И.О. Арушунян - Конспект лекций (1160471), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Äëÿ ýòîãî ðàçîáüåì îòðåçîê [xn , xn+1 ] íàïîäîòðåçêèα1 := 0;α1 ≤ α2 ≤ . . . ≤ α + m ≤ 1(1)xn = xn + α1 h| | (1) | (2)|(2)xn xn xn . . . xn + h xn = xn + α2 h·········(m)xn = xn + α m hÏîñòðîèì êâàäðàòóðíóþ ôîðìóëóy(xn+1 ) ≈ y(xn ) + hmXi=163(i)Ci f (x(i)n , y(xn ))(∗)(1)(1)Âåëè÷èíà y(xn ) = y(xn ) - èçâåñòíà. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ y(xn ) áóäåì èñïîëüçîâàòü(1)êâàäðàòóðíûå ôîðìóëû, êîòîðûå èñïîëüçóþò âñå òî÷êè äî xn , íå âêëþ÷àÿ åå ñàìó(i)Zxny(x(1)n ) =f (x, y)dx ≈ y(xn ) + hi−1X(j)βij f (x(j)n , y(xn )).j=1xnÏîäñòàâèì ýòè âûðàæåíèÿ â (∗), ïîëó÷èì ôîðìóëó äëÿ âû÷èñëåíèÿ yn+1 ïî èçâåñòíûìxn , yn .
Îñòàåòñÿ îïðåäåëèòü êîýôôèöèåíòû Ci , βij , αi .  ìåòîäàõ Ðóíãå-Êóòòà îñòàåòñÿäîñòàòî÷íî áîëüøîé ïðîèçâîë â âûáîðå ýòèõ êîýôôèöèåíòîâ. Îáùàÿ ñõåìà ñëåäóþùàÿ:Ôèêñèðóåì m, âûáèðàåì p1 , ..., pm , α2 , .., αm , βij , 0 < j < i ≤ m è ïîëàãàåìyn+1 = y(xn ) +mXpi ki (h),i=1ãäåk1 (h) = hf (xn , yn )k2 (h) = hf (xn + α2 h, yn + β21 k1 (h))............m−1Pβmj kj (h))km (h) = hf (xn + αm h, yn +j=1Îáîçíà÷èì z(h) = y(xn ) +mPi=1pi ki (h). Òîãäà ϕ(h) = y(xn + h) − z(h) - îøèáêà (âñå âïðåäïîëîæåíèè y(xn ) = yn ) Ïîòðåáóåì, ÷òîáû âûïîëíÿëèñü ðàâåíñòâàϕ(0) = ϕ0 (0) = ...
= ϕ(s) (0) = 0, ϕ(s+1) 6= 0(∗∗)Èç ýòîé ñèñòåìû óðàâíåíèé âûáèðàþòñÿ ïàðàìåòðû αi , βij ñõåìû. Ïî ôîðìóëå Òåéëîðàϕ(h) =sXϕ(i) (0)hi +ϕ(s+1) (ϑh)hs+1(s + 1)!i!|i=0 {z}åñëè =0⇒ îøèáêà ïîðÿäêà hs+1 (â òåðìèíàõ ïðåäûäóùåé ëåêöèè ýòî ëîêàëüíàÿ ïîãðåøíîñòü).Ðàññìîòðèì ñëó÷àé m = 1ïàðàìåòðû: p1yn+1 = yn + p1 k1 (h), ãäåk1 (h) = hf (xn , yn )ϕ(h) = y(xn + h) − yn − p1 hf (xn , yn ) ⇒ϕ(0) = 0ϕ0 (h) = y 0 (xn + h) − p1 f (xn , yn )h = 0 : ϕ0 (0) = y 0 (xn ) − p1 f (xn , yn ) = (1 − p1 )f (xn , yn ) = 0, åñëè p1 = 1p1 := 1 ⇒yn+1 = yn + hf (xn , yn ) − ìåòîä Ýéëåðàϕ(0) = ϕ0 (0) = 0, s = 1ëîê.
