Г.М. Кобельков - Курс лекций по численным методам (1160467), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Рассмотрим схемуMyn+1 − yn+(yn+1 + yn ) = 0.h2(54)Это тоже будет явная схема, но здесь мы аппроксимировали не только производную, но и саму функцию. Тогдаyn+1 =1 − M h21 + M h2значит, решение имеет видyn = y01 − M h21 + M h2(55)yn ,!n.(56)А поскольку M > 0, числитель этой дроби будет всегда меньше знаменателя. Однако и здесь имеется некотороеограничение на h сверху, поскольку числитель дроби не должен становиться отрицательным.
Отсюда получаем2ограничивающее неравенство 1 − M h2 > 0, то есть h < M.Заметим, что в этом случае мы получили более качественную схему (кстати, и ограничение на h получилосьв два раза менее существенное).5.3.2. Метод Лебедева для решения жёстких систем ОДУВначале рассмотрим общую ситуацию, когда задача многомерная. Пусть мы решаем систему y ′ + Ay = 0.Пусть, для простоты, система распадается, то есть матрица A диагональна: A = diag(λ1 , .
. . , λm ). Пусть λi > 0при всех i.Замечание. Мы специально рассматриваем именно такой простой пример, чтобы объяснить, что такоежёсткая система и почему при решении возникают трудности.Решениями этой системы будут, понятное дело, функции такого вида:y i (x) = y i (0)e−λi x .(57)Пусть жизнь сложилась так, что первые p собственных чисел оказались порядка 1, а остальные — по порядкузначительно больше 1. Тогда, как мы уже выясняли, чтобы схему не разносило при вычислениях, нужно, чтобышаг h удовлетворял неравенствамhλi 6 1.(58)Это значит, что при наличии огромных λi придётся двигаться с очень маленьким шагом, и в итоге мы уйдёмnлишь на M.
Конечно, в нашей задаче можно каждое уравнение решать отдельно, но в реальной жизни всё нетак хорошо, поскольку матрица не диагональна.Про системы говорят, что они слабо жёсткие, если λm ∼ 106 ; средне жёсткие, если λm ∼ 1012 ; сильно жёсткие,если λm ∼ 1018 .Скорее всего, эта классификация была приспособлена под вполне конкретные вычислительные системы (быть может, довольнодоисторические). Понятно, что для современных вычислительных систем сами константы могут быть другими.Определение. Система называется жёсткой, если |Im λi | < C и λ1 , . . . , λp ∼ 1, а Re λp+1 , . . . , Re λn ≫ 1.47Основная идея метода в переменном шаге hj . Итерации имеют видyn+1 = yn (1 − M hn+1 ),yn = y0 (1 − M h1 ) · .
. . · (1 − M hn ) = y0 (1 − MXhj + . . . ) = y0 P (M ).(59)PМы хотим продвинуться за n шагов как можно дальше. Значит, hj должна бытьPминимальной. Утверждается,что в качестве многочлена P (M ) можно взять многочлен Чебышёва. Суммаhj есть свободный член егопроизводной в нуле (со знаком «минус»), поэтому мы хотим от него таких свойств:P ′ (0) → min,|P (M )| 6 1,(60)P (0) = 1.Из свойств многочленов Чебышёва это легко следует: пусть многочлен Q круче, тогда рассмотрим разностьR = T − Q. Она сначала должна идти вниз, а потому имеет n + 1 корень. Противоречие.Таким образом, мы можем вычислить максимальное продвижение:Xhj =Это уже гораздо лучше, чем скромное22· T ′ (1) =· cos(n arccos x)′MM=x=12n2.M(61)nM.Дальше текст набирался очень быстро или выдирался из других источников и документов.
