Ф.П. Васильев - Методы оптимизации (2002) (1158201), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Из выпуклости д(г) =/(и+ гс) получим /(по+(1 — а)и) = д(а) = = д(а 1-! (! — а) 0) < ад(!) |(! — а)д(0)= а/(ь) ! (1 — а)/(и) при всех а и [0 1[. О Теорема 14. Пусть Х вЂ” выпуклое множество, функция /(х) выпукло но Х. Тогда з любой точке и 6 п' х функция /(х) имеет производные по всем направлениям е 6 ып х. В частности, если сп1 Х ФО, то в точке и с ш! Х сусцествуют производные функции /(х) по всем направлениям е ь Е", [е[ = 1. Доказательство. Зафиксируем какое либо направление е н ЫпХ, [с~= 1, и точку и и и' Х.
Согласно определению 1.10 существует г-окрестность О(и, г) =(и й Е '. [о — и] < е) точки и, такая, что пересечение О(и, г) гс аВХ целиком принадлежит Х. Учитывая, что -е также пРинадлежит Ып Х, можем сказать, что и+ ге 6 Х длЯ всех 1, [г[ < го, 0 < го < г. Это значит, что функция д(1) = /(и+ !е) определена на отрезке [-~, го] и согласно теореме 13 она выпукла на этом отрезке, поскольку ! = 0 — внутренняя точка отрезка [-го, го], то по теореме 1.8.2 существует 'с ос= о пз=.гсв= сихю:-ле= гсс с ьо ! с ьо 4 де Если и 6 Х сс г! Х, то в такой точке у выпуклой фуннции производные по возможным направлениям могут и не существовать — об этом свидетельствует пример 1.8.2, Ю О. Приведенный выше пример 7 показывает, что существование производных по всем направлениям не гарантирует непрерывности функции.
Но для выпуклых функций такая ситуация, оказывается, неаозмоскна, Теорема 15. Пусть множество Х выпукло и 'ш! Х ~!24, Тогда гыпуклпя функция /(х) зо всех внутренних точках множество Х непрерывно. В чостносспк, функция, вьтуклоя ип всем пространстве Е", непрерывно во асек точках. Доказательство. Возьмем произвольные и 6|п1 Х и г >О. По определению внутренней точки существует число б >О такое, что и+5 6Х, и+обсе| йХ для всех А=(А',..., Аь), [6[ < б/и; здесь ес = (О,..., О, 1, О,..., 0), с = 1,..., и — базис в Е".
Поскольку по теореме 14 функция /(х) в точке и имеет производные по направлениям ес, то она непрерывна в этой точке по направлениям ес, с = 1,...,и, Поэтому можно взять число б столь малым, чтобы ]/(и+ай'е ) — /(и)[ < г при всех 14, [6[ < б/п, с = 1,..., и. Тогда, пользуясь неравенством (2), получаем ь /(и-~-6)-/(и) =/(й Е (и+ обсе!)) -/(и) < г, Е (/(и+ой!ос)-/(и)) < г (16) '=с с' = 1 для всех Ь, ]|с[ < б/и.
В частности, для -А, удовлетворяющих неравенству [ — 6[ < б/и, из (16) следует /(и -6) -/(и) < г. Но в силу выпуклости /(х) имеем /(и) = /((и+ 5)/2+(и — А ) /2) < < (/(и+ Ь) + /(и — 6))/2, поэтому /(и) — /(и+ 6) < /(и — А) — /(и) < г. Отсюда и из (16) следуег [/(и 4-5) — /(и)] < з при всех 5, [6[ < б/п. П Заметим, что если !и! Х = сЭ, то, рассматривая лишь точки иэ аЕХ, аналогично можно доказать непрерывность выпуклой на Х функции во всех точках и пи'Х, В качестве базиса (ес), участвусощего в доказательстве, в этом случае нужно взять базис подпространства Ып Х.
