Лекции Капустина 2 поток 2009 год 36 страниц (1159961), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Если F непрерывна почти всюду, то она измерима. По Теореме (2.8) существует замкнутое множество F : F ⊂ E и |E| = |F |. Рассмотрим любую предельнуюточку множества F [f > a], существует последовательность аргументов, к ней сходящаяся, и соответствующаяпоследовательность значений функции f , сходящаяся к значению f в выбранной предельной точке, так как всеуказанные точки принадлежат множеству F [f > a], то и значение в выбранной предельной точке удовлетворяетнеравенству f > a, следовательно F [f > a] замкнуто, а следовательно измеримо. Таким образом f измерима наF , следовательно и на E.
Утверждение 3.5. Измеримая функция от измеримой функции есть измеримая функция.Теорема 3.1. Пусть f (x) и g(x) измеримы на измеримом множестве E, тогда |f (x)|, f (x) + k, k · f (x)также измеримы и множество E[f > g] измеримо.1) E[|f > a|] = E[f > a] ∪ E[f 6 −a], если a > 0 и равно E, если a 6 0.2) E[f + c > a] = E[f > a − c]aE[f 6 c ], c < 0,3) E[cf > a] = E[f > ac ], c > 0,E[0 6 ac ], c = 0.4) E[f > g] =∞SE[f > rk ] ∩ E[g < rk ], rk ∈ Q.k=1Теорема 3.2. Пусть f (x) и g(x) измеримы на измеримом множестве E, тогда f ± g, f · g и f /g, если g необращается в нуль, измеримы.1) E[f ± g > a] = E[f > a ∓ g]2) f g = 14 (f + g)2 − (f − g)2 , следовательно в силу предыдущего пункта и утверждения (3.5) f g измерима.1E[g > 0] ∩ E[g < a ], a > 0,13) E[ g > a] = E[g > 0],a = 0,E[g < a1 ] ∪ E[g > 0], a < 0.Теорема 3.3.
Пусть fn (x) измеримы на измеримом множестве E, тогда limfn и limfn измеримы на E.• ϕ(x) = inf fn (x) и ψ(x) = sup fn (x) измеримы.nnE[ϕ(x) > a] =nTE[fn (x) > a], E[ψ(x) < a] =k=1nTE[fn (x) < a]k=1• limfn (x) = sup inf fn (x), limfn (x) = inf sup fn (x)n=1 k>nn=1 k>nТеорема 3.4. Пусть fn (x) → f (x) и fn (x) измеримы на измеримом множестве E, тогда f (x) измеримана E. Если fn (x) → f (x), то f (x) = inf fn (x) = sup fn (x), следовательно по предыдущей теореме f (x) измерима.nn8Лекции по Функциональному Анализу (2-й поток, 09/10)PОпределение. Пусть fn (x) и f (x) почти всюду конечны. fn (x) → f (x), если ∀ ε > 0 lim |E[|fn − f | > ε]| = 0n→∞Теорема 3.5. Пусть E – измеримое множество конечной меры и последовательность измеримых почтиPвсюду конечных функций fn (x) сходится к f (x) почти всюду, |f (x)| < ∞(п.н.).
Тогда fn (x) → f (x). Утверждение теоремы неверно для множеств бесконечной меры. En = E[|fn − f | > ε]∞SEk , |En | 6 |Rn |.Rn =k=nПокажем, что |Rn | → 0. R =Rn \ R =∞F∞TRn . Покажем, что |Rn | → |R| = 0.n=1(Rk \ Rk+1 ), |Rn \ R| =∞P|Rk \ Rk+1 |, |R1 \ R| =|Rk \ Rk+1 |. В силу конечности указаннойk=1k=nk=n∞Pмеры ряд сходится, следовательно остаток ряда стремится к нулю.
|Rn \ R| → 0. Rn = Rn \ R ∪ R, следовательно|Rn | = |Rn \ R| + |R| → |R|. Покажем. что |R| = 0.C = E[ ∃ n : |fn (x)| = ∞ или |f (x)| = ∞ или нет сходимости], |C| = 0. Рассмотрим E \ C. Покажем, чтоR ⊂ C. Пусть x0 ∈/ C, тогда в x0 fn (x0 ) → f (x0 ), то есть ∀ ε > 0 ∃ Nε,x0 : ∀ n > N |fn (x0 ) − f (x0 )| < ε ⇒ x0 ∈/En ∀ n > N ⇒ x0 ∈/ Rn ⇒ x0 ∈/ R ⇒ R ⊂ C ⇒ |R| = 0. Замечание. Утверждение теоремы неверно при |E| = ∞.Пример. E = R, fn (x) = I[n,n+1] . Последовательность сходится к нулю п.н., но |E[fn − f > 21 ]| = 1 > 0∀ nЗамечание. Обратное утверждение неверно. Из сходимости по вероятности не следует даже сходимости водной точке.