Поэтому полного соответствиялекциям нет.5.4. Простейшая краевая задача5.4.1. Разные определения и теоремы2Введём обозначение δ (z) := zn+1 − 2zn + zn−1 (оно будет использовано и дальше).Некоторые из даваемых ниже определений и понятий уже встречались. Но не будет лишним их повторить. К каким билетамотносить те или иные факты, которые здесь изложены — я до сих пор не понимаю. Но знать их всё равно надо.Рассмотрим краевую задачу Lu = fu(0) = a,u(1) = b.(62)Через [·] будем обозначать ограничение аргумента на сетку с шагом h.Определение. Lh аппроксимирует L в точке x, если Lh [u] − [Lu] → 0 при h → 0. Погрешностью аппроксимации называется разность r(x) = Lh [u] − [Lu].Определение.
Норма на сетке согласована с нормой на пространстве, если k[u]h k → kuk при h → 0.Определение. Схема устойчива, если k[u]h k 6 C k[f ]h k для некоторой универсальной константы C.Будем рассматривать оператор L = −(∆ − p(x)), где p(x) > 0. Далее оператор Лапласа мы всегда будемприближать разностью∆h v =vm+1 − 2vm + vn−1.h2(63)Теорема 5.1 (принцип максимума). Пусть на границе функция v неотрицательна. функция Если Lv > 0,то v > 0. Допустим, что v < 0. Выберем точку минимума v, тогда очевидно, min v < 0. По условию−vm+1 − 2vm + vn−1+ pm vm > 0.h2(64)Перепишем это условие в виде(vm − vm+1 ) + (vn − vm−1 ) + pm vm > 0.| {z }| {z }| {z }6060(65)<0Получили противоречие. Значит, v > 0.
Следствие 5.1 (Теорема единственности). Если два решения дифференциальной задачи с операторомL совпадают на границе, то они совпадают всюду.Утверждение 5.2. Имеет место устойчивость для разностной схемы с оператором L.48 Покажем, что решение u(x) всегда будет ограничено. Рассмотрим норму kf k := max |f | (какую нормубрать, это не важно — в конечномерном-то пространстве!). Рассмотрим функциюv(x) :=x − x2kf k + |a| · (1 − x) + |b| · (x).2(66)ИмеемLv(x) = kf k + p(x)v(x) + |a| · (1 − x) + b · (x) > kf k .(67)Теперь рассмотрим функцию w(x) := v ± u. Имеем w(0) > 0, w(1) > 0.
Кроме того, Lw = Lv ± Lu = kf k ± f > 0.Тогда по принципу максимума w = v ± u > 0. Значит, |u| 6 v. 5.4.2. Три разностные схемы, спектральный признакБудем решать уравнение переноса∂u∂u=.∂t∂x(68)Пусть L — оператор переноса.L — линейный дифференциальный оператор на пространстве гладких функций на Ω, непрерывных в замыкании области Ω, l — линейный оператор на пространстве функций, заданных на подмножестве границыобласти Ω, те Ω1 ⊂ ∂Ω.Определение.
Сеткой будем называть множествоΩτh = Ω ∩ Rτh ,(69)Rτh = {(xm , tn ) : xm = mh, tn = nτ, n, m ∈ Z},(70)гдеа величины h и τ задают шаг сетки соответственно по x и по t.Нетрудно понять, как функциям f и g поставить в соответствие так называемые сеточные функции [f ]τhи [g]τh — фактически, это просто их ограничения на сетку Ωτh . То же самое касается линейного оператора l —только его область определения мы ограничиваем на сеточные функции.
А линейный оператор Lτh мы построим,используя разделенные разности на сетке Ωτh . Подробнее эта процедура будет описана ниже. В результате мыполучим разностную задачу τ τLh uh = [f ]τh , (xm , tn ) ∈ Ωτh ;(71)lhτ uτh = [g]τh , (xm , tn ) ∈ Ω1 τh ,которая является системой линейных уравнений относительно неизвестных un,τm,h , которые задают (являются ихнабором значений) сеточные функции uτh , называемые решениями соответствующей разностной схемы.Определение.