ïîãðåøíîñòü O(hs+1 ), ò.å. O(h2 )64Ðàññìîòðèì ñëó÷àé m = 2ïàðàìåòðû: p1 , p2 , α2 , β21yn+1 = yn + p1 k1 (h) + p2 k2 (h)k1 (h) = hf (xn , yn ),k2 (h) = hf (xn + α2 h, yn + β21 k1 (h))ϕ(h) = y(xn + h) − yn − p1 hf (xn , yn ) − p2 hf (xn + α2 h, yn + β21 k1 (h))| {z } |{z}x̄ȳϕ(0) = 0ϕ0 (h) = y 0 (xn + h) − p1 f (xn , yn ) − p2 f (x̄n , ȳn ) − p2 h[α2 fx0 (x̄, ȳ) + β21 f (xn , yn )fy0 (x̄, ȳ)]ϕ00 (h) = y 00 (xn + h) − 2p2 [α2 fx0 (x̄, ȳ) + β21 f (xn , yn )fy0 (x̄, ȳ)]−2−p2 h[α2 fxx (x̄, ȳ) + 2α2 β21 fxy (x̄, ȳ)f (xn , yn ) + β21fyy (x̄, ȳ)f 2 (xn , yn )]000(ϕ (0) îáíóëÿòü íåëüçÿ, ò.å. íåëüçÿ ïîäîáð. ïàðàìåòðû òàê, ÷òî ϕ000 (0) = 0 äëÿ ëþáîé f )ïðè h = 0, x̄ = xn , ȳ = yn1 = p1 − p2 = 0 ⇔ ϕ0 (0) = 0 ∀f(1 − 2p2 α2 )fx (xn , yn ) + (1 − 2p2 β21 )fy (xn , yn )f (xn , yn ) = 0 1 = p1 − p2 = 01 − 2p2 α2 = 0⇒ α2 = β21 , α2 − ñâîáîäíûé ïàðàìåòð1 − 2p2 β21 = 0α2 − xβ21 = α21p2 =2α21p1 = 1 −2α2Ïîëó÷èëè ϕ(0) = ϕ0 (0) = ϕ00 (0) = 0, ϕ000 (0) 6= 0.
Ëîêàëüíàÿ ïîãðåøíîñòü O(h3 ).Ãëîáàëüíàÿ O(h2 ) íà ïîðÿäîê ìåíüøå. Ïðè âûáîðå øàãà èíòåãðèðîâàíèÿ h = 1/10åñòü îñíîâàíèÿ îæèäàòü òî÷íîñòü ÷èñëåííîãî ìåòîäà 1/102 .×àñòíûé ñëó÷àé α2 = 1 (m = 2) yn+1 = yn + 12 (k1 + k2 )k1 = hf (xn , yn )k2 = hf (xn + h, yn + k1 )×àñòíûé ñëó÷àé ! α2 = 1/2 (m = 2) yn+1 = yn + k2k1 = hf (xn , yn )k2 = hf (xn + h, yn + k1 )(ä. ïîëó÷. òî÷íûé îòâåò äëÿ ìíîã. ñòåï.≤ s − 1 (èëè s, s + 1))½ 0y =1y0 = 0åñëè íå âûï. ⇒ íåâåðíî ïîñòð.y0 = 0y1 = h65(m ≥ 3 - óæå ñëîæíîâàòî)m=3ìîæåì ïîñòðîèòü ìåòîä ñ s = 3.m=4s=4m=5s = 4 (s = 5 íå óäàåòñÿ).Êëàññè÷åñêèé ìåòîä Ðóíãå.(4-é ïîðÿäîê îøèáêè = ãëîáàëüíîé ïîãðåøíîñòè)1yn+1 = yn + (k1 + 2k2 + 2k3 + k4 )6k1k2k3k4= hf (xn , yn )= hf (xn + h/2, yn + 12 k1 )= hf (xn + h/2, yn + 12 k2 )= hf (xn + h, yn + k3 )(2 óçëà ñîâïàäàþò è ÿâëÿþòñÿ êðàòíûìè).Ãëîáàëüíàÿ îöåíêà ïîãðåøíîñòè: O(h4 ). (Äëÿ ñèñòåìû - òî æå ñàìîå).½y 0 (x) = f (x, y(x))y(x0 ) = y0Îøèáêà âîçíèêàåò â:çàìåíà ïðîèçâîäíîé ðàçíîñòíûì îòíîøåíèåì;îøèáêè îêðóãëåíèÿ (íà êîìïå);îøèáêè íà÷àëüíûõ (âõîäíûõ) äàííûõ.Åñëè âñå ñ ÷èñëåííûì ìåòîäîì íîðìàëüíî, òî îíà îñòàåòñÿ, êàê áûëà èëè óáûâàåò (âñå"óñòîé÷èâî")Åñëè ðàñõîæäåíèå ìåæäóy0y1 .
