Г.М. Кобельков - Курс лекций по численным методам (1160467)
Текст из файла
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТимени М. В. ЛОМОНОСОВАМеханико-математический факультетКурс лекций почисленным методамЛектор — Георгий Михайлович КобельковIV курс, 7–8 семестр, поток математиковМосква, 2006 г.Оглавление1.Представление вещественных чисел в компьютере1.1. Мантисса и порядок . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2. Округление и ошибки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.Аппроксимация функций2.1. Интерполяция многочленом Лагранжа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1.1. Постановка задачи и оценка её сложности . . . . . .
. . . . . . . . . .2.1.2. Оценка погрешности приближения функции многочленом Лагранжа2.1.3. Многочлены Чебышёва . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2. Тригонометрическая интерполяция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2.1.
Дискретное преобразование Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2.2. Быстрое дискретное преобразование Фурье . . . . . . . . . . . . . . .2.3. Разделённые разности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3.1. Определение разделённой разности и её простейшие свойства . . . .2.3.2. Интерполяционная формула Ньютона . . . . . . . .
. . . . . . . . . .2.3.3. Интерполяция с кратными узлами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.4. Наилучшее приближение в нормированных пространствах . . . . . . . . .2.4.1. Общая теория . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .2.4.2. Наилучшее приближение многочленами. Чебышёвский альтернанс .2.4.3. Примеры многочленов наилучшего приближения . . . . . . . . . . .2.5. Ортогональные системы и их свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.5.1. Гильбертовы пространства. Процесс ортогонализации . . . . . . . . .2.5.2. Ортогональные многочлены и их свойства . . .
. . . . . . . . . . . .2.6. Наилучшее приближение в гильбертовых пространствах . . . . . . . . . . .2.7. Сплайны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.7.1. Определение сплайнов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.7.2. В-сплайн . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...............................................................................................................................................................................................................................................................................................66667889101010111212131515151618191920Численные методы и дифференциальное исчисление3.1. Численное дифференцирование .
. . . . . . . . . . . . . . . .3.2. Сжатие информации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.1. Двумерный случай . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3. Численное интегрирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3.1. Формула прямоугольников . . . . . . . . .
. . . . . . . .3.3.2. Метод трапеций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3.3. Метод Симпсона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.4. Оценка погрешности квадратурных формул . . . . . . . . . .3.5. Подсчёт интегралов по составным квадратурным формулам3.5.1. Составные квадратурные формулы . . .
. . . . . . . . .3.5.2. Правило Рунге . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.5.3. Интегрирование быстро осциллирующих функций . . .3.5.4. Оптимальные квадратуры . . . . . . . . . . . . . . . . .3.4.555.......................................................................................................................................................................................................................................................2121222223242424242626262727Численные методы линейной алгебры4.1. Точные методы .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.1.1. Метод отражений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.1.2. Метод Холецкого . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.2. Итерационные методы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.2.1.
Метод простой итерации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.2.2. Модификация метода простой итерации (метод Ричардсона)4.2.3. Upgrade метода Ричардсона, или чебышевское ускорение . .4.2.4. Линейный оптимальный процесс . . . . . . . . . . . . . . . .4.3. Другие методы .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.3.1. Метод скорейшего спуска . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.3.2. Метод Ричардсона для несимметричных матриц . . . . . . .4.3.3. Метод решения симметричных плохо обусловленных систем4.3.4. Метод Зейделя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...........................................................................................................................................................................................................................................27272728282830313233333436372..........................4.4.5.4.3.5. Метод сопряжённых градиентов .
. . . . . . . . . . . . . . .Что делать, когда всё плохо? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.4.1. Метод регуляризации по Тихонову . . . . . . . . . . . . . . .4.4.2. Метод Поспелова для решения плохо обусловленных системНелинейные и дифференциальные уравнения5.1. Нелинейные уравнения . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.1.1. Метод половинного деления . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.1.2. Метод простой итерации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.1.3. Метод Ньютона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .5.2. Дифференциальные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.2.1. Метод Эйлера и его модификации . . . . . . . . . . . . . .5.2.2. Метод Рунге – Кутта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.2.3. Метод Рунге априорной оценки погрешности .
. . . . . . .5.2.4. Обобщение метода Рунге – Кутта . . . . . . . . . . . . . . .5.3. Разностные схемы для решения дифференциальных уравнений5.3.1. Устойчивость схем в определениях и примерах . . . . . . .5.3.2. Метод Лебедева для решения жёстких систем ОДУ . . . .5.4. Простейшая краевая задача . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .5.4.1. Разные определения и теоремы . . . . . . . . . . . . . . . .5.4.2. Три разностные схемы, спектральный признак . . . . . . .5.4.3. Спектральный признак устойчивости . . . . . . . . . . . .5.5. Схемы с весами . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.5.1. Явная схема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.5.2. Неявная схема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.5.3. Схема с весами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .5.6. Сеточные теоремы вложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.7. Методы стрельбы и прогонки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.7.1. Метод прогонки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.7.2. Метод стрельбы . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.8. Повышение порядков аппроксимации. Метод баланса . . . . . .5.8.1. Пример номер раз . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.8.2. Пример номер два . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.8.3. Метод баланса . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .5.9. Метод конечных элементов (проекционный метод) . . . . . . . .5.10. Интегральные уравнения второго рода . . . . . . . . . . . . . . .3......................................................................................................37393940............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................41414142424343434545454647484849505151515152535354545455555657ПредисловиеЭтот документ представляет собой курс лекций по численным методам, читаемый в 7–8 семестре.
Порядокизложения материала наиболее соответствует курсу 2005–2006 г.Если выяснится, что в некоторых билетах чего-то катастрофически не хватает, но это не отражено в тексте,пишите. Кое-где явно написано, что «в лекциях муть», и исправить это не представляется возможным. Поймитеправильно, уважаемые читатели, нет ничего страшнее, чем написать какой-то бред и выдавать его за правду.Release notes21.05 Паша Наливайко победил тяжкий бред в очень-очень быстром преобразовании Фурье.
Несмотря на всюего быстроту, текст надо было писать не торопясь. . .21.05 А ещё добавился метод Поспелова в вольном изложении Александра Воронцова, за что ему отдельнаяблагодарность. В нем было исправлено немножко опечаток, и стало лучше.28.05 В данной версии написан метод конечных элементов в не менее вольном изложении автора конспекта.29.05 Гип-гип, ура! Появился метод баланса. Ещё замечен бред в одном из методов линейной алгебры (но нанего для простоты на экзамене можно забить).31.05 Обработан последний поступивший багрепорт от Паши Наливайко. Жить стало легче, жить стало веселее:)БлагодарностиЗа поиск опечаток спасибо Лёхе Басалаеву, Сергею Гладких, Паше Наливайко, Саше Воронцову, а также ивсем, кого я ещё забыл :)Последняя компиляция: 31 мая 2006 г.Обновления документа — на сайтах http://dmvn.mexmat.net,http://dmvn.mexmat.ru.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.41.
Представление вещественных чисел в компьютере1.1. Мантисса и порядокВсем ясно, что хранить бесконечные десятичные дроби мы пока не умеем — памяти не хватит. Поэтомубудем хранить только их приближения с некоторой разумной точностью. Просто хранить сколько-то знаковпосле запятой глупо, ибо хочется уметь работать с числами вида 1 · 10100 и 1 · 10−100 , а отводить память под100 знаков крайне неэкономно. Кроме того, при работе с очень маленькими (или, наоборот, очень большими)числами нам не так уж важны младшие разряды, а важен порядок числа. Вот поэтому-то числа и хранят ввиде мантиссы и порядка.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
