Ф.П. Васильев - Методы оптимизации (2002) (1158201), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Тогда 1пп у(тпь) = со, что противоречит неравенству У(игь) < )(и) < оо, вытекающему из включения юь е М(и) (Й = 1, 2,,), Таким образом, множество М(п) ограничено. Отсгода и из теоремы 2 следуют все утверждения теоремы 3. О С л е д с т в и е 1. Пусть Х вЂ” непустое замкнутое множество из Е", Тогда для любой точки х е Е" найдется точка и = и(х) е Х такая, что р(х, Х)= 1и( !х — ш/=!х — и(х)/, т. е. и(х) — ближайшая к х точка из Х. шех До к а з а т е л ь с т в о. Пусть х — произвольная точка из Е".
Рассмотрим функцию д(ю) = !и — х! переменной ю е Е". Ясно, что д(тп) непрерывна на Е . Кроме того, д(иг) > )в! — (х!, так что !пп д(тг) =со. Таким )и! образом, д(иг) удовлетворяет условиям теоремы 3 на любом непустом замкнутом множестве Х С Е". Существование искомой точки и = и(х) теперь следует непосредственно из теоремы 3. Заметим, что такая точка и(х), вообще говоря, неединственна. П 6.
В заключение кратко остановимся на задаче максимизации функции у'(х) на множестве Х. Для обозначения этой задачи также будем пользоваться символической записью Так как зар у"(х) = — !п(( — у(х)) для любого множества С с Х, то ясно, чес ясс что любая точка локального или глобального максимума, а также любая максимизирующая последовательность для функции у(х) на множестве Х будет соответственно точкой локального или глобального минимума или минимизирующей последовательностью для функции ( — у(х)) на Х. Это значит, что любая задача максимизации функции У(х) на Х равносильна задаче минимизации функции ( — у'(х)) на том же множестве Х, Поэтому можно ограничиться изучением лишь задач минимизации. Предлагаем читателю, пользуясь указанной связью между задачами минимизации и максимизации, по аналогии с п.
2 сформулировать задачи максимизации первого и второго типов. Далее, учитывая, что полунепрерывность сверху функции у (х) равносильна полунепрерывности снизу функции — у(х), нетрудно сформулировать и доказать аналоги теорем 1 — 3 для задач максимизации. Для примера приведем формулировку теоремы Вейерштрасса, являющуюся аналогом теоремы 1.
Т е о р е м а 4. Пусть Х вЂ” компактное множество, а функция у(х) определена, конечна и полунепрерывна сверху на Х. Тогда у' = = зарУ(х) <+со, множество Х* =(х: х е Х, У(х) = у") непусто, комх пактно и любая максимизируюи!ая последовательность сходится к Х'. !. Выяснить, будет ли произвольная минимизирующая последовательность сходиться к мно. жеству точек минимума $ункции У(и) на множестве Х, если: а) Х=(и=(х,у)ек, х>0, у>0, хЧ-2у(1), у(и)=х+у; б) Х = Ь'", У(х) = !х!$1+ !х! ) ', в) Х=Е",У(х)=!х!.
2. Пусть Х вЂ” замкнутое множество из Е", функция у(х) полунепрерывна снизу на Х, У,= |п( у(х)>-со, М =(хеХ; у(х) <у,+о).доказать, что если множество М, ограничено при некотором о > О, то Х, = (х е Х: Пх) = й) непусто, компактно и любая минимизирующая последовательность сходится к Х„ (ср. с теоремой 2). Если множество М„ неограничено при всех о > О, то возможны случаи, когда Х„ = И или Х, ф Я и неограничено, или Х, ф Я ограничено, но существует минимизирующая последовательность, которая не стремится к Х,. 52 Гл. 2. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЭКСТРЕМУМА У 1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ТЕОРЕМА ВЕИЕРШТРАССА 53 Рассмотреть функцию 7(х)=ж на множествах Х<-— (ж=(ж, ж )еЕ: х ) е ), Хг— - (ж= 2 г 2. г = (х!, жг) е Ег: О ( жг < 1), Х = Х! 12 (ж = (О О)). 3. Доказать следующие свойства верхнего и нижнего пределов числовых последовательностей: а) От са =с 11т а, 11т са =с 11т ай, 11т ( — сай)= — с Ет а, 11т ( — сай) = б) если ай < Ьй (а=1,2,...), то 11т ай < От Ьй, !1т а ( 11т Ьй.
