Ф.П. Васильев - Методы оптимизации (2002) (1158201), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Выпуклая функция, отличная от постоянной, может достигать своей верхней грани на выпуклом множестве лишь в его граничных точках. Доказать. 18. Для того чтобы функция р(и, Х) = |п| (и — е! была выпуклой на Е", необходимо и «ЕХ достаточно, чтобы замыкание множества Х было выпуклым, Доказать, 19.
Пусть Х вЂ” ограниченное множество нз Е". Доказать, что функция б(с, Х) = зцр (с, и) ех переменной с Е Е", называемая опорной функцией множества Х, выпукла на Е". 20. Пусть Х вЂ” выпуклое множество из Е", 0 Е !п1 Х. Доказать, что функция р(и, Х~ = |п1 а, А„= (а; а > 0> и/а Е Х), называемая функцаед Минковского, выпукла на Ь' . е А„ 21. Пусть Х = (и = (х, у): х ) О, у > О) = Ез.
Показать, что функция х>О, у>Оили 0<х<1, у=О, д(и) = >1, у=О, =( выпукла и полунепрерывна сверху, но не является полунепрерывной снизу на Х. Убедиться, 174 Гл. 4. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА что множество М(с) = (и Е Х: д(и) ( с) ограничено при с = 0 и не ограничено при всех с > 0 (ср, с теоремой 17).
Показать, что М(с) не замкнуто при каждом с > О. 22. Множество Х, = (и ЕЕ": дг(и) < с, т = 1, .. » т), где д,(и) — выпуклая функция на Е", будет ограничено при любых с тогда и только тогда, когда Х, ограничено хотя бы при одном значении с = со. Доказать. 23. Пусть Х вЂ” неограниченное замкнутое выпуклое множество иэ Е". Доказать, что 1) для любой точки е е Х существует ненулевой вектор е такой, что луч (и = » ~- те, т > > О) Е Х; 2) если луч (и=о+ те, 1 >0) е Х при некотором ие Х, то луч (и =ю+ те, 1 >О) еХ при всех ю Е Х.
Показать, что требование замкнутости Х существенно для обоих утверждений, рассмотрев множество Х =(и =(х, у): 0 < х < 1) ы((0, 0)). У к а з а н и е: воспользоваться рассуждениями иэ доказательства теоремы 17. 24. Доказать, что функция *'/у, уело [О, у=О выпукла на множестве Х =(и = (х, у): у) 0)и((0 0)) и полунепрерывна снизу нз Х. Убедиться, что /(и) не является полунепрерывной сверху в точке »о = (О, 0), и, более того, показать, что длЯ любого числа А ) 0 сУществУет такаЯ последовательность (иь) Е Х, (иь) » О, что 1!гп /(и„) = А. ь 26. Пусть Х = (и е Ез: Аи < 6) — многогранное множество, функция /(и) выпукла на Х.
Доказать, что /(и) полунепрерывна сверху на Х [6!7, стр. 101]. 26. Пусть функция /(х) выпукла и ограничена сверху на Е" = [и = (и', .. » и») Е Е»ч и' > ) О,..., и» > 0). Доказать, что /(х) монотонна и не возрастает на Е» по каждой переменной. 27. Доказать, что если выпуклая функция /(х) на Е" ограничена сверху, то /(х) постоянна. 26. Пусть /(и) — выпуклая дифференцируемая функция на отрытом выпуклом множестве Иг из Е".
Доквзать, что тогда градиент /'(и) =(д/(и)/ди~, „д/(и)/ди") непрерывен на Иг [617, стр. 263] (см. теорему 6.7). 29. Пусть /(х) — выпуклая функция на выпуклом множестве Х иэ Е". Доказать, что 7(х) удовлетворяет условию Липшица на каждом ограниченном множестве У, замыкание которого принадлежит и Х.[617, стр. 103]. 30. Пусть /(х) — выпуклая функция на открытом выпуклом множестве й' из Е". Доказать, что /(х) почти всюду на И' дифференцируема [617, стр. 262].
