Численные методы. Ионкин (2009) (1160433), страница 11
Текст из файла (страница 11)
. .0 R1 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .am1am2 . . . . . . 0, 5amm0, 5a11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 00, 5a22 aij . . . . R2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .000, 5ammy (s+1) + y (s)+ Ay (s) = φτÃäå ω > 0, τ > 0 - èòåðàöèîííûå ïàðàìåòðû, y0 çàäàíî. Ïðè ïðàâèëüíîé îðãàíèçàöèè ïðîöåññàw(s+1) âû÷èñëÿåòñÿ ïî ÿâíûì ôîðìóëàì (òàê êàê E + ωR1 - íèæíÿÿ òðåóãîëüíàÿ ìàòðèöà):(E + ωR1 )(E + ωR2 )(E + ωR1 )w(s+1) = φ − Ay (s) (E + ωR2 )v (s+1) = w(s+1) y (s+1) = y (s) + τ v (s+1)τñõîäèòñÿ äëÿ ëþáûõ4Ïðè ýòîì n0 () ∼ O(N ).Ïðèω>5y (0) .Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ðàçíîñòíûõ ñõåì. Àïïðîêñèìàöèÿ.
Óñòîé÷èâîñòü. Ñõîäèìîñòü.Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ ëèíåéíóþ äèôôåðåíöèàëüíóþ çàäà÷ó:Lu(x) = f (x), x ∈ G(1)L,ìíîæåñòâå GÑ÷èòàåì, ÷òî êðàåâûå è íà÷àëüíûå óñëîâèÿ áóäóò ó÷èòûâàòüñÿ ëèáî âèäîì îïåðàòîðàL - ëèíåéíûé ïåðàòîð. Ââåäåì íàGh , ãäå h - íåêîòîðàÿ íîðìà øàãîâ ñåòêè. Òîãäà x èç íåïðåðâûíîãî ïðåâðàùåòñÿ â äèñêðåòíîå: x ∈ Gh . Òåì æå îáðàçîì ñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå ôóíêöèè y(x) åå ðàçíîñòíûé àíàëîãyh (x). Àíàëîãè÷íî ïîñòóïàåì ñ îïåðàòîðîì L : Lh yh = φ(x), x ∈ Gh .
Ðàññìîòðèì ëèíåéíîå íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé B0 ñ íîðìîé ||u||0 è u(x) ∈ B0 . ÑîîòâåòñòâåííîBh − äèñêðåòíîå íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî ñ íîðìîé ||u||h è uh (x) ∈ Bh .ëèáî âèäîì ïðàâîé ÷àñòè. Ïðèíöèïèàëüíî, ÷òîñåòêóÎïðåäåëåíèå. Íîðìû B0 è Bh ñîãëàñîâàíû, åñëèlim ||uh ||h = ||u||0h→−0Åñëè íîðìû íåñîãëàñîâàíû, òî ðåøåíèå ðàçíîñòíîé ñõåìû ìîæåò ñõîäèòüñÿ ê ðåøåíèþ, êîòîðîå íå ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì èñõîäíîé çàäà÷è. Ââåäåì îïåðàòîð ïðîåêòðîâàíèÿÒàêèì îáðàçîì∀u ∈ B0 : Ph (u) = uh ∈ Bh .Ph : B0 →− Bh .Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ðàçíîñòíûõ ñõåì.
Àïïðîêñèìàöèÿ. Óñòîé÷èâîñòü. Ñõîäèìîñòü.78Íàïðèìåð:G = {x : 0 ≤ x ≤ 1}.Gh = xi : xi = hi, i = 0, N , hN = 1, h =1> 0;NPh (u|xi ) : uh (xi ) = u(xi );Bh = {y = (y0 , y1 , . . . , yN )};Ðàññìîòðèì ïðèìåðû íîðì:1.||u||C = maxx∈G |ux | = ||u||0Ñîãëàñîâàííàÿ ñ íåé íîðìà âBh :||y||C = max 0 ≤ i ≤ N |yi | = ||y||h ;R11/2||u||0 = ||u||L2 = ( 0 u2 (x)dx) ,Ñîãëàñîâàííàÿ ñ íåé íîðìà â Bh :2.1/2||y||h = ||u||L2NX=(yi2 h)i=0P2 1/2íå( Ni=0 yi )u(x) ≡ 1, òîãäà:3. Ïîêàæåì, ÷òî íîðìàÎò ïðîòèâíîãî: ïóñòüñîãëàñîâàíà íè ñ îäíîé èç íîðì â1/2NX||uh ||h = (1)=√B0 .N +1i=0Òîãäà,||uh ||h −−→ ∞,h→0÷åãî áûòü íå ìîæåò.Îïðåäåëåíèå.