В точках и 6 Х соп' Х выпуклая функция может терпеть разрыв — об этом говорит пример 1.8.1. Теорему 15 дополняет доказываемая ниже теорема 6.6. 10. Рассмотрим выпуклые функции на выпуклом множестве Х, принадлежащие классу О' (Х) (см. определение 2.6.3), т. е. гладкие выпуклые функции, градиент которых удовлетс,! воряет условию [/(и) — /'(э)]ч 5[и — э[ 'ти, и 6Х, 5 =сопз1>0, (17) Для таких функций имеют место неравенства 0« /'(и) — /'(и)с и — о >< 5[и — о[з Чи, в й Х. В самом деле, левое неравенство следует из теоремы 4, а правое — из условия (17). Ока- зывается, при |п! Х ф сЗС эти два неравенства можно записать в виде одного равносильного неравенства [24; 234; 525[, полностью характеризующего класс выпуклых функций из С!' '(Х) с данной постоянной 5 > О.
171 170 Гл. 4, ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА 5 2. ВЪ|ПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ Т е о р е м,а 16. Пусть Х вЂ” гь!ауклое множгстго из Е", |п1 Х ф Е1. Для того чтоб . 1,1 и функция /(х) из класса С" (Х) была еьтуклой и удовлетворяла условию (17) с постоянной 6, необходимо и достаточно, чтобы ]/(и) /(!')] «5(/(и) — /(и), и — и) Чи, и 6Х, Из (19) следует нераеенстго ]24] (/(и) — /(и), о — ю) «4]П]и — ш]2 Чи, о, юнХ, (20) Доказательство. Достаточность. Если выполняется неравенство (19), то из него, во-первых, следует, что (/'(и) — /'(о), и — и) ) О, 'ги, и б Х, и выпуклость /(х) гаран- тируется теоремой 4, н, во-вторых, применяя к правой части (19) неравенство Коши — Буна.
ковского и деля на ]/'(и) — /'(о)], получаем условие (17). Из выпуклости /(х) и условия (17) имеем неравенства (18). Таким образом, нз (19) следует (18). Кроме того, из (19) имеем (/ (и) — / (и),о — ш) = (/ (и) — / (и),и — ш) — (/ (и) — / (о),и — и) < < (/ (и) — / (о),и — т) — †]/ (и) — / (о)] = †]Ь / (/ (и) — / (и))— 2 ( )] 4 ] ] 4 1 1/2 2 1 2 1 неравенство (20) установлено. Заметим, что при доказательстве достаточности условие !п1 Х ф р' 21 не использовано.
Необходимость. Пусть функция /(х) выпукла и удовлетворяет условию (17), Тогда, как было показано выше, справедливы неравенства (18). Остается из (18) получить (19). Сначалв рассмотрим случай, когда /(х) 6 Сз(Х). Тогда (19) О((/л(и)6,6) «Цб]2 УибХ (21) прн всех 6 б Е". В самом деле, из неравенств (18) с помощью формулы (2.6,4) в случае и 6 !и! Х имеем 0< (/(и+гб) — /'(и), гб) = г (/г(и+ дед)б, б) < Ь]6] з или 0 < (/л(и+раб ) б, б) < Ь ]6]~, 0 < д < 1, для всех г, ]г] < дз, го > О. Отсюда при г-!+О получим (21) длв точек и 6 ш!Х. Если и 6 ГрХ, то оценка (21) доказывается с помощью предельного перехода от внутренних точек так же, как это делалось при доказательстве теоремы 5. Далее, пользуясь формулой (2.6,5), имеем 1 / (и+ А) — / (и) =Ад, А = ]/г(и-1-25)дт, А =о — и.