. . y ny0 + ε y˜1 . . . y˜nâîçðàñòàåò ⇒ ìåòîä íåóñòîé÷èâ ïî íà÷àëüíûì äàííûì.½y 0 (x) = λyy(x0 ) = y0λ < 0 (Reλ < 0 åñëè λ ∈ C)666y0Ðåøåíèå y = y0 eλx . λ < 0 ⇒ y óáûâàåò.Ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå òîæå äîëæíî óáûâàòü.-yn+1 = yn + hλyn = (1 + hλ)yn yn = (1 + hλ)y0|1 + hλ| ⇒ ðåøåíèå óáûâàåò2⇒ ðåøåíèå óáûâàåò h<|λ|½y 0 (x) = f (x, y)y(x0 ) = y0 + εyn = (1 + hλ)n y0 + (1 + hλ)n ε| {z }âîçìóùåíèå2íóæíî h <|λ|Ïóñòü λ ∼ 104 ⇒ h ∼ - óñëîâíàÿ óñòîé÷èâîñòü (øàã íå ìîæåò áûòü ïðîèçâîëüíûì).Ïðèìåð 0 y1 = −2y1 − 988y2y 0 = −1000y2 2y1 (0) = 2, y2 = 1y1 (x) = e−1000x + e−2xy2 (x) = e−1000x2Îãðàíè÷åíèå: h <⇒ (y2 ∼ 0, y1 - íåò)1000Çàäà÷à ðåøàåòñÿ äîñòàòî÷íî äîëãî.Âî âñåõ ìåòîäàõ ïðè ïîëó÷åíèè óñòîé÷èâîñòè âîçíèêàåò äîïîëíèòåëüíîå òðåáîâàíèåíà h.17Ëåêöèÿ 17(4). ïðåäûäóùåé ëåêöèè èññëåäîâàëè íà óñòîé÷èâîñòü ( ÷óâñòâèòåëüíîñòü çàäà÷è êèçìåíåíèþ íà÷àëüíûõ äàííûõ)½yn+1 = yn + hλyny0 − çàäàíî: y0 = 1½67y 0 = λyy(0) = 1λ<0|λ| À 1ïðè ïîìîùè "âîçìóùåííîé" çàäà÷è½ȳn+1 = ȳn + hλȳnȳ0 = 1 + εÏîëó÷åíî óñëîâèå óñòîé÷èâîñòè h <2(èíà÷å èäåò íàðàñòàíèå îøèáêè).|λ|Ìåòîä Ðóíãå-Êóòòà 2 ïîðÿäêà.yn+1 = yn + 1/2(k1 + k2 ), ãäåk1 = hf (xn , yn )k2 = hf (xn + h, yn + k1 )Äëÿ ìîäåëüíîé çàäà÷è (ñ êîòîðîé íà÷àëàñü ëåêöèÿ)1yn = yn−1 + (k1 + k2 ) =21= yn−1 + (λhyn−1 + λh(yn−1 + λhyn−1 )) =2µ¶(λh)2= 1 + λh +yn−1 = ...
