Лекции Капустина 2 поток 2009 год 36 страниц (1159961), страница 9
Текст из файла (страница 9)
. . : ||xnk − x|| > ε; как подпоследовательность компактной последовательности {xnk }, а значит она содержит сильно сходящуюся подпоследовательность {xnkl }, а значит исходящуюся слабо. И с одной стороны||xnkl − x|| > ε, а с другой||xnkl − x|| → 0.Пришли к противоречию. Лемма 12.2. A ∈ L(X → Y ), X — банахово, пусть A — вполне непрерывный, тогда A переводит слабосходящиеся последовательности в сильно сходящиеся:wxn −→ x, Axn → Ax.35Лекции по Функциональному Анализу (2-й поток, 09/10) Пусть последовательность слабо сходится к x0 . Тогда нормы элементов этой последовательности ограничены и {xn } , как ограниченная последовательность, оператором A переводится в компактную последовательность {yn }, где yn = Axn .w∀ϕ ∈ Y ∗ ϕ(Axn ) = f (xn ) −→ f (x0 )ϕ(Ax0 )и по предыдущей лемме получаем, что Axn сходится сильно.
36.