31. Пусть Хо — выпуклое замкнутое множество из Е», д(и) — выпуклая функция на Х, Х =(и Е Хо. у(и) < 0). Пусть (иь) Е Хо, (у(иь)) » О. Можно ли утверждать, что (р(иь, Х))-» -»О? Рассмотреть пример Хо — — (и=(х у) ЕЕз: х)91), д(и) =у /х, из =(й, т/й), й = 1,2, 32. Пусть Х вЂ” выпуклое замкнутое множество из Е", /(и) — выпуклая непрерывная фУнкцив на Х, /, > -оо, Х, ф !д. ПУсть (иь) Е Х, (/(иь)) » /,. Можно ли ожидать, Что (р(и., Х„)) »О? Рассмотреть пример Х =(и=(х, у) ЕЕз; х) 1), /(и) = уз/х, иь —— (й, т/й), й = 1, 2, 33. Пусть Х вЂ” выпуклое множество. Функция /(х) называется кзаэиэьшуклой на множестве Х, если /(ах+(1 — а)у) < гпах(/(х);/(у)) Чх,уЕХЧа Е]0, !].
Доказать, что [774; 806]: 1) если /(х) выпукла на Х, то /(х) кваэивыпукла на Х. Показать, что функция /(х) = х квазивыпукла на любом отрезке а( х ( Ь, где а< О, но невыпукла на [а, Ь]; 2) функция /(х) квазивыпукла на Х тогда и только тогда, когда множество Лебега М(х) = = (у е Х: /(у) < /(х)) выпукло при всех х е Х (ср. с теоремой 10); 3) унимодальная функции на отрезке [а, Ь] (определение !.1.7) квазивыпукла на [а, 6]; 4) привести пример кваэивыпуклой функции, имеющей разрывы во внутренних точках множества Х (ср, с теоремой 15); 5) будет ли сумма двух кваэивыпуклых функций квазивыпуклой? Рассмотреть пример: /!(х) = х, /з(х) = -Зх, х Е Х =Е; 6) если /(х) Е С'(Х), то /(х) кааэивыпукла на Х тогда и только тогда, когда для всех х, у Е Х, для которых /(х) (/(у), справедливо неравенство (/ (у), у — х) > 0; 7) привести пример квазивыпуклой функции, для которой выполнение неравенства (5) не гарантирует, что х, е Х,; 8) можно ли утверждать, что точка локального минимума квазивыпуклой функции /(х), х Е Х, является точкой ее глобального минимума на Х? Рассмотреть пример; /(х) = 0 при ]х] ( 1, /(х) = — (х+ 1)з при х < — 1, /(х) = (х — 1)з при х > 1, Х = Е!.
34. Пусть Х вЂ” выпуклое множества. Функция /(х) Е С (Х) называется псеадоэыпуклой 1 на Х, если для всех х, у Е Х, для которых (/'(х), у — х) ) О, справедливо неравенство /(у) > > /(х) (ср, с и. 6 упражнения ЗЗ). Доказать, что [315; 774; 806]: !) если /(х) выпукла на Х, /(х)Е С (Х), то /(х) псевдовыпукла на Х.
Указание; воспользоваться неравенством (4): (/'(х), у — х) (/(у)-/(х) тх, у Е Х. Показать, что функция /(х) = — хз, хе Х = (х е Е; х < О) псевдовыпукла, но невыпукла на Х; 2) если /(х) псевдовыпукла на Х, то /(х) квазивьшукла на Х. Показать, что функция /(х) = — хз, х е х = (х е е : х < О) квааивыпукла, но не является псевдовыпуклой на х; 1. 3) если /(х) псевдовыпукла на Х, то для того чтобы х„ Е Х„, необходимо и достаточно, чтобы (/'(х,), х — х,) > 0 тх Е Х (ср, с теоремой 3 и с п.
7 упражнения ЗЗ); 4) всякая точка локального минимума псевдовыпуклой функции /(х) на Х является точкой ее глобального минимума на Х (ср, с теоремой ! и с п. 8 упражнения 33); 5) будет ли сумма двух псевдовып]клых функций псевдовыпуклой? Рассмотреть пример: /!(х) = х + х, / (х) = — х, х с Х = Е; 6) функция /(х) псевдовыпукла на Х тогда и только тогда, когда для всех х, у Е Х, для которых /(у) ( /(х), справедливо неравенство (/'(х), у — х) < 0; Т) если /(х) псевдовыпукла на Х С Е, то /(х) — унимодальная функция (определе- ние 1.1.7).