=2|{z}λhµ ('ðàçëîæ. e 2) ¶n(λh)y0= 1 + λh +2µ¶n(λh)2Äëÿ âîçìóùåííîé çàäà÷è ȳ0 = 1 + ε ⇒ ȳn = yn + 1 + λh +ε.2¯¯¯(λh)2 ¯¯¯! íàäî: ¯1 + λh +< 1 ïðè óñëîâèèè λ < 1.2 ¯(λ > 1 ⇒ | · | > 1 è óñòîé÷èâîñòè íåò)2- óñëîâèå òî æå, ÷òî è äëÿ ìåòîäà Ýéëåðà.ïîëó÷èì: h <|λ|Ýòî èññëåäîâàíèå äëÿ ìîäåëüíîé çàäà÷è. Äëÿ ïðîèçâîëüíîé çàäà÷è ìîæíî ïðîâåñòèëèíåàðèçàöèþ è ïðèìåíèòü ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ê ëèíåàðèçîâàííîé çàäà÷å.
Åñëèòàêîå óñëîâèå äëÿ ëèíåàðèçîâàííîé çàäà÷è íå âûïîëíÿåòñÿ, òî è äëÿ íåëèíåàðèçîâàííîéçàäà÷è óñòîé÷èâîñòè ìîæíî íå æäàòü.Ìåòîä Ðóíãå-Êóòòà 4 ïîðÿäêà.681yn+1 = yn + (k1 + 2k2 + 2k3 + k4 )6k1k2k3k4= hf (xn , yn )= hf (xn + h/2, yn + k1 /2)= hf (xn + h/2, yn + k2 /2)= hf (xn + h, yn + k3 )Òðåáîâàíèå íåâîçðàñòàíèÿ îøèáêè â ïðèìåíåíèè ê òîé æå ìîäåëüíîé çàäà÷å äàñòóñëîâèå íà øàã:¯¯2 23 34 4¯¯hλhλhλ¯1 + hλ +¯ < 1 ⇒ h < 2, 785++¯2624 ¯|λ|Ïîëó÷èëîñü íå ñèëüíîå óëó÷øåíèå ïî ñðàâíåíèþ ñ h <2äëÿ çàäà÷è y 0 = λy, λ <|λ|0, |λ| À 1.
Àíàëîãè÷íî è äëÿ íåëèíåéíîé çàäà÷è¯ ¯¯ ∂f ¯∂f0y = f (x, y),< 0, ¯¯ ¯¯ À 1.∂y∂yÒàêàÿ çàäà÷à íàçûâàåòñÿ æåñòêîé â ñìûñëå - "æåñòêîå" îãðàíè÷åíèå íà øàã.Ðàññìîòðèì ñèñòåìó èç m äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèéy~0 = f~(x, ~y )Îïðåäåëåíèå.äèôôóðîâ íàçûâàåòñÿ æ¼ñòêîé, åñëè ñðåäè ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé· Ñèñòåìà¸∂fiÿêîáèàíàèìåþòñÿ ñ.ç., ó êîòîðûõ âåùåñòâåííàÿ ÷àñòü îòðèöàòåëüíà è ïî ìîäóëþ∂yjäîñòàòî÷íà âåëèêà.·¸∂fi= A(x), λj (A) − ñ.ç. A(x)∂yj1. ∃ j : Re(λj ) < 0 è |Re(λj )| À 12. åñëè ∃ λk : Re(λk ) > 0, òî íåîáõîäèìî âûïîëíåíèå óñëîâèÿ: Re(λk ) ∼ 1. Ò.å.òðåáóåòñÿ, ÷òîáû ïîëîæèòåëüíûå äåéñòâèòåëüíûå ÷àñòè ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèéáûëè áû íåâåëèêè. Ýòî òðåáóåòñÿ äëÿ óñòîé÷èâîñòè ñàìîé çàäà÷è Êîøè äëÿñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüí. óðàâíåíèé.Åñëè âûïîëíåíû 1, 2, òî äëÿ óñòîé÷èâîñòè ïîÿâèòñÿ óñëîâèå íà h.Áóäåì ðàññìàòðèâàòü îäíîìåðíóþ çàäà÷ó½y 0 (x) = f (x, y)y(x0 ) = y0| xn+1|xn69Ïðîèíòåãðèðóåì:xRn+1y 0 dx =xRn+1xnf (x, y)dxxn⇒ y(xn+1 ) = y(xn ) +xRn+1f (x, y(x))dxxn ìåòîäå Ýéëåðà ðàíüøå âûáèðàëèRbaF (x)dx ∼ (b−a)F (a).