Ñåòî÷íàÿ ôóíêöèÿ zh (x) íàçûâàåòñÿ ïîãðåøíîñòüþ ðàçíîñòíîé ñõåìû:zh (x) = yh (x) − uh (x), x ∈ GhÎïðåäåëåíèå. Ñåòî÷íàÿ ôóíêöèÿ ψh (x) íàçûâàåòñÿ ïîãðåøíîñòüþ àïïðîêñèìàöèè ðàçíîñòíîé ñõåìû íà ðåøåíèè èñõîäíîé çàäà÷è:ψh (x) = φh (x) − Lh uh (x), x ∈ GhÎïðåäåëåíèå. Ðàçíîñòíàÿ ñõåìà àïïðîêñèìèðóåò çàäà÷ó(1), åñëè:||ψh ||h →− 0, h →− 0.Îïðåäåëåíèå. Ðàçíîñòíàÿ ñõåìà èìååò ïîðÿäîê àïïðîêñèìàöèè k , åñëè ∃M1 > 0, k > 0, êîòîðûå íå çàâèñÿò îò||ψh ||h ≤ M1 hk .hè èìååò ìåñòî îöåíêà:Îïðåäåëåíèå. Äèôôåðåíöèàëüíàÿ çàäà÷à íàçûâàåòñÿ ïîñòàâëåííîé êîððåêòíî, åñëè:1.
ðåøåíèå çàäà÷è ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî,2. ðåøåíèå çàäà÷è íåïðåðûâíî çàâèñèò îòf (x).Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ðàçíîñòíûõ ñõåì. Àïïðîêñèìàöèÿ. Óñòîé÷èâîñòü. Ñõîäèìîñòü.79Îïðåäåëåíèå. Ðàçíîñòíàÿ ñõåìà íàçûâàåòñÿ êîððåêòíîé, åñëè ïðè âñåõ äîñòàòî÷íî ìàëûõh:1.∀φ(x)ðåøåíèå !∃, 2.∀M2 = const > 0, M2íå çàâècÿùàÿ îòh,÷òî:||uh ||h ≤ M2 ||ψh ||h(2)Îöåíêà (2) íàçûâàåòñÿ àïðèîðíîé îöåíêîé è îçíà÷àåò óñòîé÷èâîñòü ðàçíîñòíîé ñõåìû.Çàìå÷àíèå. Ñëåâà è ñïðàâà íå îáÿçàòåëüíî îäèíàêîâûå íîðìû.Îïðåäåëåíèå.
Ãîâîðÿò, ÷òî ðàçíîñòíàÿ ñõåìà ñõîäèòñÿ ê ðåøåíèþ èñõîäíîé çàäà÷è(1), åñëè:||zh ||h = ||yh − uh ||h →− 0, h →− 0Îïðåäåëåíèå. Ãîâîðÿò, ÷òî ðàçíîñòíàÿ ñõåìà èìååò ïîðÿäîê òî÷íîñòè k , åñëè ∃M3 =const > 0è íå çàâècÿùàÿ îòh,÷òî:||zh ||h ≤ M3 hkÒåîðåìà(Òåîðåìà Ôèëëèïîâà). Ïóñòü äèôôåðåíöèàëüíàÿ çàäà÷à êîððåêòíî ïîñòàâëåíà è ñî-îòâåòñòâóþùàÿ åé ðàçíîñòíàÿ ñõåìà òàêæå êîððåêòíà. Òîãäà ðåøåíèå ðàçíîñòíîé çàäà÷èñõîäèòñÿ ê ðåøåíèþ äèôôåðåíöèàëüíîé çàäà÷è ñ ïîðÿäêîì ïîãðåøíîñòè àïïðîêñèìàöèè.Äîêàçàòåëüñòâî.||yh ||h ≤ M2 ||φh ||h||zh ||h ≤ M2 ||ψh ||hM2íå çàâèñèò îò hÄàëåå:||ψh ||h ≤ M1 hk ,M1íå çàâèñèò îò hÏîëó÷àåì:||zh ||h ≤ M1 M2 hk = M3 hk ,M3||zh ||h = ||yh − uh ||h → 0íå çàâèñèò îò hïðèh→0Çàìå÷àíèå.