Верно ли обратное утверждение? 8) дробно-рациональная функция /(х) =, ай -Ьс ~0, псевдовыпукла на любом отрезах+ Ь *Ей' д, ке [а, 6], не содержащем точку х = — —; 9) для гладких выпуклых функций йз (4) следует двойное неравенство (/'(х), у — х) (/(у) — /(х) < (/'(у), у — х) т'х, у Е Х.
Автор полагает, что левое из этих неравенств подсказывает определение псевдовыпуклой ункции, а правое — определение кваэивыпуклой функции (в форме и, б упражнения 33). одумайте над этим эвристическим соображением. 35. Пусть /(х) е С!''(Е") (см, определение 2.6,3). Доказать, что [234; 525]; — !и! /(х) (/(х) — ~ ]/'(х)] Чх Е Е". (25) У к а з а н и е; в неравенстве (2.6,7) принять х = у — т-/ (у). 1 36. Пусть функция /(х) Е С' '(Е') и выпукла на Е". Доказать, что [234; 525]: — ]/(х) — /(у)] </(х) — /(у) — (/'(у),х — у) Чх,у ЕЕ".
(26) Указание: з функции д(х) =/(х) — /(у) — (/'(у), х — у) применить неравенство (25); убедиться, что д, = !п1 д(х) = д(у) = О. Сравните неравенство (26) с (4). *ее" 37. Для выпуклых функций /(х) Е С!' '(Е») доказать неравенство (19), опираясь на нера- венство (26) [234; 525]. У к а з а н и е; в (26) поменять ролями х, у и сложить получившееся неравенство с (26). 38, Остается ли верной теорема 5, если функция /(х) в некоторых точках множества Х не имеет второй пооизводной, но непрерывна в них? Рассмотреть примеры: /(х) = (]х] — 1)з, /(х) = — ]:с], х Е Е 39.
Доказать, что каждая дважды непрерывно дифференцируемая функция /(х) на ком- пактном множестве представима в виде разности двух выпуклых функций. Указание; рассмотреть функции /!(х) = /(х) + ах, /з(х) = ах, где а достаточно большое положитель- 2 2 ное число, 40. Доказать, что всякая непрерывная функция на компактном множестве является пре- делом равномерно сходящейся последовательности функций, представимых в виде разности двух выпуклых функций. б 2. ВЪ!ПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ 175 З!л . 176 Гл. 4.
ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА $3. СИЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ 177 4$. Пусть функция У(х) конечна и выпукла на Е", множество Х непусто и выпукло, (х д— произвольная последовательность из Е", для ноторой !пп р(хь,Х) = О. Дояазать, что тогда дгл У(хь) > У, = сп! У(х) [851. ех 42. Пусть Х вЂ” выпуклое замкнутое множество нз Ь'", функция 7(х) выпукла и полуиепрерывна сниау на Х, пусть Г > — оо, Х, ~ Ес, Х, — ограничено. Тогда для Чо > О мно>иество ЛГ(У, 4 о) = (х е Х: 7" (х) < У„Ч- и) огранйчено и каждая минимизирующая последовательность (хс) сходится к Х„, Доказать. У к а з а н и е: воспользоваться теоремой )7. й 3. Сильно выпуклые функции 1. Непрерывная выпуклая функция на выпуклом замкнутом множестве может не достигать своей нижней грани на этом множестве.
Например, если У(х) = 1/х, Х = (х Е Е: х > 1), то У, = !и[ Ух) =О, но У(х) > 0 при всех х Е Х. Однако можно выделить подкласс выпуклых функций, для которых подобная ситуация невозможна. О п р е д е л е н и е 1. Функция У(х), определенная на выпуклом множестве Х, называется сильно выну~лай на Х, если существует постоянная х > 0 такая, что У( +(1 — ) ) < У( )+(1 — )У( ) — 2а(1 — «г)х!и — е[в (1) при всех и, е Е Х и всех «т, 0< «г < 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