Пример: "бегущий отрезок".Теорема 3.6. Пусть E – измеримое множество конечной меры и последовательность измеримых почтивсюду конечных функций fn (x) сходится к f (x) по вероятности, |f (x)| < ∞(п.н.). Тогда из fn (x) можновыделить подпоследовательность, сходящуюся к f (x) почти всюду. Существует последовательность номеров n1 , n2 , · · · : Ek = E[fnk − f | > k1 ], |Ek | < 21k .∞∞∞∞STPP116 2n−1→ 0. |Rn | → |R| ⇒ |R| = 0.
Покажем, что вне RRn =Ek , R =Rn , |Rn | 6|Ek | 62kk=nn=1k=nk=nпоследовательность сходится (п.н.):Рассмотрим множество на котором fn конечны x0 ∈/ R ⇒ ∃ n : x0 ∈/ Rn ⇒ x0 ∈/ E k ∀ k > n ⇒ ∀ nk , k >n |fnk (x0 ) − f (x0 )| < k1 , то есть последовательность сходится в точке x0 .
Лекция 4.Теорема 3.7. Пусть на измеримом множестве E определена последовательность измеримых функций{fn (x)} : |fn | < ∞ (п.в.), |f | < ∞, |g| < ∞ (п.в.) иPPfn (x) → g(x) и fn (x) → f (x).(1)Тогдаf (x) = g(x) (п.в.). ∀ ε > 0 E[|f −g| > ε] ⊂ E[|f −fn | > 2ε ]∪E[|g−fn | > 2ε ] и в силу (1) мера событий стоящих справа стремитсяк нулю при n → ∞. Возьмем меру от обеих частей и перейдем к пределу по n, получим, что ∀ ε > 0 |E[|f − g| >ε]| = 0, в силу произвольности ε получаем, что f и g равны на E почти всюду. Теорема 3.8 (Теорема Егорова). E – измеримое множество конечной меры, {fn } – последовательность(п.в.)измеримых почти всюду конечных функций и fn (x) −→ f (x), |f (x)| < ∞ (п.в.).
Тогда ∀ δ > 0 ∃ Eδ ⊂ E :|E| − |Eδ | < δ и fn (x) ⇒ f (x) на Eδ .Теорема 3.9 (Теорема Лузина). Пусть f , заданная на измеримом множестве конечной меры E, измеримая, почти всюду ограниченная функция. Тогда ∀δ > 0 ∃ непрерывная на E функция ϕ(x) :|E[f (x) 6= ϕ(x)]| < δ,и если |f (x)| 6 k, то найдется такая непрерывная функция ϕ(x), удовлетворяющая (2), что |ϕ(x)| 6 k.9(2)Лекции по Функциональному Анализу (2-й поток, 09/10)§4. Интеграл Лебега4.1. Интеграл Лебега для ограниченных функций на измеримом множестве конечноймеры.Определение.T – разбиение. T = {Ek }nk=1 :nFEk = E;k=1Mk = sup f (x), mk = inf f (x);EkEknPST =Mk |Ek | – верхняя сумма по разбиению, sT =nPmk |Ek | – нижняя сумма по разбиению;k=1k=1I = inf ST – верхний интеграл Лебега, I = sup sT – нижний интеграл Лебега.TTОпределение.
Если для измеримой, ограниченной функции f , заданной на измеримом множестве конечноймеры I = I, то говорят, что f интегрируема (суммируема) по Лебегу на E иZI = I = f (x)dx.(1)EnОпределение. ИзмельчениемT назовем разбиение T ∗ = {Ei∗ }mi=1 , T = {Ek }k=1 , если ∀ i =S разбиения∗∗1..m ∃ µ(i) : Ei ⊂ Eµ(i) и Ek =Eiµ(i)=k12Определение. Произведением двух разбиений T1 = {Ei1 }ni=1и T2 = {Ej2 }nj=1l назовем разбиение T , T1 · T2 =12T = {Ei ∩ Ej }Утверждение 4.1.• При измельчении верхние интегральные суммы не увеличиваются, а нижние интегральные суммы неуменьшаются.• Для любых разбиений T1 и T2 sT1 6 ST2 , рассмотрим разбиение T1 · T2 = T , оно является измельчениемобоих разбиений и sT1 6 sT 6 ST 6 ST2Теорема 4.1.
Если функция f (x) интегрируема по Риману на [a, b], то она интегрируема по Лебегу на[a, b] и интегралы совпадают. I R 6 I L 6 I L 6 I R , так как Римановские разбиения являются частным случаем Лебеговских разбиений,следовательно, если I R = I R , то I L = I L и I R = I L = I L = I R Замечание. Существуют функции интегрируемые по Лебегу, но неинтегрируемые по Риману.
