Экзаменационные задачки (1159966)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Задачи по функциональному анализу ), Какова мощность всех непрерывных функций на [а, Ь] ? 2. Доказать, что подмножество М с С[0,1) такое, что М = [/(х) ! А < 2(х) < В]-замкнутое в С[О,Ц 3. Является ли м1южество М- непрерывных функций, удовлетворяющих условию А < Дх)< В открытым в С[О,Ц? 4. Доказать, что пространство т - ограниченных последовательностей с метрикой р(х,у) = зцр ! х„, — у;! является полным пространством. 5. Пусть А - отображение п -мерного пространства в себя, задаваемое с системой линейных урав- нений у = Б а;,х„ + Ь„ или Ах = У. В пространстве введена метрика двумя способами; а) р(х,у) = п1ах1х, — у, !, и б) р(х,у) = Б ! Хь — у,(, где х=(х„х„...,х„), у=(у,,у„,у„).

1-1 Доказать, что условие Е ! а„(<и я,1, ] =1,...,п является необходимым и достаточным, чтобы )=! отображение являлось сжатием, 6. Доказать, что любое измеримое множество Е на прямой с мерой ! Е(= р > 0 содержит измеримое подмножество меры д, 0 < д < р.

7. Пусть Е - измеримое на сегменте [О,Ц и для любого интервала Ь имеет место неравенство ! Ег1 Л(< а115'„а <1. Доказать, что ! Е != О, 8. Пусть А, и А, - измеримые подмножества сегмента [О,Ц и ! А, (+! Аз !)1. Доказать, что (А1г-1А1(>0. 9. Может ли открытое неограниченное множество иметь конечную меру? 1О. Пусть замкнугое множество имеет конечную меру. Может ли оно быть неограниченным? 11. Доказать, что непрерывные функции на [О,Ц эквивалентны тогда и только тогда, когда они рав- ны. 12. Доказать, что непрерывные на измеримом множестве Е функции являются измеримыми. ! 3.

Доказать, что если 7 (х) имеет производную на сегменте [а, Ь], то производная / (х) измерима. 14. Привести пример ограниченной, измеримой функции, не эквивалентной никакой функции, интегрируемой по Риыану. 15. Привести пример неизмеримой функции. Доказать, что множество и его харакгеристическая функция измеримы или не измеримы одновременно. 1 16. Булетли измерима функция /(х) = на (О,Ц? х(х — 1) !и, х = ~/ — ран 17. Буде~ ли измерима функция 7' (х) = 1, х — иррац 13. Пусть Е - неизмеримое множество на интервале О,— . Будет ли функция (О, хе()Е У(х) = .

' измеримой? з1пх,хе Е 19. Привести пример ограниченной функции, разрывной в каждой точке отрезка [а,Ь] и интегрируемой по Лсбегу. Будет ли эта функция интегрируема по Риману? я 20 Привести пример функции, интегрируемой по Лебегу на [О,Ц, но небГрФйченной ни иа каком о~резке [а, В] с [0,1], 21. Г!рн каких а и 77 функция 7'"(х) = х' э(п(хд) интегрируема по Лебегу на [О,Ц. -за 1 :1,- 22. Доказать, что если 7"(х) > 0 на множестве Е и С > О, то функция удовлетворяет неравенству Чебышева: ) Е[2 (х) < С11 Ы вЂ” [2 (х)сй. Се 1 23. Существует ли интеграл Лебега от / (х) = на [О,Ц 7 /х /1 — х 24.

Будет ли функция г"(х) интегрируема по Лебегу иа [О,+со), если Г~, х — иррац. числа, „)(х)= 'х О, х — рац. числа. а[ 25. При каких а и р' существует интеграл Лебега иа(~',+сз1, от функции 2 (х) = х 1п х. 26. Сушествует ли интеграл Лебега на [2,+со) от функции ~(х) = 1/ 27. Привести пример последовательности функций, сходящейся по мере на измеримом Е, но не схо- ляшейся ни а одной точке множества Е.

28. Показать„что из сходимости почти всюду не следует сходимости в среднем. Рассмотреть пример: ~п, если 0 < х < 1/и 7.(.)=1 ' [О, длл остальных х. 29. Показать, что из сходимости в среднем не следует сходимости почти всюду. Пример: для любого т+1 1,если —, < х < — „ л = 2" - т, гле О < т < 2 определим ~'„(х) = ' 2' 2" О, для остальных х е Я 30.

