Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1161662), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Формула же (6.8) яля перепала давления укааывает на то, что при почти параболическом распределении радиальной скорости по круговоиу сечению в плоском диффузоре давление всв же будет изменяться не только зт сечения к сечению, как это имеет место при движении между параллельными стенками, но и вдоль самого сечения. ф 7. Движение шара в неограниченной жидкости ВВ„=О, (7, 1) где  — оператор Стокса, представляемый з сферических координатах в виде (7.2) При зтих предположениях лавление будет определяться на основании (12,4) главы 1Ч из уравнений (7.3) а проекции вектора скорости будут представляться следующими ра- енствами: 1 дф ДРз1лз дз ду' о,= — — '-' — ° згз1л З д17' (7.4) Рассмотрим задачу о прямолинейном поступательном движении шара в неограниченной вязкой жидкости с постоянной скоростью К параллельной осн л (рис.
46). Прелполагая: 1) жидкость несжимаемой, 2) движение жилкости установившимся и осесимметричным, т. е. ду' р=сопз1, — =О, о О, де двп дв, — — О, — '=О, дт ' дт н 3) пренебрегая действием массовых Рис. 46. сил,и квалратичными членами инерции, получим нз (12.5) главы !Ч дифференциальное уравнение для функции тока 178 движения пеи малых числах езинольдсл. метод стокса [гл, и При осесимметричном движении компоненты вихря на основании (8.12) главы 1 будут представляться в виде 7 дед а ми=О, и = — — [ — — — (йоз), мз — О, 2й[ аз ай Из этих выражений следует, что вихревые линии будут представлять собоп окружности с центрами на оси симметрии.
Величина вихря через функцию тока будет представляться в виде 1 (7.5) При решении задачи о поступательном лвижении шара булем принимать условие прилипания к поверхности 1 дф йаз>па дз ! дв о,= —, — = — уз!по. йз>п З дй Кроме того, положим, что на бесконечности обе составляющие скорости обратятся в нуль: при й -+ со пв -+ О, о, -+ О. (7.7) Вид граничных условий (7.6) указывает на возможность искать решения дифференциального уравнения (7.1) в виде ф = з!п> ВР(й). (7.8) У>итывая выражение (7.2) оператора Стокса, получим: Пф= з!пе В(Г" — — Г) = з!па 87(й).
(7.9) Вычисляя еще раз оператор Стокса и обращаясь к дифференциальному уравнению (7.1), получим обыкновенное уравнение для функции 7 7" — — / = О. ! йз Проверкой можно убедиться, что обв>ее решение этого уравнения имеет вид 1= Айе+ —. й' Подставляя значение 7' в (7.9), получим: уж — — Г= Айз+ —. (7.10) Составляя решение полученного дифференциального уравнения (7,10) лля Р из общего решения однородного уравнения и частных реше- 3 7! движение ш*тз в нвогганичвнной жидкости 179 ннй, отвечающих каждому слагаемому правой части (7.10), получим: Г(й) = — йз — — Вй+ Сйз+ —.
10 2 й ' Чтобы удовлетворить условиям (7.7) на бесконечности, необходимо положить; А=О, С=О. Используя граничные условия (7.0), получим уравнения В 2Р— — — = — У, а аз  Р— + — = — и, 2а аз Из этих уравнений будем иметь: В = — — Уа, Р= — — Уав. 3 1 2 ' 4 Подставляя найденные значения всех постоянных в (7.11), получим решения рассиатрнваемой задачи для функции тока и скоростей в виде 1 . г аз! 6 = — У мпа 0 ~Зай — — ), — — тй) 1 /За аз! он —.— —, Усов 0~ — — — з), 2 '!й й)' 1 .
/За аз! о,=-- — -из!по( — -) — ). '(й йз ) (7.12) Так как оператор Стокса от функции тока равен В а! па В й то из уравнения (7.3) будем иметь; др =- рВ(2 сов 0 — + ' ) = — рВН( — '). Следовательно, лла давления будет иметь место следующая формула: 3 созе зо )зз+ 2 аРУ у (7.13) Таким образом, для функции тока и компонент скорости будем иметь: ф = з1пз О1 — Ай! — — Вй+ Сйз+ — ), г 1 1 Р! 110 2 й) он= . — = 2 сов 0 ~ — Айя — — +2С+ — ), (7,11) В Р ! йзз!п 0 да 110 2й йз ) 1 дт .
/2 з В Р!. оз — — — — — з|п 01 — Айз — — + 2С вЂ” — ) ' йз!па дй (,5 2й йз) 180 движзнив пги мллых числах твйнольдсз. мвтод стокса (гл. ч Р» — ~ ~ ( — рсоз 0+1» — )йо, (7.14) где и» вЂ составляющ вектора скорости, параллельная оси симметрии. Для этой составляющей скорости н ев производной по радиусу К будем ивет»с 1 а») со»0 1 дь »в = опсоз 8 — о» ми 0 = — —.—.+ —— =д аз Мпз 17 а!7 2 1 . 1 со»0д ! агФ вЂ” ол соз О+ — о, з1п 0 — — — — (ог з!п 8) + — —. 17 г!аз аз 17 д!7» ' Учитывая граничные условия (7.6), получим: дв» Ъ 2!7 созга !7»1пгз со»0 ( -)- ( — 2(7 ып 8 соз О) + дФ) а а а ма 0 а а а На основании выражения (7.12) для функции тока будем иметь: ( — ).=--- — ) = — — (7 51пз О.
