Ф.П. Васильев - Методы оптимизации (2002) (1158201), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Она очевидна. Достаточность, Пусть М(а) ф Я и это множество ограничено. Поскольку М(с) с М(а) при всех с < а, то М(с) ограничено при всех с <и а (пустое множество ограничено по определению). Остается рассмотреть случай с > а. Предположим, что при некотором с > а множество М(с) не огра- ничено. Заметим, что М(с) выпукло и замкнуто, что следует из леммы 2.1.1 и теоремы 10. Покажем, что существует вектор е рО такой, что и+те 6 М(с) при всех 2 > 0 и всех и 6 М(с) (направление, задаваемое таким вектором е, принято называть рецессазным направлением неограниченного выпуклого множества).
Поскольку множество М(с) не ограничено по предположению, то существует последова- тельность (и„) 6 М(с) такая, что ]и ]-чсо при й — !оо, Возьмем какую либо точку 66М(с) и построим вектор еь —— (иь — б) х ]иа — б] 1, й = 1, 2,,... По теореме Больцано — Вейерштрас- са из последовательности (еь) можно выбрать подпоследовательность (еь ), сходящуюся к некоторому вектору е, ]е] = 1, Возьмем произвольное 2 > О.
Поскольку 0 < 2/]иь — и] < 1 при всех й ) йо, то в силу вы. пуклости М(с) имеем б + ее, = †=~ + 11 — ††.])и 6 М(с), Й ) уо. Отсюда при й -! со получим и+ |е 6 М(с), так как М(с) замкнуто. В силу произвольности 2 > 0 заключаем, что и+ ее С М(с) при всех 2 > О, Теперь возьмем любую точку и 6 М(с) и покажем, что и+ ее 6 М(с) при каждом 2 ) О. По доказанному б+ ре 6 М(с), р ) О. В силу выпуклости М(с) тогда -(б+ не)+ ! 1 — — /и=и+ те-!- 6М(с) 2 г 2|6 — и! при всех р > 2. Отсюда при р -~ со с учетом замкнутости М(с) получим и+ зе 6 М(с) при каждом 2 > О. Зафиксируем какую-либо точку о 6 М(а) С М(с). В силу построения вектора е тогда е+ |е 6 6 М(с), 2 ) О.
По условию множество М(а) ограничено, позтому луч (и+ се, 2 ) О] пересекает границу выпуклого множества М(а) в некоторой точке, нли, точнее говоря, наидется число то — — зцР(2: и+ те 6 м(а)) такое, что и+ те к м(а) пРи всех 2 > то. это значит, что и+ ее 6 хо, но с > д(о -1- ее) > а ) д(о) для всех 2 ) то. Зафиксируем какое-либо 2 > 2о. Тогда, пользуясь представлением о+ те = Л (и+ — е) + (1 — Л)и, 0 < Л < 1, и выпуклостью функции д(х), имеем д(и+ |е) < Лд(о+(2/Л)е)+(1-Л )у(и), нли д(и+(2/Л) е) ») > (д(и+ те) — д(и))/л + д(о), 0 < л < 1. поскольку д(е+ ге) > д(и), то при л -1+О отсюда 173 172 Гл.
4. ЭЛЕМЕНТЪ| ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА $2. ВЫПУКЛЫЕ ФУНК|(ИИ В ,~ "! Уиражненин получим д(е + (1/Л )е) с со. Тогда найдется число Ло > 0 такое, что д(е + (1/Л)е) > с при всех Л, 0 < Л < Ло. С дРУгой стоРоны, по постРоению вектоРа с имеем е+(2/Л)е Е М(с) или д(е+ (2/Л)е) ( с при всех Л, 0 < Л <!. Полученное противоречие доказывает теорему. С! Отметим, что требование полунепрерывности снизу функции в теореме 17 существенно (см, ниже упражнение 21). 12. Наконец, получим оценку снизу скорости роста выпуклой функции для случая, когда множество точек ее минимума ограничено. Теорема 18. Пусть/(х) — зошуклая функция на Х =Е", /,='ш!/(х) > -оо, Х,= я" =(ее Е": /(и) =/ ) ~ И, причем Х, — ограниченное множество, т, е, суа!естзует такое число л >О, что х, с ь"„=(и ее™: (и — и,)<л), где и„— какая-либо фиксированная точка аз Х,.
Тогда |пп /(и) =со и, багге того, верна оценка !о! со /(и) > )и — и„(-Эдд — "- + /с Уи ф Я, (24) где/и —— |п1 /(и) >/„Гр Я, =(иеЕ": )и — и!=Л). оЕГР г. Доказательство. Возьмем любую точку и Е Я„, Поскольку то с учетом выпуклости /(и) имеем /сн ( /(е) ( ! /(и)-|- (1 — ) /(и,). Отсюда получаем требуемое неравенство (24). Согласно теореме 15 функция /(х) непрерывна на Е", и в силу теоремы 2.!.1 на замкнутом ограниченном множестве Гр Юс она достигает своей нижней грани хотя бы в одной точке. Отсюда и из того, что замкнутые множества Х, и Гр Я„не пересекаются, следует, что /,я >/„.
