Численные методы. Соснин (2005) (1160462), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Если для решения разностной задачи выполняется оценка (5.29), то решение называется устойчивым по правой части.Это определение устойчивости разностной задачи является непосредственным следствием общегоопределения устойчивости.Определение. Задача называется корректно поставленной по Адамару4 , если:1) решение существует;2) решение единственно;3) решение непрерывно зависит от входных данных (устойчиво по правой части).По аналогии запишем определение для разностной схемы.Определение. Разностная схема называется корректной, если:1) решение существует;2) решение единственно;3) решение устойчиво по правой части.Теорема 5.2. Пусть дифференциальная задача корректно поставлена, и разностная схема, соответствующая этой дифференциальной задаче, корректна.
Тогда, если разностная схема аппроксимируетисходную задачу, то решение разностной схемы сходится к решению исходной дифференциальной задачи и порядок аппроксимации совпадает с порядком точности.Доказательство. Как уже записывали ранее, оценка на приближенное решение такова||y||h 6 M1 ||ϕ||h .В силу линейности разностной схемы, оценка на погрешность будет:h→0||z||h 6 M1 ||ψ||h −→ 0.Таким образом, так как ||ψ||h = O(hp ), решение разностной схемы сходится и имеет p-й порядокточности.Далее работать с теоремой мы будем по следующему плану.
Сначала исследуем разностную схемуна аппроксимацию (аппроксимирует ли она исходное ОДУ). Затем проверяем схему на устойчивость,и потом уже можно пользоваться теоремой, что мы и будем с успехом делать.5.9Явная разностная схема для уравнения теплопроводностиМы будем рассматривать достаточно простые задачи, в которых решение можно построить и аналитическими методами, но наша задача — изучать численные методы.
Рассмотренная ниже техникарешения краевых задач легко обобщается на более сложные случаи, не имеющие аналитического решения.4 Понятиевпервые предложено Ж. Адамаром (1923).98Глава 5. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧЗапишем краевую задачу дляut (x, t)u(x, 0)u(0, t)u(1, t)уравнения теплопроводности (УТ):====uxx (x, t) + f (x, t),u0 (x),µ1 (t),µ2 (t),0 < x < 1, 0 < t 6 T ;0 6 x 6 1;0 6 t 6 T;0 6 t 6 T.Проведем дискретизацию области изменения независимого переменного:ωh =xj = jh, j = 0, N , h = N1 ;T.ωτ =tn = nτ, n = 0, K, τ = KПараметры N и K характеризуют «густоту» сетки.Теперь построим семейство линийj = 0, N ;n = 0, K.x = xj ,t = tn ,Будем рассматривать точки пересечения этих линий.
Разделим узлы на две группы — граничныеузлы (в них заданы дополнительные условия — краевые и граничные условия) и внутренние узлы.tT× ¡¢£¤¥¦§¨©ª«¬®¯°±²³´µ hijklmnopqrstuvwxyz{|}~NOPQRSTUVWXYZ[\]^_`abcdefg456789:;<=>?@ABCDEFGHIJKLM !"#$%&'()*+,-./0123×τ×××××××××××××××××h××××××××××1xПосле дискретизации строим некоторый аналог исходного уравнения — разностную схему. Сначалавведем обозначения:u(xj , tn ) = unj ;f (xj , tn ) = ϕnj ,а для частных производных возьмем такие приближения:unj+1 − 2unj + unj−1;j , tn )h2un+1− unjjut |(x , t ) ≈.jnτ— эти конструкции возникают при применении интегро-интерполяционного метода с формулой прямоугольников. Подставив эти формулы в краевую задачу, получим ее алгебраический аналог: n+1nnyj − yjnyj+1− 2yjn + yj−1=+ ϕnj , j = 1, N − 1, n = 0, K − 1;τh2yj0 = u0 (xj ), j = 0, N ;(5.30)ny0 = µ1 (tn ), n = 0, K;nyN= µ2 (tn ), n = 0, K.uxx |(x≈5.9.
ЯВНАЯ РАЗНОСТНАЯ СХЕМА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ99Будем исследовать класс схем для решения задачи (5.30). Нас будут интересовать следующие вопросы:1) существование и единственность решения;2) методы получения решения разностной схемы;3) как соотносятся разностная схема и исходная дифференциальная задача (т. е.