Òåïåðü âîçüìåì êâàäðàòóðíóþôîðìóëó ïðÿìîóãîëüíèêîâ ñ ëåâûì êîíöîìRbaF (x)dx ∼ (b − a)F (b). Ïîëó÷èìyn+1 = yn + hf (xn , yn+1 )- íåÿâíûé ìåòîä ÝéëåðàËîêàëüíàÿ îøèáêà O(h2 ), ãëîáàëüíàÿ O(h).Ðàññìîòðèì ñâîéñòâà ýòîãî ìåòîäà íà ïðèìåðå ìîäåëüíîé çàäà÷è½ 0y (x) = λyλ < 0, |λ| áîëüøîåy(x0 ) = y0Ðåøåíèå yn = yn−1 + hλynyn =yn−1y0= ... =1 − hλ(1 − hλ)nÒ.ê. 1 − hλ > 1 ⇒ ðåøåíèå óáûâàåò.Äëÿ âîçìóùåííîé çàäà÷è: ȳ0 = y0 + εȳn = yn +ε(1 − hλ)n| {z }↓0è çàäà÷à áóäåò óñòîé÷èâîé.×åðåç ôîðìóëó òðàïåöèé:,̈_hyn+1 = yn + [f (xn , yn ) + f (xn+1 , yn+1 )]2ãëîáàëüíàÿ ïîãðåøíîñòü O(h2 ).Åñëè yn+1 ìîæíî âûðàçèòü àíàëèòè÷åñêè, òî íåò íóæäû ïðèìåíÿòü ÷èñëåííûåìåòîäû. Åñëè yn+1 íåëüçÿ âûðàçèòü àíàëèòè÷åñêè - âîçíèêàåò çàäà÷à íàõîæäåíèÿyn+1 ïðè ïîìîùè ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé.70Äëÿ íåÿâíîãî ìåòîäà Ýéëåðàyn , xn , xn+1 − èçâåñòíûyn+1 = yn + hf (xn+1 , yn+1 )Íóæíî íàéòè êîðåíü óðàâíåíèÿ t = yn + hf (xn+1 , t).Èñïîëüçóåì ìåòîä ïðîñòîé èòåðàöèè t0 - çàäàäèì, tk+1 = yn + hf (xn+1 , tk ).