Показать, что из сходимости по мере не следует сходимости почти всюду. Рассмотрите пример задачи 29. 31. Показать, ~то из сходимости по мере ие следует сходимости в среднем. Прим р: р име: и и и=2" +т т т+1 2', если — „< х < —, 2" 2' )„(х) = [ т т+11 О, если х и ~ —,— ~2" 2" 32. Показать, по если мера множества Е бесконечна, то нз сходимости почти всюду не следует схо- [1,п<х<л+1 димость по мере. Пример: 2„(х) = [О для остальных х и Я 33. Показать, что из сходимости в Е, [О,Ц не следует сходимост в,[, 1.

Р Р: и Ь ГОЦ. П име: з и'-,хе 7„(х) = О, хк 34. Доказать полнозу пространства С[О,Ц. 35. Б дез лп полным пространство многочленов иа сегменте г, ), е [О,Ц, если мет ика вводится по форму- У Р ле: р(х, у) = пзах)х(() — у(()! 36, Доказать, что пространство ! - сепарабельно. стае Х. Доказать, что для любого х е Х 37. Пусть А - компактное множество в банаховом пространстве . Д найдется точка у ~ А такая, что р(х, А) = )~~х — у)). я любых х, у, принадлежаших компакту, 38.

Если иа метрическом компакте р(Ах, Ау) < р(х, у) для л~ ю точк . С шественно ли условие компактното оператор А имеет единственную иеподвижну у. у сти7 39. Доказать, что множество непрерывно дифференцируемых на 1, ) фу ( (О Ц ф нкций х(г) таких, что ~х(0)!< К, )~ х'(~) ~~ о?г < К,, где К,,К, > О - постоянные, компактно впространст е "„, ). о 40. Будет ли компактом множество всех степеней х", и — 1,2,... пр тр =1,2,...

в ос анстве С(О,П. 4!. Доказать, что не всякое ограниченное множество в метрическом пространстве кггмпАкхда.;--.. А, действующего оператор А компактен, найти его спектр. 53. Привести примеры линейных, но не непрерывных функционалов. 42. Доказать, что в конечно-мерном пространстве всякое ограниченное множество,п .',.-. компактно. 43. Доказать что следующие функционалы в пространстве С1-1,Ц. являются линейными н непре- рывными и найти их нормы: о 1 ! а) г'(х) = — (х( — 1)+х(1)) б) Дх) = )х(!)гй — ')х(г)й в) ~(х) = )гх(г)й 3 -1 о -1 44.

Пусть Х - множество функций ~(х), определенных на всей вещественнои прямои, каждая нз которых равна нулю вне некоторого конечного интервал . д рму, а. Вве ем но мо, полагая ! ф! = гпахфх)~. Будет ли пространство банаховым? 45. Является лн пространство непрерывных на отрезке С(О,Ц. функций гильбертовым пространст- вом, если скалярное произведение задается следующим образом: ( ~', д) = ) / (х) д(х)Ых? о 46. Показать, что если в гильбертовом пространстве Н любая послед ле овательность х , слабо сходя- оэ щаяся к х и такая, что 8х„1-э ~~х~~ (и -+ оа), то последовательность х„сходится сильно. 47.

Доказать, что любой линейный непрерывный функционал в гильбертовом пространстве й достигает нормы на замкнутом единичном шаре. 48. Найти норму оператора А, действующего в пространстве Сг, ) ( С(0 Ц (нли в и ост анстве .Е,,(О,Ц): р р Ах = ь(г). Ф ов А А, если А:1 -+ 1з, где 49.

Определить оператор А и нормы операторов А(х„...,х„,...) = (О,х„...,х„,...). в пространстве 50. Определить спектр оператора и 51. В пространстве С(О,Ц задан оператор А: а) Ах(г) = гх(г) б) Ах(г) = )х(г)Ат в) Ах(г) = х(0) + гх(1). о Будет ли оператор А компактным? 52. В пространстве 1 задан оператор А: А(х„х,...,х„,...) =(,— ',— ~,..., .

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов ответов (шпаргалок)