Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Зима 98-99 Функциональный анализ

ВМиК МГУ,
4 курс, 3 поток
зимняя сессия

Задачи к зачету по функциональному анализу

Лектор – Шишмарев Илья Андреевич

Учебник – красный 

1. Какова мощность всех непрерывных функций на ?

2. Доказать, что подмножество такое, что – замкнутое в .

3. Является ли множество M – непрерывных функций, удовлетворяющих уловию , открытым в ?

4. Доказать, что пространство M – ограниченных последовательностей с метрикой является полным пространством.

5. Пусть A – отображение n-мерного пространства в себя, задаваемое системой линейных уравнений или .
   В пространстве введена метрика двумя способами: а) , б) , где , .
   Доказать, что условие является необходимым и достаточным, чтобы отображение являлось сжатием.

6. Доказать, что любое измеримое множество E на прямой с мерой содержит измеримое подмножество меры q, 0<q<p.

7. Пусть E – измеримое на сегменте и для любого интервала имеет место неравенство . Доказать, что .

8. Пусть и – измеримые подмножества сегмента и . Доказать, что .

9. Может ли открытое неограниченное множество иметь конечную меру?

10. Пусть замкнутое множество имеет конечную меру. Может ли оно быть неограниченным?

11. Доказать, что непрерывные функции на эквивалентны тогда и только когда, когда они равны.

12. Доказать, что непрерывные на измеримом множестве E функции являются измеримыми.

13. Доказать, что если имеет непрерывную производную на сегменте , то производная измерима.

14. Привести пример ограниченной, измеримой функции, не эквивалентной никакой функции, интегрируемой по Риману.

15. Привести пример неизмеримой функции. Доказать, что множество и его характеристическая функция измеримы, или не измеримы одновременно.

16. Будет ли измерима функция на ?

17. Будет ли измерима функция ?

18. Пусть E – неизмеримое множество, на интервале . Будет ли функция измеримой?

19. Привести пример ограниченной функции, разрывной функции, разрывной в каждой точке отрезка интегрируемой по Лебегу. Будет ли эта функция интегрируемой по Риману?

20. Привести пример функции интегрируемой по Лебегу на , но неограниченной ни на каком отрезке .

21. При каких и функция интегрируема по Лебегу на ?

22. Доказать, что если на множестве E и C>0, то функция удовлетворяет неравенству Чебышева:

23. Существует ли интеграл Лебега от на ?

24. Будет ли функция интегрируема по Лебегу на , если

25. При каких и существует интеграл Лебега на от функции .

26. Существует ли интеграл Лебега на от функции .

27. Привести пример последовательности функций, сходящейся по мере на измеримом множестве E, но не сходящейся ни в одной точке множества E.

28. Показать, что из сходимости почти всюду не следует сходимость в среднем. Рассмотреть пример .

29. Показать, что из сходимости в среднем не следует сходимости почти всюду. Пример: , где , определим

30. Показать, что из сходимости почти всюду не следует сходимость в среднем с интегрируемой мажорантой. См. задачу 27.

31. Показать, что из сходимости в среднем не следует сходимость в среднем с интегрируемой мажорантой. Указание: провести доказательство от противного.

32. Показать, что из сходимости по мере не следует сходимость почти всюду. Рассмотрите пример из задачи 28.

33. Показать, что из сходимости по мере не следует сходимость в среднем. Пример: при

34. Показать, что если мера множества E бесконечна, то из сходимости почти всюду не следует сходимость по мере. Пример:

35. Показать, что из сходимости в не следует сходимость в . Пример:

36. Доказать полноту пространства .

37. Будет ли полным пространство многочленов на сегменте , если метрика вводится по формуле ?

38. Доказать, что пространство – сепарабельно.

39. Пусть A – компактное множество в банаховом пространстве X. Доказать, что для любого найдется точка такая, что .

40. Если на метрическом компакте для любых x и y, принадлежащих компакту, то оператор A имеет единственную неподвижную точку. Существенно ли условие компактности?

41. Доказать, что множество непрерывно дифференцируемых на функций x(t) таких, что , где – постоянные, компактно в пространстве .

42. Будет ли компактным множество всех степеней , в пространстве .

43. Доказать, что ен всякое ограниченное множество в матричном пространстве вполне ограничено.

44. Доказать, что в конечномерном пространстве всякое ограниченное множество относительно компактно.

45. Доказать, что следующие функционалы в пространстве являются линейными и непрерывными; найти их нормы.
    а)
    б)
    в)

46. Пусть X – монжество функций f(x), определенных на всей вещественной прямой, каждая из которых равна нулю вне некоторого конечного интервала. Введем норму, полагая . Будет ли пространство X банаховым?

47. Является ли пространство непрерывных на отрезке функций гильбертовым пространством, если скалярное произведение задается следующим образом: ?

48. Показать, что если в гильбертовом пространстве H любая последовательность , слабо сходящаяся к x и такая, что , то последовательность сходится сильно.

49. Доказать, что любой линейный непрерывный функционал в гильбертовом пространстве H достигает нормы на замкнутом единичном шаре.

50. Найти норму оператора A, действующего в пространстве , (или в пространстве ): .

51. Определить оператор и нормы операторов A и , если , где .

52. Определить спектр оператора A, действующего в пространстве .

53. В пространстве задан оператор A:
    а)
    б)
    в)
    Будет ли оператор A компактным?

54. В пространстве задан оператор A: . Доказать, что оператор A компактен, найти его спектр.

55. Привести пример линейных, но не непрерывных функционалов.

Набор by Сергей Титов, 420гр tit@motor.ru

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов ответов (шпаргалок)