Напримерфункция Дирихле.Теорема 4.2. Если функция f (x) измерима на множестве E конечной меры и ограничена на нем, то f (x)интегрируема на E по Лебегу. m, M ∈ R1 : m 6 f (x) 6 M ∀x ∈ E. Разобьем отрезок [m, M ] на систему непересекающихся отрезков:m = y0 < y1 < · · · < yn = M, ∆yk = yk − yk−1 , δ = max ∆yk .
E1 = E[y0 6 f 6 y1 ], Ek = E[yk−1 < f 6 yk ], k =16k6n2..n. yk−1 6 mk 6 Mk 6 yk , умножим все части этого неравенства на |Ek |, просуммируем по k и вычтем изnPвторой части неравенства первую: ST − sT 6∆yk |Ek | 6 δ|E|,при этом 0 6 I − I 6 ST − sT , получаем чтоk=10 6 I − I 6 δ|E|, устремим δ к нулю и получим равенство верхнего и нижнего интегралов. Свойства интеграла Лебега.R1.
1dx = |E|E2.REST = sT = |E| Rαf dx = α f dxEДостаточно учесть, чтоSTα(αST , α > 0=αsT , α < 0.10Лекции по Функциональному Анализу (2-й поток, 09/10)3. f1 и f2 интегрируемы ⇒ f1 + f2 также интегрируема, иR(f1 + f2 )dx =ERf1 dx +ERf2 dxEsup(f1 + f2 ) 6 sup f1 + sup f2 , I f1 + I f2 6 I f1 +f2 6 I f1 +f2 6 I f1 + I f2 EEE4. E = E1 tE2 и E1,2 измеримы, f интегрируема на E1 и E2 ⇒ f интегрируема на E иRf dx =ERf dx+E1Rf dx,E2для доказательства свойства заметим, что для любого разбиения T множества E существуют разбиенияT1 и T2 множеств E1 и E2 соответственно, образующие разбиение совпадающее с T или для которых Tявляется измельчением их объединения , sT1 + sT2 6 sT 6 ST 6 ST1 + ST2 .RR5.
Если f1 > f2 (п.в.) на E, то f1 dx > f2 dx.EE4.2. Интеграл Лебега от неотрицательной измеримой функции на измеримоммножестве конечной меры.(Определение. Срезкой fN положительной функции f (x) назовем функцию fN (x) =f (x),N,f (x) 6 N,f (x) > N.если функция измерима, то и любая ее срезка измерима.Определение. Говорят, что неотрицательная измеримая функция f (x), определенная на множестве E конечной меры, суммируема по Лебегу на E, еслиZfN dx = I.(2)∃ limN →∞EТеорема 4.3. Пусть E =∞FEk , Ek – измеримые множества.
Тогдаk=11. если f (x) интегрируема на E, то она интегрируема и на Ek иRf dx =∞ RPf dx.k=1 EkE2. если f (x) интегрируема на Ek , k > 1, и ряд∞ RPf dx сходится, то f (x) интегрируема на E иk=1 Ek∞ RPRf dx =Ef dx.k=1 Ek1.∞∞n RRSPP• Пусть f ограничена 0 6 f 6 M , Rn =Ek , |Rn | → 0, n → ∞. |E| =|Ek |. f dx −f dx =k=1k=1 Ekk=n+1ERf dx 6 M |Rn | → 0, n → ∞.Rn• Пусть f неограничена.RfN dx =k=1 Ekm RPf dxREkfN dx 6REfN dx 6∞ RPfN dx 6k=1 EkE∞ RP∞ RPRf dx иERk=1 Ekm RPfN dx >k=1 EkEf dx, теперь устремим m к бесконечности:k=1 EkRf dx >E2. Интегрируемость на E следует из того, чтоRf dx, устремим N к бесконечности:fN dx =∞ RPRf dx 6EfN dx устремим N к бесконечностиRf dx >E∞ RPf dx.k=1 EkfN dx.k=1 EkEТеорема 4.4. fR(x) > 0 и интегрируема на измеримом множестве E конечной меры, тогда ∀ε > 0 ∃ δ >0 : Eδ ⊂ E |Eδ | < δf dx < εEδRRRR Из (2) следует, что ∃ N : ∀n > N f dx − fn dx < 2ε ⇒ (f − fn )dx < 2ε .fn dx 6 N |Eδ | < 2ε приEEEδEδRRRεδ < 2N.
f dx = (f − fn )dx + fn dx < ε EδEδEδ11Лекции по Функциональному Анализу (2-й поток, 09/10)Теорема 4.5. f (x) > 0 и интегрируема на измеримом множестве E конечной меры, тогда изRf dx = 0 ⇒Ef = 0(п.в.).∀a > 0 Ea = E[f > a] и 0 =RE∞P|E[f >n=11n ]|Rf dx >f dx > a|Ea | ⇒ |Ea | = 0∀a > 0. E[f > 0] =∞SE[f >n=1Ea1n]6= 0. Лекция 5.Теорема 4.6 (Мажорантный признак суммируемости).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
