Ф.П. Васильев - Методы оптимизации (2002) (1158201), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Пусть Х =(х: х ЕЕ", ]х~ < 1) — и-мерный единичный шар; пусть Г(х) = ~ х] при 0 < [х] < 1 и ДО) = а. Тогда при а < 0 функция Дх) будет полунепрерывна снизу на Х; при а > 0 — полунепрерывна сверху на Х; при а = 0 — непрерывна на Х. Пример 2.
Пусть Х=(х: хЕЕ), — 1<х<1); Г(х)=х при О<х<1; ,Г(х) = 1 — х ( — 1 < х < 0); Г(0) = а. Нетрудно видеть, что при а < 0 эта функция полунепрерывна снизу на Х; при а> 1 — полунепрерывна сверху на Х, а при 0 < а< 1 в точке х =0 она не будет полунепрерывной ни снизу, ни сверху. ф 1, ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. ТЕОРЕМА ВЕВЕРШТРАССА Гк 2. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЭКСТРЕМУМА 49 Пример 3.
Пусть и=(х,у)еЕ~; Т(и)=х'+у~ при х>0, у>0; Г(и)=О при х<0, у>0; Г(и)=1 при х>0, у<0; Г(и)= — 1 при х<0, у<0, Нетрудно показать, что эта функция на множестве Х, = ((х, у): х > О, у > О) непрерывна; на Х, = ((х, у): у > 0) полунепрерывна снизу; на Х, = Нх, у): х < 0) полунепрерывна сверху; на Х4 — †((х, у): х > 0) в некоторых точках полунепрерывна снизу, в некоторых — сверху. Установим связь между свойством полунепрерывности снизу функции и замкнутостью множеств М(с)=(х: хе Х, !(х) < с), с =сонэ!, называемых множествами Лгбега функция г" (х) на множестве Х. Лемма 1.
Пусть Х вЂ” замкнутое множество из Е . Тогда для того, чтобы функция Т(х) была полунгпргрызна снизу на Х, необходимо и достаточно, чтобы множгстзо Лгбгга М(с) было замкнутым при всех с (пустое множество считается замкнутым по определению). В частности, если Т(х) полунгпрерызна снизу на Х, то множество Х, точек минимума Т(х) на Х замкнуто. Доказательство. Необходимость. Пусть Г(х) полунепрерывна снизу на Х. Возьмем произвольное число с.
Пусть М(с) ~И. Возьмем какую-либо предельную точку гз множества М(с). Тогда существует последовательность (х„) Е М(с), сходящаяся к гг. В силу замкнутости Х точка ю е Х. Из того, что Г(х„) < с (й = 1, 2,...), с учетом полунепрерывности снизу г" (х) в точке и имеем Г(го) < 1ипг" (х ) < с, т. е. и е М(с).
Замкнутость М(с) доказана. В частности, множество А', =(х: хе Х, Г(х) <~„=!п1Т(х)) замкнуто. Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть для некоторой функции Т(х) множество М(с) замкнуто при любом с. Возьмем произвольные г > О, х е Х и последовательность (хь) е Х, сходящуюся к точке х. Пусть Вгп Т(хь) = а = = !пп Т(х„). Тогда Т(х„) < а+а, т, е. хл е М(а+ э) для всех достаточно больших номеров к . Но М(а+э) замкнуто по условию, а точка х является пределом для (х„). Следовательно, х е М(а+ г), т. е. Г(х) < а+ г. В силу произвола г > 0 отсюда имеем Г(х) < а= !пп Т(хь).
П Установим одно интересное свойство расстояния от точки до множества, Л е м м а 2. Пусгпь Х вЂ” произвольное непустое множество из Е". Тогда расстояние р(х, Х) = ш! р(х, и) от точки х до множества Х как вчХ функция переменной х непрерывна на Е" и, более того, удовлетворяет условию !р(х, Х) — р(у, Х)! < р(х, у) Чх, у Е Е". Дока зат ел ь ство. Прежде всего из р(х, ю)=!х — и(>Он р(х, Х) < < )х — ю) (ю е Х) следует, что функция р(х, Х) неотрицательна и конечна во всех точках х е Е", Возьмем произвольное число г > О. По определению нижней грани (см. определение 1.1.3) для любых х, у е Е" найдутся точки х„у, е Х такие, что р(х, Х) < р(х, х,) < р(х, Х)+ г, р(у, Х) < р(у, у,) < р(у, Х)+ г Поскольку р(х, Х) < р(х, у,), то с помощью неравенства треугольника р(х, у,) < р(х, у) + р(у, гА) ймеем р(х, Х) — р(у, Х) < р(х, у,) — р(у, у,) + + г < р(х, у) + г.
Аналогично получается неравенство р(х, Х) — р(у, Х) > > р(х, х,) — г — р(у, х,) > — р(х, у) — г. Объединяя два последних неравенства, имеем !р(х, Х) — р(у, Х)! < р(х, у) + г. Отсюда при г — ~ +О получим требуемое неравенство.П 4. Перейдем к формулировке теоремы Вейерштрасса. Т е о р е м а 1. Пусть Х вЂ” компактное множество, а функция Т(х) определена, конечна и полунгпргрызна снизу на Х.
Тогда Г. = !и! Т(х) > х > — оо, множество Х,=(х: хеХ, !'(х)=Т„) непусто, компактно и любая минимизирующая последовательность сходится к Х,, До к а з а т е л ь с т в о. Возьмем произвольную минимизирующую последовательность (х ): х„Е Х (Е = 1, 2,..., !пп Г(х„) = Г,). Существование ь хотя бы одной такой последовательности следует из определения 1.1,3 нижней грани функции.