Ïóñòü ∃v : yh → v : ||yh − vh ||h → 0 ïðè h → 0. Òîãäà:||uh − vh ||h ≤ || − yh + uh ||h + ||yh − vh ||h → 0ïðèÅñëè íîðìà ñîãëàñîâàííàÿ, òî:lim ||uh − vh ||h = ||u − v||0 = 0 ⇒ u ≡ vh→0h→0Ãëàâà VÌåòîäû ðåøåíèÿ ÎÄÓ è ñèñòåì ÎÄÓ1Ïðèìåðû ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøèdudt= f (t, u(t)),u(0) = u0 ;t > 0,(1)u(t) = (u1 (t), u2 (t), .
. . , um (t))Tf (t, u(t)) = (f1 (t, u(t)), f2 (t, u(t)), . . . , fm (t, u(t)))TÐàññìîòðèì ïàðàëëåëåïèïåäR = {|t| ≤ a, |u − u0 | ≤ b}Îïðåäåëåíèå. Ôóíêöèÿ f(t, u) óäîâëåòâîðÿåò â R óñëîâèþ Ëèïøèöà ïî âòîðîìó àðãóìåíòó,åñëè:|f (t, u) − f (t, v)| ≤ L|u − v|,L = constÏóñòü f(t, u) èç (1) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ Ëèïøèöà â R. Òîãäà ðåøåíèå (1) u(t) ñóùåñòâóåòè åäèíñòâåííî ïðè0 < t < T("â ìàëîì"). Ïðîèíòåãðèðóåì ïåðâîå óðàâíåíèå èç (1) è ó÷òåìíà÷àëüíîå óñëîâèå:Ztu(t) = u(0) +f (x, u(x))dx0Íà ýòîì ïðåäñòàâëåíèè îñíîâàí ìåòîä Ïèêàðà:Ztun+1 (t) = u(0) +f (x, un (x))dx,n = 0, 1, .
. .0Ýòîò ìåòîä íå ìîæåò áûòü ýôôåêòèâíûì ìåòîäîì ðåøåíèÿ çàäà÷è (1), òàê êàê èíòåãðàë íå âñåãäà ìîæíî ïîñ÷èòàòü àíàëèòè÷åñêè, äà è ñõîäèìîñòü áûëà áû ìåäëåííîé. Ïîýòîìó äëÿ ðåøåíèÿñèñòåì ÎÄÓ ïðèìåíÿþòñÿ ðàçíîñòíûå ìåòîäû: ïåðâàÿ ãðóïïà ìåòîäîâ - ìåòîäû Ðóíãå-Êóòòà,âòîðàÿ - ìíîãîøàãîâûå ðàçíîñòíûå ìåòîäû (íàïðèìåð, ìåòîä Àäàìñà). Ââåäåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòüωτ :ωτ = {tn = nτ, τ > 0, n = 0, 1, . . . }Ïðèìåð.ßâíàÿ ñõåìà Ýéëåðà.80Ïðèìåðû ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ çàäà÷è ÊîøèÂâåäåì îáîçíà÷åíèÿ:Âûðàçèìyn+181yn = y(tn ), f (tn , y(tn )) = fn .
