Ф.П. Васильев - Методы оптимизации (2002) (1158201), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Если Х вЂ” замкнутое ограниченное множество из Е", то со Х замк- нуто и ограничено, Доказательство. По условию существует число Л >0 такое, что !и! < Е для всех и Е Х, т. е. Х с З(0, Л) — шар радиуса Л с центром в точке О. Но шар — выпуклое мно- жество. Согласно определению 8 тогда со Х С 3(0, Л), так что !и! ( Л для всех и Е соХ. Ограниченность со Х доказзна. Докажем замкнутость сох. пусть и — предельная точка сох, (иь) е сох н !пп иь — — и.
Ь гь Согласно теоРеме 7 сУществУют точки иь! Е Х, числа аы ~ )О, ! = 1,..., и+ 1, аь! +... ... 4 а!. „„! — — 1 такие, что и„= аь ! иь ! +... + а!. ь „! ид „„!. Заметим, что ~иг„.! < Л, 0 < < аь! < 1 при всех ! = 1,..., п +! н всех й = 1, 2,... Пользуясь теоремой Больцзно — Вей- ерштрасса, сначала из (иь!), (аь!) выберем подпоследовэтельности (и, !), (а„!), сходя- щиеся соответственно к некоторым и!, а!! затем из (иь з), (аз з) — подпоследовательности ! (иьэ) из, (аьз)-чав и т. д., наконец, (иь ь+!)-чи„ч!, (аь „+!) — >а„„!. Тогда нз ч -!- ! ч! иь —— ~; аь иь г,иь чЕХ, аь г>О,т=1,...,п41, 2 аь ! — — 1, пРедельнымпе- реходом прн й„! -чсо получим и = ); сггиг, сг! > О, 2: а! = 1, где и! е Х, т = 1,..., п4 1, в силу замкнутости Х.
Следовательно, по теореме б и Е со Х, что и требовалось. О Заметим, что требование огрзниченности множества Х в теореме 8 существенно. Например, множество Х =(и = (щ у) Е Е: х > О, у = !ух) замкнуто, но соХ = (и = (х, у) Е Ез: х > г. >0,0 < у Е ч'х) гг((0, 0)) незамкнуто. Если Х вЂ” выпуклое, замючутое множество из Ь", то соХ будет замкнутым и без требования ограниченности Х, поскольку в этом случае в силу теорем 5, 6 соХ =Х =Х =со Х. Т е о р е и а 9. Пусть А — произвольное нелустое миогхестзо из Е". Тогда зир(с,а)= зир(с,а)= эир (с,а)= зир (с,а) ЛгсеЕч ьеА еюг ье Л Доказательство.
Поскольку А СА, то зир(с,а) <зцр(с,а). С другой стороны, для л любого а Е А сУществУют а! Е А, (аь) ч а. ПоэтомУ из (с, аь) < зиР(с, а) пРи й -ч со полУчим А (с, а) (зир(с, а) для всех аЕ А. Следовательно, зир(с, а) (зпр(с, а), так что зцр(с, а) = зцр(с, а). А л л л Отсюдв же имеем зир = вир(с, а), Далее, твк как А С со А, то зир(ц а) < зпр(с, а). С другой сел д,л Л елг стороны, для любого а Е со А согласно теореме 6 найдутся а! Е А, а! > О, ! = 1,..., г, а, +... ... + а, =1 такие, что а= 2 а,.аг, Поэтому г=! (с, а) = л,' аг(с, а!) Е л,' а; ьир(с, а) =зир(с, а) г=.! ч=! пел А для каждого а Е со А. Следовательно, зпр(с, а) ( зир(с, а), так что зпр(с, а) = зир(с, а). !3 сел л сох л 4. Приведем условия существования внутренней точки выпуклого множества.
Теорема 1О. Пусть Х вЂ” непустос выпуклое мнозгестзо иэ Е". Длл того чтобы 1и! Х ~ !3!, необходимо и достаточно, чтобы дпп Х = и. Д о к а з а т е л ь с т в о. Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть !п1 Х ~ !Э. Тогда для любой внутренней точки в множестве Х существует г-окрестность 0(в, г) = (и: !и — о) < г), также принадлежащая Х. Отсюда вытекает, что минимальным аффинным многкеством, содержащим множество Х и, следовательно, шар 0(е, г), является все пространство Е".
Это значит, что аЯ Х = Е", дцп Х,= и. Достаточность. Пусть д!шХ=и. Тогда аЯХ =Е" и найдутся точни ио, и!,...,и„Е Е Х такие, что вектоРы и! — и,...,и„— ио — линейно независимы. НатЯнем на эти точки симплекс в в -о Согласно теореме 5 Зч с Х, а по тдореме 6 Зч выпукло. Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений Е (и; — о)*! =и — ио, и ее".
(6) !=! Матрица этой системы А = (и! -ио,..., и -и„), столбцами которой являются линейно независимые векторы и,. — ио, ! = 1,..., и, имеет размеры и х и и невырожденв. Поэтому система (6) для каждого и е Е" имеет и притом единственное решение х = х(и) = (х!(и),..., х„(и)). Иэ известных формул Крамера [192, 353) видно, что функции х,(и) непрерывно (и даже линейно) зависят от и. ь Опираясь на это свойство решений системы (6), покажем, что любая точка ю = ~„аги! .=о симплекса З„при а! > О, ! = О,..., и является внутренней точкой 3„.