аппроксимация);4) есть ли сходимость приближенного решения к точному.Будем рассматривать (пытаться разрешить) уравнение относительно yjn+1 . Множество узлов дискретной сетки с одинаковым t = const назовем временным слоем. Первое уравнение из (5.30) можнопереписать так:2ττnnyjn+1 = 1 − 2 yjn + 2 yj+1+ yj−1+ τ ϕnj , j = 1, N − 1, n = 0, K − 1.hhПри n = 0 получим:yj1 =1−2τh2yj0 +τ00yj+1+ yj−1+ τ ϕ0j ,2hj = 1, N − 1.В правой части все значения известны из краевых условий. Поэтому мы можем получить искомуюсеточную функцию на всем первом временном слое. Аналогично можно рассчитать второй и последующие слои. Таким образом, данная разностная схема решается по слоям, и понятно, что решениесуществует и единственно.
Так как все формулы явные, то вся разностная схема является явной разностной схемой. Эта схема построена по четырем узлам дискретной сетки, что было необходимо дляпредставления первой производной по t и второй по x. Четырех узлов оказалось достаточно, и схемаполучилась простой.Определение. Совокупность узлов дискретной сетки на базе которых построено разностное уравнение, называется шаблоном разностной схемы.Далее мы будем изучать более сложные схемы с большим числом узлов в шаблоне, а пока вернемсяк исследованию только что полученного разностного уравнения.Изучим поведение невязки:ψjn = −un+1− unjunj+1 − 2unj + unj−1j++ ϕnj .τh2Для этого разложим unj±1 и un+1в ряд Тейлора в точке unj :j23unj±1= unj ± unx,j h + unxx,j h2 ± unxxx,j h6 + O(h4 );un+1j= unj + unt,j τ + O(τ 2 ).Тогда получим выражение для невязки:ψjn = (−unt,j + unxx,j + fjn ) + ϕnj − fjn + O(τ + h2 ).100Глава 5.
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧВыражение в скобках равно нулю в силу того, что unj — точное решение уравнения теплопроводности.Если взять функции ϕnj так, что ϕnj = fjn + O(τ + h2 ) (мы допускаем некоторый произвол привыборе ϕnj ), то для невязки будет справедлива оценка:||ψ||h = O(τ + h2 )— то есть наша разностная схема аппроксимирует исходное ДУ со вторым порядком аппроксимациипо h и с первым порядком аппроксимации по τ.Рассмотрим теперь вопрос о сходимости приближенного решения к точному.
Как обычно, выразимискомое решение yjn через точное решение и погрешность: yjn = unj + zjn . Тогда разностная схемапримет вид: n+1nnzj − zjnzj+1− 2zjn + zj−1+ ψjn , j = 1, N − 1, n = 1, K − 1;=τh2zj0 = 0,j = 0, N ;z0n = 0,n = 0, K;nzN = 0,n = 0, K.Выразим из первого уравнения погрешность на (n + 1)-м временном слое:zjn+1 = (1 −2τ nτ nn)zj + 2 (zj+1+ zj−1) + τ ψjn .2hhПолучим оценку на погрешность: τ n n n τ τ τ |zjn+1 | 6 1 − 2 2 |zjn | + 2 zj+1+ zj−1 + τ ψj 6 1 − 2 2 + 2 2 max zjn + τ max ψjn jjhhhh— это неравенство выполняется для любого j, поэтому: τ τ max zjn+1 6 1 − 2 2 + 2 2 max zjn + τ max ψjn .jjjhh Норма погрешности на n-м временном слое считается так: zjn C(ω ) = max zjn .
Тогда на (n+1)-мnjвременном слое норма погрешности оценивается как n+1 τ τ zzjn 6−2+2+ τ ψjn C(ω ) .1j22C(ω)C(ωn+1 )nnhhτЕсли предположить, что 1 − 2 2 > 0 (накладываем ограничения на шаг), тоh n+1 z6 zjn C(ω ) + τ ψjn C(ω ) ,jC(ω)nn+1nпричем эта оценка выполняется для любого n. Применив оценку рекурсивно n раз, получим: nzj C(ωn)n−1X ψjk 6 zj0 C(ω ) + τ,C(ω )0kk=0 но zj0 C(ω0)= 0 согласно постановке задачи, поэтому: nzj C(ωn)6τn−1X kψj .C(ω )kk=05.9.