Так как Х вЂ” компактное множество, то (х„) имеет хотя бы одну предельную точку и все ее предельные точки принадлежат Х. Возьмем любую предельную точку х, этой последовательности. Тогда существует подпоследовательность (х, ), сходящаяся к точке х„. Пользуясь свойством нижней грани Г, и полунепрерывностью снизу функции Т" (х) в точке х„ имеем ,Г. < Г(х„) < 1пп Т(хь ) = !пп !(х ) =г„, т, е. !'(х,) = Т,.
Отсюда следует, что г"„> — оо, Х, ~ О. Более того, показано, что любая предельная точка любой минимизирующей последовательности принадлежит Х,, Покажем, что Х. компактно. Возьмем произвольную последовательность (е,) Е Х,. Так как (ьь) е Х вЂ” компактное множество, то существует подпоследовательность (о„), сходящаяся к некоторой точке о, е Х. Но (е„)— минимизирующая последовательность, так как Т(о,) = Т", (й =1, 2,...). По вышедоказанному тогда о. е Х,. Компактность Х„установлена. Покажем, что любая минимизирующая последовательность (х„) сходится к Х,.
Так как р(х„Х,) = !и! р(х„, х) > 0 (к = 1, 2,...), то ясно, что *лх, 1!гп р(х„Х)>0. Пусть !пп р(х„, Х)=!!ш р(х,, Х)=а< оо. В силу компактности Х из (хь ) можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся к некоторой точке х., Не умаляя общности, можем считать, что сама последовательность (х„ ) сходится к х,. Согласно лемме 2 функция р(х,Х,) непрерывна по переменной х, поэтому 1!гп р(х,,Х„) = р(х„ Х,) = а.
Одпако по доказанному х, е Х„. Тогда а = р(х„,Х.) = О. Это значит, что !!ш р(х„,Х„) = 1пп р(х„,Х.) = О. Следовательно, предел !!гп р(х„,Х.) сую ~о л со й ществует и равен нулю. Теорема 1 доказана. П Предлагаем читателю рассмотреть функции, а также множества, из примеров 1 — 3 (см. также примеры 1.1.1 — 1.1.5) и проверить, в каких случаях условия теоремы 1 выполнены и, следовательно, нижняя грань достигается, в каких случаях она не достигается и в каких случаях нижняя грань достигается несмотря на то, что условия теоремы 1 нарушены. 5. Заметим, что в теореме 1 условие компактности множества Х является довольно жестким.
Например, такие часто встречающиеся на практике множества, как Х = Е" — все пространство или Х = (х: х' > О,..., х" > 0)— $1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. ТЕОРЕМА ВЕЙЕРШТРАССА 51 50 Гл. 2. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЭКСТРЕМУМА у(х) — г зар, х е Х. чаз *, !ап у(хь) =со. Упражнения неотрицательный ортант, не являются компактными. Приведем две теоремы, в которых компактность множества Х не предполагается, но зато функция, кроме полунепрерывности снизу, удовлетворяет некоторым дополнительным требованиям.
Т е о р е м а 2, Пусть Х вЂ” непустое замкнутое множество из Е", функция у(х) конечна, полунепрерывна снизу на Х и для некоторой фиксированной точки и е Х множество Лебега М(и)=(х: хЕХ, у(х)<у(и)) ограничено. Тогда у. > — оо, множество Х„непусто, компактно и любая минимизирующая последовательность (хь), принадлежащая М(и), сходится к Х,. Доказательство. По определению множества М(и) имеем: у'(х) > > у(и) при всех х Е Х 1,М(и) и у(х) < у(и) при всех х Е М(и). Это значит, что на Х ! М(и) функция У(х) не может достигать своей нижней грани на Х и для доказательства теоремы достаточно рассмотреть функцию у(х) на множестве М(и).
Замкнутость множества М(и) вытекает из леммы 1. Из ограниченности и замкнутости М(и) следует его компактность. Применяя теорему 1 к функции у'(х) на М(и), получим все утверждения теоремы 2. Попутно установили, что Х, с М(н). П Заметим, что в теореме 2 утверждается сходимость к Х, только тех минимизирующих последовательностей х, которые принадлежат М(и). Если )'(и) > у„то условие (х„) е М(и) можно не оговаривать, так как в этом случае для любой минимизирующей последовательности (хь) найдется номер Й такой, что у(хь) < у(и) для всех Й > Йо, т.
е. х Е М(и) при Й ~ )Й . Если же у'(и) = У„то Х, = М(и) и, как видно из примера 1.1.5, в этом случае могут существовать минимизирующие последовательности, которые не принадлежат М(о) и не сходятся к Х„. Т е о р е м а 3. Пусть Х вЂ” непустое замкнутое множество из Е", функция у(х) конечна, полунепрерывна снизу на Х и для любой последовательности (хь)Е Х, !ап )хь! =оо (если такие хь сУЩествУют) имеет место соотношение Тогда у, > — оо, множество Х, непусто, компактно и любая минимизирующая последовательность (х ) сходится к Х,.
Доказательство. Если множество Х ограничено, то все утверждения теоремы следуют из теоремы 1. Поэтому пусть Х не ограничено, т. е. существует хотя бы одна последовательность (ьь) е Х такая, что !пп !иь! = со. Тогда согласно условию теоремы 1пп у(иь) = оо. ВозьЬ ьч Ь чч мем какую-либо точку и е Х такую, что у(и) > У, (например, можно принять и = ив при достаточно большом Й), и рассмотрим множество Лебега М(и) = (х: х е Х, У(х) < у'(и)). Покажем, что М(и) ограничено. Допустим противное: пусть существует последовательность (юь) е М(и) такая, что Ьп !тгь! =со.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