Òîãäà ÿâíàÿ yn+1 −yn= fn , tn ∈ ωτ ,τy(0) = u0 ;ñõåìà Ýéëåðà èìååò âèä:(2)èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ:yn+1 = yn + τ fnÂñå êîìïîíåíòû â ïðàâîé ÷àñòè èçâåñòíû, òî åñòüu(tn )un .÷åðåçÂâåäåì ïîãðåøíîñòüyn+1|zn | ≤ M τ,M íå çàâèñèò îòÒàêèì îáðàçîì, èìååì ïåðâûé ïîðÿäîê òî÷íîñòè ïîψnìîæíî íàéòè â ÿâíîì âèäå. Îáîçíà÷èìzn = yn − un .τ.τÇàïèøåì ïîãðåøíîñòü àïïðîêñèìàöèèíà ðåøåíèè èñõîäíîé çàäà÷è:ψn = −Ðàçëîæèìun+1â ðÿä Òåéëîðà â òî÷êåun+1 − un+ f (tn , un )τtn .(3)Òîãäà:un+1 − unτ= u0n + u00n + O(τ 2 )τ2Ïîäñòàâèì ïîñëåäíåå âûðàæåíèå â (3):τψn = −u0n + f (tn , un ) − u00n + O(τ 2 )2Ó÷èòûâàÿ, ÷òî−u0n + f (tn , un ) = 0,îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì:ψn = O(τ )Ïðèìåð.Ñõåìà ¾ïðåäèêòîð-êîððåêòîð¿(ñõåìà Ðóíãå-Êóòòà).Îáîçíà÷èìtn + 0.5τ÷åðåçtn+ 1 .2 y 1 −ynn+ 2 0.5τ= f (tn , yn ) ¾ïðåäèêòîð¿,yn+1 −yn=f (tn+ 1 , yn+ 1 ) ¾êîððåêòîð¿,22 0.5τy(0) = u0 ;(4)yn+1 = yn + τ f (tn+ 1 , yn + 0.5τ f (tn , yn ))2Äëÿ äàííîé ñõåìû èìååì:2ψn = O(τ )Ðàññìîòðèì îáùèé âèä äâóõýòàïíîãî ìåòîäà Ðóíãå-Êóòòà:yn+1 −ynτ= σ1 K1 + σ2 K2 ,K1 = f (tn , yn ),K2 = f (tn + a2 τ, yn + b21 τ fn ) = f (tn + a2 τ, yn + b21 τ K1 );(5)Çàïèøåì ïîãðåøíîñòü àïïðîêñèìàöèè (5) íà ðåøåíèè (1):ψn = −un+1 − un+ σ1 f (tn , un ) + σ2 f (tn + a2 τ, yn + b21 τ f (tn , un ))τ(6)Ïðèìåðû ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ çàäà÷è ÊîøèÐàçëîæèìun+182tn .
Òîãäà:τun+1 − un= u0n + u00n + O(τ 2 )τ2f (tn + a2 τ, yn + b21 τ f (tn , un )) â îêðåñòíîñòè òî÷êè (tn , un ):â ðÿä Òåéëîðà â òî÷êåÄàëåå ðàçëîæèìf (tn + a2 τ, yn + b21 τ f (tn , un )) = f (tn , un ) +∂fn∂fna2 τ +b21 τ f (tn , un ) + O(τ2 )∂t∂uÄàëåå:d2 un∂fn ∂fnd+fn= (f (t, un (t))) =2dtdt∂t∂uÏåðåïèøåì òåïåðüψnñ ó÷åòîì ïðîâåäåííûõ ïðåîáðàçîâàíèé:∂fn ∂fn0ψn = − un + 0.5τ+fn+ σ1 f (tn , un ) + σ2 f (tn , un )+∂t∂u∂fn∂fna2 τ + σ 2b21 τ f (tn , un ) + O(τ 2 ) =∂t∂u= −u0n + (σ1 + σ2 )f (tn , un )+∂fn∂fn+ ((σ2 b21 − 0.5))b21 τ f (tn , un ) + O(τ 2 )+τ (σ2 a2 − 0.5)∂t∂u+σ2Ïîòðåáóåì, ÷òîáû áûëè âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:1.σ1 + σ2 = 12.σ2 a2 = σ2 b21 = 0.5(óñëîâèå àïïðîêñèìàöèè)(äëÿ òîãî, ÷òîáû äîñòè÷ü âòîðîãî ïîðÿäêà àïïðîêñèìàöèè)Åñëè âûïîëíåíî òîëüêî óñëîâèå 1, òîÏîëîæèìψn = O(τ ),à åñëè âûïîëíåíû îáà óñëîâèÿ, òîψn = O(τ 2 ).σ2 = σ , a σ1 = 1 − σ , òîãäà óñëîâèå 1 àâòîìàòè÷åñêè âûïîëíåíî.  ïîñëåäíåì ïðèìåðåa2 = b21 = 0.5, σ = 1.