Будем говорить, что решение разностной схемы (71) сходится к решению дифференциальнойзадачи (68), еслиlim uτh − [u]τh Ωτ = 0.(72)h,τ →0hОпределение. Разностная схема (71) аппроксимирует дифференциальную задачу (68) на функции u с порядком m по пространству и порядком n по времени, если существуют положительные константы c1 , c2 , c3 , c4 ,h1 , τ1 такие, что для всех h и τ , таких что 0 < h < h1 и 0 < τ < τ1 имеет место( τ τL [u] − [Lu]τ τ 6 c1 hm1 + c2 τ n1 ,hhh Ωτ τ h(73)l [u] − [lu]τ τ 6 c3 hm2 + c4 τ n2 ,hhh Ωhгде n = min(n1 , n2 ), m = min(m1 , m2 ).Определение. Разностная схема называется безусловно устойчивой, если существуют положительные константы c5 , c6 , h2 , τ2 такие, что для любых правых частей в (71) при всех h и τ , таких что 0 < h < h2 , 0 < τ < τ2выполнены условия:1. Существует и единственно решение uτh задачи (7);2.
Имеет место неравенство τ uh τ 6 c5 fhτ τ + c6 ghτ ΩΩΩhhτ1 h.(74)Разностная схема называется условно устойчивой, если существуют последовательности hk → 0, τk → 0,для которых выполнено неравенство (74). Разностная схема называется (безусловно) неустойчивой, если такихпоследовательностей не существует.495.4.3.
Спектральный признак устойчивостиДля простоты все дальнейшие рассуждения относятся лишь к уравнению переноса.Положимn imϕumn = cλ e(75)и будем подставлять эти значения в нашу разностную схему (что именно это означает — см. далее). Получимзависимостьλ = λ(ϕ) = λ(ϕ, h, τ ).Согласно спектральному признаку устойчивости, наша схема будет устойчивой тогда и только тогда, когда|λ| 6 1,(76)|λ| 6 κτ,(77)или, точнее,где κ — некоторая неотрицательная константа.
Но такие тонкости нам едва ли понадобятся. Возможны следующие случаи:• неравенство (76) выполнено при всех τ и h — тогда схема безусловно устойчива;• неравенство выполнено только в случае, если τ и h удовлетворяют некоторым условиям — такая схемаявляется условно устойчивой;• неравенство вообще никогда не выполняется — схема безусловно неустойчива.Пример 4.1. Вот наиболее простой пример разностной схемы для уравнения переноса:un − unmun+1− unmm= a m+1.τh(78)Будем исследовать эту схему на устойчивость. Подставляя (75), получим:λn+1 eimϕ − λn eimϕλn ei(m+1)ϕ − λn eimϕ=a.τh(79)λ−1eiϕ − 1=a,τh(80)Сократим на λn eimϕ :откуда выразим λ:aτ iϕaτ(e − 1) = 1 +(cos ϕ + i sin ϕ − 1).(81)hhПреобразуем это выражение, обозначая для краткости r = aτ /h и используя формулу 1 − cos ϕ = 2 sin2 (ϕ/2):λ=1+λ = (1 − 2r sin2ϕ) + ir sin ϕ,2(82)откудаϕϕϕϕϕ 2) + r2 sin2 ϕ = 1 − 4r sin2 + 4r2 sin4 + 4r2 sin2 cos2 .22222Теперь уже несложно понять, что нужное нам неравенство |λ| 6 1 эквивалентно условию|λ|2 = (1 − 2r sin206r61⇔06aτ6 1.h(83)(84)Итак, рассмотренная схема является условно устойчивой при a > 0 — причем нами было найдено условие на ееустойчивость, а при a < 0 она является неустойчивой.Замечание.
Очевидно, что если рассмотреть схемуun − unm+1un+1− unmm=a m,τh(85)она будет условно устойчива при a 6 0 с тем же условием на устойчивость и неустойчива при a > 0.А вот пример безусловно устойчивой схемы:un+1 − un+1un − unm−1un+1− unmm−1m= a m+1+ a m+1.τ4h4hВычислить λ и убедиться, что |λ| = 1, предоставляется читателю.50(86)5.5. Схемы с весами5.5.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
