Численные методы. Ионкин (миниметодичка) (2015) (1160460), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Значение 0 = (0) определяется исходной задачей (1), а величины 1 , . . . , −1 можно вычислить с помощью других методов, например,с помощью рассмотренного выше метода Рунге–Кутта. В дальнейшем будем предполагать, что величины 0 , 1 , . . . , −1 уже заданы.Если в разностной схеме (2) 0 = 0, то рассматриваемый метод называется∑︀ явным, и0искомоезначениевыражаетсяявнымобразомчерезпредыдущие:==1 − − ∑︀ =1 − .§36.
Многошаговые разностные методы27Если 0 ̸= 0, то метод называется неявным, и для нахождения приходится ре0шать∑︀ нелинейноеуравнение − 0 ( , ) = (−1 , . . . , − ), где (−1 , . . . , − ) ==1 ( − − − ). Обычно это уравнение решают итерационным методом Ньютона,выбирая начальное приближение равным −1Заметим, что коэффициенты уравнения (2) определены∑︀ с точностью до множителя. Дляопределенности будем считать, что выполнено условие =0 = 1.Определение. Погрешностью аппроксимации разностной схемы (2) на решении исходной задачи (1) называется сеточная функция = −∑︁=0− +∑︁ (− , − ),(3)=0заданная на сетке , где = ( ) — решение исходной задачи (1).Для сходимости окончательно получаем следующую систему уравнений:⎧∑︀⎪⎪ = −1,⎨=1∑︀⎪⎪ −1 ( + ) = 0,⎩(4) = 2, ,=0∑︀0 = 1 −в∑︀которой коэффициенты 0 , 0 вычисляются по формулам 0 = − =1 ,=1 .
Таким образом, мы уменьшили число уравнений в системе до и число неизвестных до 2. Чтобы система не была переопределенной (в таких системах число уравненийбольше числа неизвестных) необходимо выполнение условия 6 2.Таким образом наибольший возможный порядок аппроксимации неявных -шаговыхразностных методов равен 2, явных — (2 − 1), так как в явных методах 0 = 0, и числонеизвестных в системе (4) меньше на единицу по сравнению с системой, записанной длянеявного метода.Если убрать последние уравнений системы (4), = (︀1, ( −)︀ 1), то получим условия, обеспечивающие порядок погрешность аппроксимации O − .Замечание 1.В практике вычислений наибольшее распространение получили методыАдамса, которые представляют собой частный случай многошаговых методов (2), когдапроизводная ′ () в исходном уравнении аппроксимируется по двум крайним точкам −1и , то есть 0 = 1, 1 = −1, = 0, = 2, :Замечание 2.
− −1 ∑︁= − .=0Разностные схемы вида (2), обладающие наивысшими порядками аппроксимации на решении исходного уравнения, неустойчивы и не могут быть использованына практике. Максимальный порядок аппроксимации устойчивого неявного -шаговогометода не превосходит ( + 1), если нечетно, и не превосходит ( + 2), если четно.Порядок аппроксимации устойчивых явных схем не превосходит . Подробнее понятиеустойчивости -шагового разностного метода мы рассмотрим в следующем параграфе.Замечание 3.Достоинства и недостатки многошаговых разностных методов по сравнению с методомРунге–Кутта.Достоинства:28Глава .
Методы решения ОДУ и систем ОДУ1. Формулы многошаговых методов значительно проще.2. Многошаговые методы позволяют достигать большей точности.Недостатки:1. В многошаговых методах необходимо хранить в памяти большее число элементов —значения нескольких предыдущих шагов вместо одного.2. Многошаговые методы требуют наличия «разгонного этапа», то есть значений нескольких первых шагов, которые нельзя вычислить по многошаговым формулам.
Как мыуже упоминали, эти значения обычно вычисляют с помощью метода Рунге–Кутта.§37Понятие устойчивости разностного методаЧисленный метод называется устойчивым, если погрешности, допущенные на каком-тоэтапе вычислений, не оказывают существенного влияния на результат.+1 = ,̃︀ = + .̃︀+1 = ̃︀ = + = +1 + ,⎧⎨ ()+ () = 0,⎩(0) = .0Пример 1.чи (1): > 0, > 0,(1)Рассмотрим, например, явную разностную схему Эйлера для решения зада-+1 − + = 0, > 0,2В этом случае схема называется условно устойчивой, а само неравенство 6 называетсяусловием устойчивости.Пример 2.Приведем пример абсолютно устойчивой разностной схемы. Для уравнения′ () = (, ()),+1 = ,(2) = (1 + )−1 , причем || < 1 при любых > 0.Исследуем на устойчивость двухшаговый разностный метод, построенный в примере 3+1 − 31= − −1 .22(3)+1 −+ ( 32 − 21 −1 ) = 0, = 1, 2, .
. . , представляет собой разностное уравнениевторого порядка с постоянными коэффициентами+1 + + −1 = 0,(4)Оба корня уравнения (4) с действительными коэффициентами , лежатвнутри или на границе единичного круга || ≤ 1 тогда и только тогда, когда выполненыусловия1 + + ≥ 0, 1 − + ≥ 0, ≤ 1.(5)Лемма 1.§37. Понятие устойчивости разностного метода29Общий -шаговый линейный разностный метод∑︁=0− =∑︁ − ,(6)=0где > 0, 0 , 1 , . . . , −1 — заданы.
