрнческой точки по отношению к подвнжной системе коорлннат, имеющей поступательное движение со скоростью 0 н мгновенное вращение с угловой ско. ростью и (рнс.
61). Прн таком предположе- х нпн производные — —, — будут предИхе еГу' еГх' дг ' егг ' дг Рнс. 61. ставлять собой проекции на осн координат вектора относительной скоростн фнкснрозанной частицы жндкостн. Между векторами абсолютной (У), переносной (У,) н относительной (У,) скоростей имеется следующая зависимость: — Уе+ Уе где / й у.=и+а)(я=и+ а. а, а..
х у кйп движзниз пги малых числах гзйнольдсл. метод овззнл [гл. чп Так как левую часть уравнения (!.1) можно представить в виде дУ дх' дУ с!у* дУ дв«дУ дУ вЂ” + — — + — — + — — = — ) ! ЧЧ, дс дс д» дс ду дс дз дс где ЧЧ= — г+ — У+ — й, дУ дУ . дУ дх ду дв то векторное дифференциальное уравнение абсолютного движения вязкой несжимаемой жидкости, отнесенное к поднижной системе каор. динзт, будет иметь следующий вид: дУ вЂ” + (У вЂ” 1) — !в Х г) ° Ч Ч = Р— — ига б р+ > 'о Ч. (1,2) 1 дг Если система координат будет иметь только поступательное дан>кение, совпадающее с поступательным движением рассматриваемого тела, то уравнение (1.2) примет внд дУ ! — +(Ч вЂ” - !1) ЧЧ= Р— — -кгадр+«Ы~. дг Предполагая чис.чо Рейнольдса малым, мы можем, так >ке как и в методе Стокса, отбросить квадратичные члены инерции, содержащие переменный вектор скорости У, т.
е. положить: ЧУжО. !1.4) При етом предположении мы получим из (!.3) уравнение дУ 1 дг — - — !«' ЧУ= Р— — пгадр+«дУ, ().б) которое было впервые предложено Озееном и по его предложению названо векторным обоб>пенныл> уравнением Стокса. Будем предполагать, что ось х поступательно движущейся системы координат прямо противоположна направлению вектора скорости поступательного движения тела.
В таком случае при проектировании левой и правой частей уравнения (!.5) на оси координат и при присоединении уравнения несжимаемости мы получям еле. ду>ощую систему обобщднных дифференциальных уравнений стокса: !1.ь) дс ! ди дг от+ дг ди —.+ д.г 1) — =Р— — — + ° Ли, 1 ди ! др д» е В дх !/ —" = Р— — — Р + «по,, д» в, ду Сг — -= Р— — — +«5т, дт 1др д» * «дв до дьв — + — = О. ду де 227 $ !! оаоп>цаш>иг уРАвцвпия стокса К установлени>о уравнений (1.6) можно полой>и и с лругой сто- роны.
Вначале обратим движение, т. е. те,чй и всей л>идкости сообщим поступательное лвижение в направлении, обратном движе- нию тела. Лля обращенного движения возьмем, яапример, первое уравнение (1.!) в проекцинх на ось х; ди ди ди ди ! др — + и — + о — + ш — =- г" . - - — - + па. де дх ду де ': дх Если бы не было тела, то в обращзнном дан>кении все частицы имели бы скорость (7. Благодаря нзлнчию тела произойдет дефор- мация потока, и частицы будут иметь у>хе другие скорости. Если размеры тела предполтать небольшнмк, то новая компонента ско- рости и будет отличаться от прежней (7 на малую величину, а две другие компоненты скорости будут вообще малыми.
11з атом осноди ванин в левой части (1.7) л>ажно в слагаел>ом и — заменить мно>кидх тель и на (7, а остальными слагаемыми пренебречь. Таким способом мы и получим чифференциальные уравнения (1.6). Сопоставляя дифференциальные уравнения (1.6) с дифференциаль- ным уравнением Стокса (!А) главы Ч, мы приходим к заключению, что обобщенные уравнения С>полса, введбнные Озеенож, учитывают ли>иь частично квадратичные члены инерции.
Если первой ступенью развития приближенных методов использова- ния дифференциа.чьных уравнений движения вязкой жидкости считать дифференциальные уравнения Стокса, а второй ступенью — дифферен- циальные уравнения Рейнольдса для слоя, то уравнения (1.6) Озеена следует считать уже третьей ступенью развития приближенных мето- дов решения отдельных задач авил!ения вязкой несжимаемой жидкости. Свои соображения о целесообразности введения яовых уравне- ний вида (!.6) Озеен построил па основании сравнительной оцен- ки порядка величин отбрасываемых квалратичных членов инерции по отношению к порядку сохраняемых слагаемых от вязкости на примере решения задачи о движении шара.
В конце й 7 главы >7 было указано, что если считать число Рейнольдса меньшим единицы, то и тогда порядок величины отбрасываемых квадратичных членов инерции не может считаться всюду малым по сравнению с порядком величины слагаемых, зависящих от вязкости. В частности, на зна- чительных расстояниях от неподвижного шара порядок величины квадратичных членов инерции будет уже превышать порядок сохра- няемых в уравнениих слагаемых, зависящих от вязкости, причем наибольшие порядки величин на бесконечном удалении от шара ди до дт будут иметь как раз слагаемые и —, и — и и —. Следовательно, дх' дх дх' сохраняя в левых частях уравнений эти слагаемые в приближзнной форме, мы тем самым несколько точнее оправдываем возможность отбрасывания остальных квадратичных членов инерции в бесконечно удалзнных точках потока, 226 движение при малых числах райнольлс*.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
