Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1161662), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Таким образом, результирующее воздействие на плоский замкнутый контур при его поступательном движении будет только тогда отлично от нуля, котла функция Ф(з) неоднозначна. Формула (2.13) может быть получена с помощью простых преобразований на основании (4.25) главы 1Н. движянив кттглого цилиндал 161 $ 3. Движение круглого цилиндра бар=о. (3.1) ж В полярных координатах проекции вектора скорости частиц жидкости через функцию тока будут представляться в виде о = — —, о = — —. (3.2) 1 д4 дт Рис. 43.
г дт' т дг' 3 силу предположения о прилипании частиц жидкости к стенке будем лметь граничные условия на самом цилиндре в виде при г=а — — = Усову, — — = — ()з)ну. (3.3) 1 ч) дф г д|1 ' дг В качестве нового допущения принимаем, что возмущения, вызываемые самим движением цилиндра в вязкой жидкости, будут исчезающе малыми не на бесконечном удалении от цилиндра, а на некотором конечном расстоянии, равном Ь. Таким образом, в качестве вторых граничных условий принимаем условия обращения в нуль скоростей на конечном расстоянии от цилиндра, т.
е. при г = Ь вЂ” = О,,— = О. дв др (3.4) дт ' дг Вид граничных условий (3.3) даат некоторое основание к тому, чтобы искать решение уравнения (3.1) в виде ф Б1п т/(г). При таком предположении будем иметь: Аф = — + — — "+ — — = з1п т )/" + — /' — —./! = мп вР(г), Ьбф=мп у~Р + — Р— — Р~. 1, ! гт решение дифференциального уравнения Р"+-Р' — — Р=О 1, 1 г гв (3.3) Общие соображения, наложенные в предшествующем параграфе применим к частной задаче о движении круглого цилиндра.
Пусть круглый цилиндр радиуса а перемещается поступательно в вязкой несжимаемой жидкости параллельно оси х с постоянной скоростью У (рис. 43). Считая движение жидкости установившимся м пренебрегая действием массовых сил и квадратичными членами инерции, получим для функции тока бигармоническое уравнение !82 движвнив пти малых числах твйнольдсл. метод стокса (гл. ч представляется в виде Р=Аг+ —. В Таким образом, будем иметь: р — 2/ри = р(Ал — — )+Ро. мт (3.8) Зля определения же выражений лля проекций скоростей необходимо еща решить следующее дифференциальное уравнение: /" + — /' — —,У'= — (Д'+ — ) = Аг+ —.
При первом интегрировании этого уравнения получии: /'+ — = — (г/) = — А гз+ В 1п г+ С, . / д' 1 После второго интегрирования будем ииет!и у(г) = — Ага+ — Вг11п г — — ) + Сг+ —. 1 1 / 1ч В 8 2 ! 2) Таким образом, для функции тока и проекций скоростей будем иметь следующие выражения: ф = а(п р) (г) = а)п 9 ~ — Ага+ —, Вг (1и г — —,) + Сг+ — 11, Г1 1 / 11 111 и = — — = соа 9 ~-А/э+ — В(!п г — — /!+С+ — ~, г где ~8 2 ( 2) о = — — = — а!а еЬ! — Ага+ — В(!п/+ — )+ С вЂ” — ~. дг Ьа 2 т 2) гз) ' (3.9) Сопоставляи выражения (3.8) и (2.9), получим: 4р/Ф'(л) = р (Ал — — ), 4Ф (л) = — 1 ( —, Ало — В 1п л+ К~, Г1 (3,10) где К вЂ произвольн постоянная, На основании (2.7) вихрь и в рассматриваемом случае будет равен 2и = — Ьф = — э!и 9 (Аг+ — ) = 1ш — (Ал — — ).
(3.6) — .) Для давления согласно (2.9) получим следующее выражение: Р'=Ро+ мер(Ал — — ) =Ро+ р(А/ — — ) соа9. (3.7) (Е3 ДВНЖЕННЕ КРУГЛОГО ЦНЛННДРЛ Подставляя значение Ф (я) нз (3.10) в формулу (2.13) и учитывая, ! !то интегралы от зт и К обращаются в нуль, а интеграл от— равен 2кг, получим для результирующего воздействня на рассматрнааемый круглый цилиндр выражение Я -!-аа=2ярВ. Таким образом, вектор результирующего воздействия на круглый цнлнндр прн его поступательном движении зависит только от одной аостоянной, являющейса множителем прн том слагаемом в выражевнн (3.9) функцнн тока, которое содержит логарифм от полярного радиуса.
Используя граничные условия (3.3) и (3.4) и выражения для скоростей (3.9), получим слелующие уравнения для определения произвольных постоянных: — Аат+ — В ! 1п а — — !+ С+ —, = сг, ! 1 г 1! 0 — Ао + 2 В(1п -(" — )-(- С вЂ” — = и, 3 1 г 1! 0 лз — АЬ-+ — В !1п Ь вЂ” - !+ С+ — = О, — Абз+ — В ~!п Ь+ — )+ С вЂ” — = О. (4сключая на зтнх уравнений С н В, будем иметь: — А (бз — ав)+В 1п — „= — 2К з я з 2 1 1 4 — А (лг — аь) + — В(бз — аз) = О. 2 Отсюда, обозначая Ь вЂ” =д, (3.!2) 'юлувнм для постоянного В следующее выражение: В=— !па — аз+1 Подставляя значение В в (3.11) и приравнивая действительные части, получим формулу для сопротивления круглого цилиндра прн его поступательном движении в вязкой несжимаемой жидкости (3.14) !пал — —, а++ 1 !64 движение пги мллых числлх гнииольлсл, мвтод стекол 1гл, г На основании формулы (3.14) мы заключаем, что сопротивление лронорционально козерфициенту вязкости и скорости иостуиаиельного движения в первой стенени.