Будем считать, что коэффициенты , , = 1, независят от .Пример.В применении к уравнению (1) метод (6) принимает вид:∑︁( + ) − = 0.(7)=0Решение этого разностного уравнения с постоянными коэффициентами будем искать ввиде = , ∈ Z+ .∑︁ (, ) =( + ) − = 0.(8)=0Определение.ной схемы (7).Уравнение вида (8) называется характеристическим уравнением разност- (, 0) = 0,∑︁(9) − = 0,=0Говорят, что схема (6) удовлетворяет условию (), если все корни характеристического уравнения (9) лежат внутри или на границе единичного круга комплексной плоскости, причем на границе единичного круга нет кратных корней.Определение.Таким образом, выполнение условия () соответствует устойчивости разностного метода для уравнения ′ () = 0. Однако часто схему и для общего уравнения (2) называютустойчивой, если она удовлетворяет условию (). Такая терминологическая неточностьоправдана тем, что из условия () следует сходимость решения разностной задачи (6) крешению исходной дифференциальной задачи (2).Пусть разностная схема удовлетворяет условию () и |′ | 6 на отрезке0 6 6 .
Тогда при 0 6 = 6 и всех достаточно малых выполняется оценка⎛⎞∑︁| − ( )| 6 ⎝ | | + max | − ( )|⎠ ,Теорема.=066−1где | −( )| — погрешности в задании начальных данных, = 0, ( − 1), — константа,зависящая от , и не зависящая от , — погрешность аппроксимации на решенииисходного уравнения (2): = −∑︁=0(− ) +∑︁ − .=0(без доказательства)∑︀ − −1= − всегда удовлетворяют условию=0(), так как для них 0 = −1 = 1, то есть = 1 = 1, что следует из уравнения − −1 = 0.Замечание 1.Методы Адамса30Глава . Методы решения ОДУ и систем ОДУПри указанном подходе, в отличие от рассмотренных примеров, не различаются абсолютно устойчивые и условно устойчивые разностные схемы, так как параметр заранее считается достаточно малым.Замечание 2.Мы уже упоминали в §36 данной главы, что наивысший достижимыйпорядок аппроксимации неявных -шаговых методов равен 2, а явных — (2−1).
Однакооказывается, что методы наивысшего порядка неустойчивы в том смысле, что они неудовлетворяют условию (). А именно, если нечетно, то никакой устойчивый методне превосходит порядка = + 1. Если четно, то никакой устойчивый метод непревосходит порядка = + 2 ( — порядок аппроксимации). Для явных схем наивысшийпорядок аппроксимации устойчивых методов = .Замечание 3.Нетрудно привести пример схем, не удовлетворяющих условию (). Так, явнаядвухшаговая схема + 4−1 − 5−22−1 + −2=63(︀ )︀имеет третий порядок погрешности аппроксимации = O 3Пример.§38Жесткие системы обыкновенных дифференциальных уравненийОпределение.Система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений вида⎧⎨ ()= (), > 0⎩(0) = ,0где () = (1 (), 2 (), .
. . , ()) , и ( × ) — заданная матрица постоянных, вообщеговоря, комплексных коэффициентов, называется жесткой, если:1. Действительные части всех собственных значений , = 1, матрицы отрицательные.2. Выполняется неравенствоmax | |166min | |≫ 1.166Понятие жесткости можно обобщить и на случай нелинейных систем. Рассмотрим систему нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений⎧⎨ ()= (, ()), > 0,(1)⎩(0) = ,0где () = (1 (), 2 (), . . .
, ()) , (, ()) = (1 (, ()), 2 (, ()), . . . , (, ())) . (, ())Пусть (), = 1, — собственные значения матрицы () =.max | ()|166Введем число жесткости () =.min | ()|166Определение.0 < < еслиСистема (1) называется жесткой на решении () и на данном интервале§39. Дальнейшие определения устойчивости311. () < 0, = 1, .2. Число жесткости () велико на рассматриваемом интервале 0 < < :max | ()|166min | ()|1661.Заметим, что первое требование означает асимптотическую устойчивость по Ляпуновурешения ().§39Дальнейшие определения устойчивости()= (),(1)Определение. Областью устойчивости разностного метода называется множествоточек комплексной плоскости = , для которых данный метод, примененный к уравнению (1), устойчив.Разностный метод называется -устойчивым, если область его устойчивости содержит полуплоскость, задаваемую условием Re < 0.Определение.Отметим, что уравнение (1) асимптотически устойчиво при Re < 0.
Поэтому всякий-устойчивый метод является абсолютно устойчивым (устойчивым при любом > 0),если устойчиво решение исходного дифференциального уравнения. Нетрудно видеть, чтонеявный метод Эйлера является -устойчивым, а явный метод Эйлера не является устойчивым.Рассмотрим схему второго порядка аппроксимации:+1 − (+1 , +1 ) + ( , )=.(2)2+1 − В применении к уравнению (1) эта схема примет вид= 2 (+1 + ).1+0.5Отсюда находим +1 = , где = 1−0.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