дгф1, 1 дДг) 2 Следовательно, ( — ).= —. а»а 1 3 !7 — ) = — — — з!п'О. а»»») 2 а (7.16) Подинтегральное выражение (7.14) при использовании выражения для давления (7.!3) н для производной от осевой компоненты скорости (7.16) можно представить в виде ( ди» '1 3 1г — рсозО+р — ) = — — рзсозΠ— — р —. (7.16) а!7). = 2 а' Результирующая от постоянного давления р по замкнутой поверх ности будет равна нулю, т. е. ) / соз865=0, Для определения результирующего сопротивления жидкости движению шара обратимся к общим формулам, установленным в 6 4. главы! И.
В рассматриваемом нами случае интегральная формула для проекции Р, результирующего воздействия жидкости на шар представится в виде движвнив шзва в наогваничвнной жидкости 181 поэтому, подставляя выражение (7.16) в (7.14) н учитывая, что Цдо = 4 па', получим' (7.17) Рз = — бс!ьаК Равенство (7.17) представляет собой формулу Стокса для сопротивления шара при его движении в неограниченной вязкой жидкости. Согласно этой формуле сопротивление движению шара пропорционально коэффициент> вязкости, радиусу шара и скорости движения в иврвод степени. Формула Стокса (7.!7) для сопротивлешш шара получена при условии озбрзсывания в уравнениях движения вязкой несжимаемой жидкости квадратичных членов инерции, поэтому она может считаться справедливой только при сравнительно малых значениях чисел Рейнольдса.
Тем не менее, эта формула находит себе широкое применение. В частности, она широко используется в коллоидной химии, в молекулярной физике и метеорологии. Польвуясь этой формулой, можно определять скорость осаждения мелких капель тумана, коллондных частиц, частиц нла и прочих мелких частиц. Приравнивая силу сопротивления шара (7.17) равнодействующей сил от гидростатического давления (архимедовой силе), получим следующую формулу для предельной скорости падения шарика малых размеров в вязкой жидкости; уш —.=-„-аэ г в и, (?.18) где р' представляет собой плотность вещества шарика, а р — плотность рассматриваемой жидкости. Формула Стокса используется также и для определения коэффициента вязкости сильно вязких жидкостей '). Вискозиметр, основанный на принципе падения тяжЕлого шарика, состоит из трубки с делениями.
Время падения шарика от одного фиксированного деления трубки до другого определяется секундомером. Найденное таким способом вначение скорости мозкно подставить в формулу (7.!8) и определить соответственное значение коэффициента вязкости. При более точном определении коэффициента вязкости на этом приборе необходимо учесть поправки на радиус трубки и на нестационарность движения шарика в жидкости. Если в рассматриваемой выше задаче о движении шара в неограниченной жидкости обратим движение, т.
е, на всю жидкость и на шар наложим поступательное движение в направлении, обратном движению шара, функция тока которого представляется в виде (7,!9) з) Г а т чек Э., Вязкость жидкостей, ГТТИ, 1932, стр. 52. 182 движвниа пеи малых числах ввйнольдсь. метод стокса [гл. ч то, складывая функцшо ф, с функцией ф(7.12), получим решение задачи об обтекании неподвижного шара неограниченным потоком вязкой жидкости: ф = — У з! и 0 гь —, й' — — ай -+ — ), /1: 3 аз! 'ь2 4 4!г)' /! За аль '! 2 414 4Я~) ' За аз! Оз — Уз!п 0 ! — — —— 4!7 4Дз) (7.20) Рис.
48. Рпс. 47. мулах (7.12) и (7.20) лля функции тока выражения з!пз0 имеет место симметрия линий тока по отношению к диаметральной плоско. сти, перпендикулярной к основной скорости движения. Подставляя в выражение (7.20) для функции тока Й з1п 0 =- г, получим функцию тока в цилиндрических коорлинатах За азХ ф= — — иг (1 — — — + — ).
2 (, 2 17 2Ф)' (7.21) Используя соотношения (12.1) главы !Ч, получим выражения для компонент скорости в цилиндрических координатах 1дф 3 агат аз! о = — — — — ' = — У вЂ”. - (! -- — ), где 4 Ё (, Дм)' 1де Г 3 а аз! 3 агаl ... —.. и(1 —, -+ )+ — (г —,!1 е=-;д,= '( 2Л м) 4 1Зз(, На основании полученных решений (7.20) можно произвести сравнительную оценку поряака величин отбрасываемых квадратичных членов инерции по отношению к тем слагаемым, которые были сохранены в уравнениях движения. Так, например, в дифференциальном уравнении, отвечающем сферическому радиусу К, было отброшено Примерный вид линий тока, отвечающих функции тока (7.20) относительного движения жилкости, показан на рис.
47. Линии тока, отвечающие абсолютному движению жилкости, прелставляемому функцией тока (7.12), показаны на рис. 48. Благодаря наличию в фор- ,В 7) движянив шлоь в няогоаничвнной жидкости 133 доч слагаемое род — , которое на основании (7.20) будет представляться дР ' в виде дол 3 соз'В г азсг 3 а авз ро — = — раУз — (1 — — ) ~1 — — — + — ). (7.23) д дх) 2 и (, Ф)1 2 А' А)' В этом же уравнении было сохранено слагаемое — —, обус- дВВ 17в з1п В дз ловленное вязкостью, которое на основании (7.3) и (7.13) будет равно и д770 до соз 0 да зш В дз д17 — ' = — = — ЗарУ вЂ”.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