В самом деле, для такой в и в точки тг имеем ш-ио — — 2; аги! — 2, аги = 2; а,.(и!-и ). Сравнение с (6) показывает, что а! = х. (ш), ! = 1,..., и, В силу непрерывности хг(и) тогда хч(и) > О, ! = 1,..., и для всех и Е в е О(ю, г) =(и: !и-ш) < з), где е >0 — достаточно мвлое число. Функция хо(и) = 1 — 2" хг(и) ь ! ! также непрерывна, причем хо(ш) = 1 — Л," а! = ао > О. Взяв г > 0 достаточно малым, можем !=1 считать, что хо(и) > 0 для всех и Е 0(щ г).
таким образом, для каждой точки и е 0(щ г) в силу (6) имеем представление и = по+ в + ~; х (и)(и,, -ио) = ~; х (и)иг, где х (и) > О, ~; х (и) = 1. Это означает, что 0(ш г) с 3 . г=! г=о =о Следовательно, ш Е !п! 3„. Отсюда н из включения З„с Х следует, что О(м, г) С Х, т. е. ю Е !п1 Х н !и! Х ф !3!, Г! 5. Выпуклое множество Х =(и = (х у г) Е Ез! хх+ уэ (1, з = 0), представляющее собой единичный круг в плоскости Г= (и = (х, у, х) Е Е: в = 0), не имеет внутренних точек.
Кстати, 3. здесь плоскость Г представляет собой аффинную оболочку множества Х. В то же время, если это множество Х рассматривать лишь относительно плоскости Г (т. е не чпризнвваты точки ЕЗ, лежвщие вне Г), то Х вЂ” единичный круг — конечно же, имеет внутренние точки. Приводимая ниже теорема 11 показыввет, что зто не случайно. Для ее формулировки нэм понвдобится Определение 10. Точка о Е Х называется относительно внутренней точкой мне. жества Х, если существует г-окрестность О(о, г) = (и е Е"; (и — е~ < г) точки в такая, что пересечение О(о, г) г! аб Х целиком принадлежит Х. Множество, всех отйосительно внутренних точек множества Х обозначается через и' Х (иногда обозначают ге!ш1 Х). Например, если Х=(и=(х,у,г)ЕЕз: х +у (Е!,з=О), то г!Х=(и=(х,у,в)ЕЕ ! 3.
аз+у <1,з=О). Если множество Х С Е" имеет размерность и, т. е. д!ш аВХ = и, то понятия внутренней и относительно внутренней точки для множества Х совпздвют и и' Х = !п1 Х. Нетрудно указать множества Х (например, множество, состоящие из двух различных точек Е ), у которых г! Х = ЕГ. Однако для выпуклых множеств верна Теорема 11. Если Х иепустое выпуклое множество из Е", то и' Х непусто, выпукло. при атом если во е г! х, се х, тая =о+а(ъ! — и) е и х лри гсгх а, 0< а < 1.
Если и е и' Х, у Гс г! Х, у Е Х, то тгл — — и + Л (у — и) ф Х ври всех Л >! . До к аз втел ьст во. Можем счйтать, что точка ОЕХ, так какя противном случае вместо множества Х мы рассмотрели бы множество Х вЂ” (о) = (то Е Ев; и = и — о, и е Х), где ив кэкая-либо точна иэ Х. Тогда 0 Е аб Х = Е!и Х вЂ” подпространство в Е". Пусть множество Х имеет размерность 61ш Х = т, ! ( т < и, (в случае и! = О, когда Х состоит иэ единственной точки, утверждения теоремы тривиальны; случаи т = и рзссмотрен в теоремвх 3, 4, 10). Тогда найдУтсЯ такие точки ио, и!,...,и еХ, что вектоРы е! =и! — ио,...,ею =и — и! линейно независимы и образу!от базис э!! Л. Можно дополнить систему е!,..., ех векторами е + !,...
..., е„до базиса Е", причем можно считать, что (ег, е.) = О, ! = 1,..., гп, у' = т+ 1,..., и. В этом базисе вДХ =(и=(и!,...,и") ЕЕ": и~~ = (е,„+г,и) =О,..., и" = (е„, и) =0) = =(и=(х и~~ =О,..., и"=0): хЕЕ™), так что аПХ можно отождествить с пространством 159 $1. ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА 158 Гл. 4.
ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА Э 2. Выпуклые функции " !«, Упражнения .« Е'. Повторив в атом пространстве соответствующие рассуждения из доказательств теорем 3, 4, 1О, убеждаемся в справедливости утверждений доказываемой теоремы. П Теорема !2. Луста Х вЂ” нелустое выпуклое мноясестао из Е" и уеХ, уф и' Х. Тогда существует последовательность (уь), уь й Х, уь е аКХ, й = 1, 2,..., сходящаяся к у. Доказательство. Возьмем какую-либо тачку а с г|Х.
Согласно теореме 11 тогда юл —— а ! Л(у — а) 4 Х при всех Л >!. Кроме того, поскольку аП Х = аП Х, то и у е аПХ и, следовательно, шл еапх, тогда Уь — — юл -— а+ль(У вЂ” и), где ль >1, (ль) 1,— искомаЯ последовательность. П Заметим, что если множество Х не является выпуклым, то утверждение теоремы 12 может оказаться неверным. Например, пусть Х вЂ” множество точек на числовой оси Е, имеющих ! рациональные координаты.
Тогда аП Х = Е ', и л«абая точка у е Е является граничной для Х. 1 Таким образом, Х =Е ', и последовательности (уь) 4 Х, сходящейся к у здесь не существует. Теорема 13. Пусть Х вЂ” выпуклое множество из Е", Тогда г! Х = и Х, Х =г! Х. Доказательство. Возьмем любую точку о е г«Х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