Тогда из оценки (24) имеем Ош /(и) =со. П !о! о Отметим, что для функции /(и) = !и), и Е Е", неравенство (24) превращается в тождественное равенство. Это значит, что оценка (24) нз классе выпуклых функций является точной, Некоторые другие свойства выпуклых функций и множеств будут рассмотрены ниже. Существуют более широкие, чем выпуклые, класса| функций, которые наследуют некоторые важные свойства выпуклых функций 1774, 8061. Некоторые такие классы приведены ниже в упражнениях 33, 34. 1. при каких а, ь, с функция /(и) = ах + 2ьху+ суэ переменных и = (х, у) е ез будет выпуклой на Ез? Вогнутой на Ез? 2.
Найти области выпуклости и вогнутости функций /(и) = з|п(х+ у+ «), /(и) = э!п(х + + уэ „,2) 3. при каких р, д функция /(и) = херт будет выпуклой (или вогнутой) на множестве х = 2. = (и = (х, у) е е: х > О, у > 0)Р Аналогичное исследование провести для функции /(и) = =хаут«" на х =(и=(х,у,«): х>О,у>0,«>0). 4. Если функция /(и) выпукла, то будет ли выпуклой функция (/(и)(? 5. Если функция /(х1 выпукла на Е™, а А — матрица размера т х и, то функции д(и) = = /(Аи) выпукла на Ь' .
Доказать. 6. Если /|(и), /2(и) выпуклы, то будет ли их произведение выпуклой функцией? Рассмотреть пример /|(и) = и, /2(и) = и . Что изменится, если от функций /|(и), /2(и) потребовать 2 неотрицательности? Или монотонности? 7. Пусть функции /ь(и) выпуклы на выпуклом множестве Х при всех Ь = О, 1,...
и пусть сУществУет пРедел !пп /ь(и) = /(и) или схоДитсЯ Рад ~; /ь(и) = /(и) пРи всех и Е Х. ь а=о Доказать, что функция /(и) выпукла на Х. 8. Выяснить, когда в неравенстве (2) возможно равенство, если /(и) — строго выпуклая функция. 9. Доказать неравенства: а) р; ...х Е ~ (х| 4, + х ) х| > О . * > 0; 1 б)(х ! .! х ) «т -'(х~+,?, Рх"„),х!)0>..ох )О,и,.|; г) ~ (о/!6!<(~ !а/в) (~' !Ь/т) та.,Ь,ЕЖ, 1,+,1=|,Р>|,д>1: д (а ...а )П"'+(Ь! ..Ьт)|/"'<((а|.66|)...(а -1-6,„)) / с/аа ~хО, Ь; >О.
) ' ™ к а з а н йе воспользоваться неравенством (2) для выпуклых функции /(и) = — !и и и>0; /(и) = по, и) О, п) 1; /(и) = и, и >О, /(и)=иг, и >О, р> 1; /(и) =|о(1+с ) при подходящим образом выбранных ап хг, с = 1, .. о т, Выяснить, при каких условиях в этих неравенствах возможно равенство. 10. пусть $ункция /(и), и е е", такова, что /(аи+ (! — а)е) < а/(и) + (1 — а)/(е) при всех и, е е е, а е ж, проверить, что аффинная функция /(и) =< а, и >+6, ае е", 6 е Е Е, удовлетворяет этому неравенству. Существуют ли другие функции, обладающие этим свойством? П.
Для того чтобы функция /х) была строго выпуклой на выпуклом множестве Х, необхо- димо и достаточно выполнения неравенства (4) (а в случае /(х) Е С (Х) — неравенства (б)), 1 которое может обратиться в равенство лишь при и = е. Доказать. 12. Доказать, что если Х вЂ” выпуклое множество, /(х) Е Сз(Х) и неравенство (8) является строгим при всех б Е Ып Х, б ф О, то функция /(х) строго выпукла на Х. Верно ли обратное утверждение? Рассмотреть пример /(х) = х, х е Е . А ! 13. Пусть Х вЂ” выпуклое множество, /(х) выпукла на Х и /(х) Е С (Х). Доказать, что тогда критерий оптимальности (5) равносилен неравенству (/'(и), и — а.,) > 0 при всех и Е Х.
14. Пусть /(х) — выпуклая функция на выпуклом множестве Х, /(х) Е С|(Х) и /, = =|п1/(х) > -со. Доказать, что для того чтобы некоторая последовательность (и ) е Х бы. Х ла минимизирующей, т. е. 1пп /(иь) =/„необходимо и достаточно выполнения условия !!го (/'(иь), и — иь) ) 0 пРи всех и Е Х (сР. с теоРемой 3). ь 15. Пусть строго выпуклая функция /(х) достигает на Е" своей нижней грани, Доказать, что тогда 1пп /(и) = со.
!о! со У к а э а н и е: воспользоваться теоремами 1, 18. 16. Пусть функция /(х) выпукла и полунепрерывна снизу на выпуклом замкнутом множе- стве Х из Е", / >-оо, Х„ф ЕР, причем Х, с Я, =(и Е Х: !и — и)(Л), где и„— какаялибо фиксированная точка из Х„. Тогда /(и) ) )и — ис!-адЛ вЂ” *- + /ь Уи Е Х, и ф Я„, /. где /л = |и| /(и) >/, Гр Я =(и еХ: |и — и)= Л) Доказать, пользуясь схемой доказатель- Г 3, Р ства теоремы 18, 17.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