Åñëè âçÿòü σ = 0.5, b21 = a2 = 1,ïàðàìåòðû èìåëè ñëåäóþùèå çíà÷åíèÿ:òî ïîëó÷èì ñèììåòðè÷íóþ ñõåìó:yn+1 − yn= 0.5(f (tn , yn ) + f (tn+1 , yn+1 ))τÎáùèé m-ýòàïíûé ìåòîä Ðóíãå-ÊóòòàÐàññìîòðèì îáùèé m-ýòàïíûé ìåòîä Ðóíãå-Êóòòà:yn+1 − yn= σ1 K1 + σ2 K2 + · · · + σm KmτmXσi = 1 óñëîâèå àïïðîêñèìàöèèi=1K1 = f (tn , yn )K2 = f (tn + a2 τ, yn + b21 τ K1 )K3 = f (tn + a3 τ, yn + b31 τ K1 + b32 τ K2 )...Km = f (tn + am τ, yn + bm1 τ K1 + bm2 τ K2 + · · · + bmm−1 τ Km−1 )Íà ïðàêòèêå ðåäêî èñïîëüçóþòñÿ ìåòîäû Ðóíãå-Êóòòà äëÿm > 4.Ïðèâåäåì ïðèìåðû ðàçíîñò-íûõ ìåòîäîâ Ðóíãå-Êóòòà, èìåþùèõ òðåòèé è ÷åòâåðòûé ïîðÿäîê ïîãðåøíîñòè àïïðîêñèìàöèè.Îöåíêà òî÷íîñòè íà ïðèìåðå 2-õ ýòàïíîãî ìåòîäà Ðóíãå-ÊóòòàÏðèìåð.83Ñõåìà Ðóíãå-Êóòòà ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà.yn+1 − yn1= (K1 + 2K2 + 2K3 + K4 )τ6K1 = f (tn , yn )K2 = f (tn + 0.5τ, yn + 0.5τ K1 )K3 = f (tn + 0.5τ, yn + 0.5τ K2 )K4 = f (tn + τ, yn + τ K3 )Äàííàÿ ñõåìà èìååò ÷åòâåðòûé ïîðÿäîê àïïðîêñèìàöèè ïîÏðèìåð.τ : ψn = O(τ 4 ).Ñõåìà Ðóíãå-Êóòòà òðåòüåãî ïîðÿäêà.yn+1 − yn1= (K1 + 4K2 + K3 )τ6K1 = f (tn , yn )K2 = f (tn + 0.5τ, yn + 0.5τ K1 )K3 = f (tn + τ, yn − τ K1 − 2τ K2 )Äàííàÿ ñõåìà èìååò òðåòèé ïîðÿäîê àïïðîêñèìàöèè ïî2τ : ψn = O(τ 3 ).Îöåíêà òî÷íîñòè íà ïðèìåðå 2-õ ýòàïíîãî ìåòîäà ÐóíãåÊóòòà(dudt= f (t, u(t)),u(0) = u0t>0(1)yn+1 − yn= (1 − σ)f (tn , yn ) + σf (tn + at, yn + aτ f (tn , yn ))τy 0 = u0tn ∈ ωτσ- ïàðàìåòð, â êà÷åñòâå êîòîðîãî ìîæíî âûáèðàòü ëþáîå ÷èñëî, ëèøü áû âûïîëíÿëîñüóñëîâèå âòîðîé ïîãðåøíîñòè àïïðîêñèìàöèè.