ЯВНАЯ РАЗНОСТНАЯ СХЕМА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ101Напомним, что у нас получена следующая оценка на невязку: ψjn = O(τ + h2 ). Обозначим k2ψ max Mk = M , тогда получим:j C(ω ) = Mk (τ + h ),kk=0, n−1 nzj C(ωn)26 τ (τ + h )n−1XMk 6 τ nM (τ + h2 ).k=0Напомним, что τ n = tn и не зависит от τ, тогда обозначим τ nM = M — не зависящая от τконстанта, и получим: nzj 6 M (τ + h2 )C(ω )n— то есть полученная разностная схема имеет первый порядок точности по τ и второй — по h.Структура разностной схемы и задачи для погрешности одинакова, разница только в том, что вразностной схеме правая часть равна f, а в задаче для погрешности — ψ.
Значит, по аналогии (то естьn−1X ϕkj . Это дискретный анапроведя те же действия) получим, что yjn C(ω ) 6 yi0 C(ω0 ) + τC(ω )knk=0лог принципа максимума для уравнения теплопроводности (подробнее он описан в курсе «Уравненияматематической физики»). Он говорит о том, что решение краевой задачи для уравнения теплопроводности устойчиво по начальным данным и по правой части. Но вспомним, что эта оценка получена приограничении шагов дискретизации hτ2 6 12 , то есть разностная схема, которую мы исследуем, скореевсего, является условно устойчивой.Далее мы рассмотрим некоторый метод исследования разностной схемы на устойчивость, называемый методом гармоник.Сопоставим рассматриваемой разностной схеме однородное разностное уравнение:nnyjn+1 − yjnyj+1− 2yjn + yj−1=.τh2(5.31)Исследуем полученное уравнение на решения вида:yjn = q n eijhϕ ,(5.32)где q, ϕ — некоторые параметры.Подставим такое yjn в (5.31) и сократим:q−1τq−1τq−1τq1 ihϕe− 2 + e−ihϕ=⇒2h1=(2 cos(hϕ) − 2) =⇒h22= − 2 · 2 sin2 hϕ=⇒2hτ= 1 − 4 2 sin2 hϕ2 .h=Из формулы (5.32) нетрудно заметить, что если |q| 6 1, то ограниченность начального условиявлечет ограниченность в любой момент времени n.
То есть сеточная функция будет устойчива. Еслиже |q| > 1 при каких-то τ и h, то решения разностной схемы yjn будут расти с ростом n. Отсюдаследует необходимое условие сходимости разностной схемы — |q| 6 1.В нашем случае оно перепишется так:1 − 4 τ sin2 hϕ 6 1.h22 102Глава 5. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ|q| > 1|q| < 1|q| = 1Раскрыв модуль, получим:τhϕsin26 1.2h2Правое неравенство выполнено всегда, перепишем второе неравенство:−1 6 1 − 4hϕ1τsin26 ,h222или1τ6h22 sin2hϕ2.Оно должно выполняться для всех ϕ. Взяв минимум по правой части, получим окончательноеограничение на параметры схемы:τ16 .h221, тогда τ должно быть меньше 12 10−4 .Это не очень хорошо. Для примера рассмотрим h = 100Если верхнюю границу отрезка, на котором мы ищем функцию, взять t∗ = 1, то количество шагов повремени будет N = τ1 ≈ 20000, а это, понятно, немало.
Как исправить этот глобальный дефект? Можноли, меняя шаблон, на котором происходит аппроксимация исходного дифференциального уравнения,менять соответствующий разностный аналог?5.10Неявная разностная схема для уравнения теплопроводностиИзменим шаблон:Уравнения разностной схемы перепишутся следующим образом: n+1n+1n+1yj − yjnyj+1− 2yjn+1 + yj−1=+ ϕn+1, j = 1, N − 1, n = 0, K − 1;j2τhyj0 = u0 (xj ), j = 0, N ;y0n+1 = µ1 (tn+1 ), n = 0, K − 1;n+1yN= µ2 (tn+1 ), n = 0, K − 1.(5.33)Тогда невязка будет иметь вид:ψjn+1 = −un+1− unj1jn+1n+1+ 2 un+1+ un+1.j+1 − 2ujj−1 + ϕjτh(5.34)5.10. НЕЯВНАЯ РАЗНОСТНАЯ СХЕМА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ103nКак и в предыдущем случае, разложим все un+1j±1 и uj в ряд Тейлора:un+1j±1unjh2h3± un+1+ O(h4 );xxx,j262= un+1− un+1jt,j τ + O(τ ).n+1= un+1± un+1jx,j h + uxx,jТеперь подставим эти разложения в формулу (5.34) и в правой части добавим и вычтем fjn+1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