Безразмерный множитель, входящий в формулу (3.14), зависит от отношения радиуса воны возмущений, выаываемых движением цилиндра, к радиусу самого цилиндра. При возрастании радиуса зоны возмущений до бесконечности безразмерный коэффициент сопротивления будет уменьшаться го нуля; а при уменьшении радиуса этой зоны дб значения радиуса цилиндра коэффициент сопротивления будет возрастать до бесконечности.
Йействительиое значение радиуса возмущений, очевидно, можно установить только на основании каких-либо измерений или каких- либо дополнительных соображений. $ 4. Парадокс Стокса В предыдущем параграфе было построено решение задачи о двк)ненни круглого цилиндра при предположении, что эона возмущений, вызываемых движением цилиндра, является ограниченной. Если же предполагать, что возмущения от движения цилиндра исчезают лишь на бесконечности, т. е, граничные условия (3,4) заменить условиями: при г -ь оо о„= — д -ь О, ог -— — — ~д -+ О, (4.1) 1 др де то для удовлетворения их мы должны в выражениях (3,9) для проек. ций скоростей положить: А=О, В=-О, С=О.
(4. 2) Таким образом, прн удовлетворении граничных условий (4.!) на бесконечности из четырех постоянных, входящих в выражение (3.9) для функции тока, будут использованы три. Для удовлетворения двух граничных условий на самом. цилиндре останется только одно постоянное Р. Следовательно, удовлетворение граничных условий прилипания частиц к поверхности цилинлра уже не представляется воаможным. В самом деле, при использовании равенств (4.2) будем иметь нз (3.9): (4.3) Удовлетворяя условиям (3;3) в отдельности, будем иметь рааличные значения аля одного и того же постоянного Р: Р = ()аэ, Р = — Раз.
1ЬЬ пАРАдОкс стокса Это и значит, что нри решении приближенных уравнений Стокса для задачи о движении круглого цилиндра в безграничной вязкой несжимаемой жидкости удовлетворить одновременно и условиям обращения в нуль скоростей ка бесконечности и условиям ярилияания частиц к коверхности не нредставляется ввзможным. Это заключение о невоаможности решения бигармоинческого уравнения для задачи о движении круглого цилиндра в безграничной жидкости иввестно под названием парадокса Стокса '). Для эллиптического цилиндра этот парадокс был доказан Уилтоном з), а для цилиндра произвольного сечения Одквнстом з). Пользуясь резуйьтатамв исследований Н. И. Мусхеляшвяли 4) и С. Г.
Михлина 4), можно доказать парадокс Стокса и для случая одновременного поступательного движения нескольких замкнутых контуров с раиными скоростями в безграничной жидкости. Рассмотрим вначале тот случай, когда жидкость простирается до бесконечности и с внутренней стороны ,ограничена одним лишь замкнутым контуром. Лавлен44е р должно быть функцией однозначной, а согласно его выражемию (2.8) зто может быть только тогла, когда мйнмая часть функции Ф'(г) будет однозначной гармонической функцией. Пусть действительная часть втой функции будет многозначной, т. е. при однократном обходе против часовой стрелки какого-либо замкнутого контура она будет получать приращение В, где  — действительное число.
Рассмотрим теперь функцию Фд(г)=ФР(:) + — '1п(г — го), 2я (4.4) где ге представляет точку вне области, т. е. точку внутри рассматриваемого контура. Так как функция 1п(г — г,) при обходе вокруг контура, содержащего точиу гз, получает приращение 2яс, то общее приращение всей правой части при указанном обходе будет равно нулю, т.
е. функция Ф' (г) будет функцией однозначной. Таким образом, можно положить: Ф'(г) = Ф' (г) — — (п (г — "4), 2з (4.5) где Ф' (г) будет функцией, олнозначной и голоморфпой во всей области, занятой жидкостью. Выполняя ннтегрнропаипе, получим: Ф(г)=Ф (г)+(а+!8)1п(е — гз) — —,г(п(г — гз), (4.0) Вг 2и где Фх(г) представляет собой однозначную в голоморфиую функцию. Положим х'(г)= Х ("а+!ба)г"!п(г-гз)+Х' (г) (4.7) а=ь 4) Я ! о Ь е з О., Тгапь Са ш Ь. РМ1. Я ос., т. ! Х, ! 851. з) 97!1!оп, РЬйоз. Майаз(пе, уй 175, 1915.
а) Обцт!з1, Ма(Ь. Ее(!зейт., т. 32. 4) См. сноску на стр. 158. 4) Мих ли и С, Г., Плоская задача теории упругости, Труды Сейсн Нв-та, Уй 65, Изд. АН СССР, 1935, 166 движвиив паи малых числах авйиольдса. мвтод стокса (гл. ч н потребуем, чтобы скорость, представляемая равенством (2.6), была одно- значной. Для этого необходимо подсчитать приращение правой части (2.6) с учйтом равенств (4.6) и (4.7) прн обходе замкнутого контура и приравнять это приращение нулю: — 
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