Îáû÷íî âûáèðàþòà - íåêîòîðàÿ êîíñòàíòà. Áóäåì ðàññìàòðèâàòüÂâåäåì ôóíêöèþ ïîãðåøíîñòèa ≥ 0,σ ∈ [0, 1].íî, âîîáùå ãîâîðÿ, ýòî íåîáÿçàòåëüíî.zn :zn = yn − u(tn ) = yn − un ⇒(2)zn+1 − znun+1 − un=−+ (1 − σ)f (tn , yn ) + σf (tn + aτ, yn + atf (tn , yn ))ττ(3)Äëÿ ñõîäèìîñòè íóæíî ïîêàçàòü, ÷òî:|zn | → 0,Ïîêàæåì, ÷òî|zn | ≤ M τ 2 ,n→∞ãäå M íå çàâèñèò îòτÎöåíêà òî÷íîñòè íà ïðèìåðå 2-õ ýòàïíîãî ìåòîäà Ðóíãå-Êóòòà84zn+1 − znun+1 − un=−+ (1 − σ)f (tn , un )+ττσf (tn + aτ, un + aτ f (tn , un )) − (1 − σ)f (tn , un )+(1 − σ)f (tn , yn ) − σf (tn + aτ, un + aτ f (tn , un ))+(2)σf (tn + aτ, yn + aτ f (tn , yn )) = ψn + φ(1)n + φnãäå(1)(2)ψn , φn , φnîáîçíà÷åíû ñëàãàåìûå:ψn = −un+1 − un+ (1 − σ)f (tn , un ) + σf (tn + aτ, un + aτ f (tn , un )),τφ(1)n = (1 − σ)(f (tn , yn ) − f (tn , un )),(4)hiφ(2)f(t+aτ,y+aτf(t,y))−f(t+aτ,u+aτf(t,u)).=σnnnnnnnnnÂâåäåì äîïóùåíèå: ôóíêöèÿ f ïî âòîðîìó àðãóìåíòó óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ Ëèïøèöà ñ(1)(2)φn è φn :êîíñòàíòîé L.
Îöåíèì, èñõîäÿ èç ýòîãî äîïóùåíèÿ,|φ(1)n | ≤ (1 − σ)|f (tn , yn ) − f (tn , un )| ≤ (1 − σ)L|yn − un | = (1 − σ)L|zn |,|φ(1)n | ≤ σL|yn + aτ f (tn , yn ) − un + aτ f (tn , un )| ≤≤ σL(|yn − un | + |{z}a τ L|yn − un |) = σL(1 + aτ L)| yn − un || {z }≥0Èç (3)zn⇒(2)zn+1 = zn + τ ψn + τ φ(1)n + τ φn|zn+1 | ≤ |zn | + τ |ψn | + τ (1 − σ)L|zn | + σL|zn | + σaτ L2 |zn | =τ |ψn | + (1 + τ L + τ 2 aσL2 )|zn |σa ≤ 0, 5, çàìåòèâ, ÷òî 1 + τ L + 0, 5τ 2 L2τLôóíêöèè e :Ðàññìîòðèìïî Òåéëîðóÿâëÿþòñÿ ïåðâûìè ÷ëåíàìè ðàçëîæåíèÿ|zn+1 | ≤ τ |ψn | + (1 + τ L + 0, 5τ 2 L2 )|zn | ≤ eτ L |zn | + τ |ψn |Îáîçíà÷èìeτ L = ρ.(5)Ïîëó÷èì îöåíêó:|zn+1 | ≤ ρ|zn | + τ |ψn |(6)Ñîîòíîøåíèå (6) ìîæíî ðàññìîòðåòü êàê ðåêóððåíòíóþ ôîðìóëó. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî:zn+1 ≤ ρn+1|z0 | +nXρn−j τ |ψj |j=0|zn+1 | ≤ max |ψj |0≤j≤nÎêîí÷àòåëüíî, ïîëó÷àåì:nXj=0ρn−j τ ≤ tn+1 eLtn+1 max |ψj |0≤j≤nÌíîãîøàãîâûå ðàçíîñòíûå ìåòîäû85|zn+1 | ≤ M max |ψj |,M íå çàâèñèò îò0≤j≤nτ(7)Âèäíî, ÷òî òî÷íîñòü áóäåò ñîâïàäàòü ñ ïîðÿäêîì ïîãðåøíîñòè àïïðîêñèìàöèè, à èìåííî:1.2.σa = 0, 5 ⇒ ψ = O(τ 2 ) ⇒ |zn | = O(τ 2 ),σ = 0, ∀a ⇒ ψ = O(τ ),ò.å.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