(22) о Разумеется,матрица А зависит от и, и, но эту зависимость мы для краткости не будем явно указывать. Согласно (21) 0 < (/ (и + 2Л)б 5) < Ь ]б]2, 0 < 2 < 1, откуда, интегрируя по 2, получаем О < (Аб, 6) < Ь]6]2, 6 6 И". (23) Таким образом, симметричная матрица А неотрицательно определена. Тогда существует симметричная неотрицательно определенная матрица А П~ такая, что (А 1/2)2 = А ]192, 353], Пользуясь оценкой (23) при б = А 1/25, с помощью формул (22) имеем ]/ (и) — / (о)]~=(АЬ, АЬ)=(АА !/25, А /25)~(Ь]АП~Ь]~=А (АЬ, Ь)| Д(/ (и) — / (и), и-о). Неравенство (19) доказано прн дополнительном предположении /(х) с Св(Х). Наметим схему доказательства для случая, когда /(х) 6 С (Х).
Построим последователь- 1 ность функций (/ь(х)), х 6 Х, и последовательность (Хь) строго внутренних и выпуклых подмножеств множества Х таких, что Х = (] Хгн Хь с Хь, 1, й = 1,2,..., для всех й > 1 Ь>1 и всех т > й функция / (х) выпукла на Хь, /,„(х) 6 Сз(Х.), ]/ '(и) — / '(о)] < 5]и — е] длЯ любых и,и еХ, !пп /т(и) =/(и), Йп / '(и)=/'(и) пРи всех и 6Х!. В силУдоказанного тогда ]/ '(и) — / '(о)] < Ь(/ '(и) — / '(о), и — о) при всех и, и 6 Хь н всех т > Й. Отсюда при гп -ч сю получим неравенство (19) на множестве Хь. Далее, при А -ч со убеждаемся в справедливости (19) для всех и, о с 1п1 Х.
Наконец, для граничных точек множества Х (неравенство (19) доказывается с помощью предельного перехода от внутренних точек), Как построить упомянутые последовательности (Хь) и (/ь(х))7 В качестве (Х21 может быть взята последовательность подмножеств всех внутренних точек множества Х, удаленных от границы Х на расстояние не менее чем Зб„, где!!ш бь —— О„б„> бь, > О, й = 1, 2....
В качестве /„(х) могут быть взяты средние функции Стеклова — Соболева [534], например, /ь(х)= ! /(т)ыь(ш — х)дш, ыь(х)=б„"х 1ы(]х]бь !), и" ! где ы(г) = ехр( — 1/(1 — гх)) при ]г] < 1, ы(г) = 0 при ]г] > 1, х = ! ы(г)дг и функция /(х) вне Х доопределена тождественным нулем. С! -! Приведем пример, показыва1ощий, что условие |и! Х у! Ег в теореме 16 существенно ]798]. Пример 8. Рассмотрим функцию/(и)=ху на множестве Х=(и=(х у) 652: у=О).
Так как /(и) тО Чи 6 Х, то ясно, что /(и) выпукла на Х. Далее, /'(и) = (у, х), так что /'(и) =(О, х) чи 6 Х. Возьмем произвольные точки и = (х,О), и =(а,О) 6 Х, и р'и. Тогда ]/ (и)-/ (и)] =]х-а], т. е, условие (17) вь1полнено с Ь = 1. Наконец, здесь ]/ (и)-/ (о)]2 = ]х— - а]2 > Ъ (/ (и)-/ (и), и -и) = 0 Чи, и 6 Х, и ~ о.
Как видим, неравенство (19) не выполняется. Остается заметить, что здесь |п! Х = Я, И. Остановимся на одном замечательном свойстве выпуклых множеств, задаваемых огра- ничениями д(х) < с, где д(х) — выпуклая функция. Т е о р е и а 17. Пусть Хо — неаустое эылуклое замкнутое множество аз Е", функция д(х) выпукла и полунелрерйэна снизу на Хо, пусть М(с) = (и: и 6 Хо, д(и) < с). Тогда для ограниченности множества М(с) лри каждом с необходимо а достаточно, чтобы прк некотором а множество М(а) было непустым и ограниченным. Доказательство. Необходимость.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