Ëó÷øåâñåãî çàäàâàòü t0 ðàâíûì yn+1 , âû÷èñëåííûì ïî ÿâíîìó ìåòîäó Ýéëåðà.Ñêîëüêî íóæíî èòåðàöèé? Íà ïðàêòèêå îáû÷íî äåëàþò îäíó èòåðàöèþ, ïîñêîëüêóïîãðåøíîñòè â íåÿâíîì è ÿâíîì ìåòîäàõ Ýéëåðà îäèíàêîâûyn+1 = yn + hf (xn+1 , yn + hf (xn , yn )).Îäíàêî, ïðèìåíåíèå ìåòîäà ïðîñòîé èòåðàöèè íå ïîäõîäèò äëÿ ðåøåíèÿ¯ æåñòêèõ¯¯ ∂f ¯¯çàäà÷. Óñëîâèå ñõîäèìîñòè èòåðàöèîííîãî ïðîöåññà tk+1 = ϕ(tk ) èìååò âèä ¯h ¯¯ < 1∂yè íàêëàäûâàåò ñèëüíîå óñëîâèå "ìàëîñòè" h.Èñïîëüçîâàíèå ìåòîäà Ðóíãå-Êóòòà.Ïóñòü çàäà÷à íåæåñòêàÿ, íåò îøèáîê íà÷àëüíûõ äàííûõ è îøèáîê îêðóãëåíèÿ(ëèáî îíè î-î-î÷åíü ìàëåíüêèå).y(xn+1 ) − yn+1 = ψ(xn , yn )hs+1 + O(hs+2 )¯¯1(s+1)ãäå ψ(xn , yn ) =ϕ(0)¯¯- ëîêàëüíàÿ îøèáêà, y(xn ) = yn . Ôóíêöèÿ ϕ(s + 1)!x=xn ,y=ynîïðåäåëåíà â ëåêöèè 15(2).Ãëîáàëüíàÿ îøèáêàEn+1 = y(xn+1 ) − yn+1y0 = y(x0 ) = 1En = z(xn )hs + O(hs+1 )Ñåòêà ðàâíîìåðíàÿ ñ øàãîì h.
z(.) - íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ, êîòîðàÿ ì.á. âû÷èñëåíààíàëèòè÷åñêè:¾½Z xnZ xn∂f(τ, y(τ ))dτ dtz(xn ) =ψ(t, y(t)) · exp∂yx0tz(xn ) íå çàâèñèò îò øàãà h.Íà ïðàêòèêå ðàñ÷åòû âåäóò ñ êîíòðîëåì ïîãðåøíîñòè. Èñïîëüçóåòñÿ ïðàâèëî Ðóíãå.Ñíà÷àëà ïðîâîäÿò ðàñ÷åò ñ øàãîì h, çàòåì ïðèáëèæåíèå òîé æå âåëè÷èíû âû÷èñëÿþòïî òîé æå ðàñ÷åòíîé ôîðìóëå çà äâà øàãà ñ h/2.hyn|xnh2|h2ȳn+1 - 1 ð. ñ øàãîì hȳ¯n+1 - 2 ð.
ñ øàãîì h/2|xn+1711. y(xn+1 ) − ȳn+1 = C · hs + O(hs+1 )2. y(xn+1 ) − ȳ¯n+1 = C̃ · (h/2)s + O(hs+1 )C̃ ì.á. 6= C , íî ðàçíèöà ìåæäó íèìè íåâåëèêà, è åå ìîæíî çàïèõíóòü â O(hs+1 ) ⇒ñ÷èòàåì C = C̃.Èç 1, 2ȳ¯n+1 − ȳn+1Chs =+O(hs+1 )−s| 1 −{z2 }âû÷èñëÿåòñÿ ÿâíîÌîæíî âû÷èñëèòü ïîãðåøíîñòü%(h) =ȳ¯n+1 − ȳn+11 − 2−sÅñëè òðåáóåòñÿ ðåøàòü çàäà÷ó ñ òî÷íîñòüþ ε, âû÷èñëÿåì %(h) è ñðàâíèâàåì |%(h)| ∨ε (%(h) äîëæíà áûòü ñ ìíîæèòåëåì, òèïà: øàã ê äëèíå îòðåçêà).• |%(h)| < ε âñå. Ðàñ÷åò âåäåòñÿ ñ ïðàâèëüíûì øàãîì.• |%(h)| > ε − h := h/2 (ñ òî÷íîñòüþ äî ìàëûõ áîëåå âûñ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