Можно ли утверждать, что Огп а ) От Ь ? Рассмотреть пример: ай =(-1)", а=!,2,..., Ьй =0 при п=2й, й Ьп = — 2 при а=26 — 1, 6=1,2,.,4 в) От а + [Гт Ь < 11т (а +Ь ) < 1нп ай+ 11т Ьй. Рассмотреть пример,ай=(- )", й й й оо и оо й й ° й оой Ьй = ( — 1)й или Ьй = (-1)" т ' и убедиться, что здесь возможны строгие неравенства; г) 11т а + 11т Ь < 11т (а + Ь ) < 1!т а + 11т Ьй. Привести примеры последова— й й и й й о й' й о й оо и о тельиостей, когда здесь возможны строгие неравенства; д) если сУществУет йп а, то 11т (айэбй)= 1нп айэ 11т Ьй, 11т (ай+Ьп)= Огп айе й й й, й' — й + 11т Ь„; 11т а 11т 6 ( 11т а 6 < 1!т а 11т Ьй, Привести примеры последовательностей, когда и т пп тп — и и пп т здесь возможны строгие неравенства; ж)если ай>0, Ь„>О~п=!,2,...) нсуществует 1пп ап,то 1пп айЬй= 1нп а !пп Ьй, 4.
Найти верхний и нижний пределы последовательности ай = Ми па, где а — фиксированное число. 5. Пусть 7(ж) = (1 — е 1*1) ! (х ф 0). Как надо доопределить эту функцию при ж = О, чтобы она стала полунепрерывной снизу или сверху на Е = И? 1 в. пусть 7!(ж), 72(ж) — две функции, полунепрерывные снизу на множестве х, Вудут ли полунепрерывными снизу на Х следующие функции; а) 1(х) = а!Ь(х) + агуг(х) (рассмотреть случаи положительных и отрицательных сг„а ); б) 7(х) = т1п(Уг(х); Уг(ж)); в) 7(х) = тах(У~(ж); 72(х)); г) у(ж)= [.?,(х)[? т.
Пусть функция 7(х) определена на множестве Х. Говорят, что число А является нижним верхним[ пределом этой функции а точке о по множеству Х и обозначают 11т У(ж) = А о 1пп г"(х) = А1, если; и о а) для любой последовательности (хь) е Х, сходящейся к о, имеет место неравенство йт У(жа) З А ~ йт У(хь) ~ (А~; Ь о б) существует последовательность (хь) е Х, сходящаяся к и и такая, что 1пп У(жь) = А. Ь оо доказать, что функция у(х) полунепрерывна снизу [сверху[в точке о, если !ип 7(х) ) 7(о) ~ 1цп 7(х) < У(я)~.
8. Пусть Х = Ей, 7(х) = 2!я(я[а[ ') при а~О и 7(0) = а, При каких а эта функция будет полунепрерывна снизу или сверху на Х? Найти 1пп 7(ж), Огп 7(х), "!то изменится, если Х =(ж: [ж! = и ', п=!,2,...)? 9. Показать, что понятия верхнего и нижнего предела функции в точке обладают свойст. вами, аналогичными свойствам верхнего и нижнего предела числовых последовательностей, приведенных в упражнении 3. 10. Пусть Х С Ей — произвольное множество, Х вЂ” замыкание Х (см, определение 4.1.5), функция У(х) непрерывна на Х. Доказать, что 'ш1 У(ж)= 1п1 У(х), знр У(ж)= зцр У(ж).
аХ пЕХ *ЕХ пеХ й 2. Классический метод решения задач на безусловный экстремум Рассмотрим задачу поиска локального или глобального экстремума гладкой функции многих переменных на всем пространстве Е". Такуто задачу принято называть задачей на безусловный экстремум. В этом названии отражен тот факт, что на переменные х=(х',..., хй) никакие дополнительные ограничения в такой задаче не накладываются. Кратко изложим классический метод поиска решения задач на безусловный экстремум, подразумевая под этим тот подход к ним, который основан на дифференциальном исчислении функций многих переменных и обычно излагается в учебниках по математическому анализу 1327; 350; 352; 534; 768).
Сначала напомним некоторые понятия и факты. О п р е д е л е н и е 1. Пусть функция 7'(х) определена в некоторой е-окрестности 0(х, е) = (у Е Е": [и — х~ < е) точки х, Говорят, что функция у(х) дифференцируема в точке х, если существует вектор 7'(х) Е Е, такой, что приращение функции можно представить в виде; ььгг(х) = у (х+ Ь) — 2(х) = (~(х), Ь) + о(Ь, х), ~Ь[ ( е, (1) где о(Ь, х) — величина, бесконечно малая более высокого порядка, чем ~ Ь), о[6 х~ т. е. !пп = В роизводной или ера- причем !ь! о О.
ектор 7"(х) называется первои и диентом функции 7 в точке х Условие (1) однозначно определяет градиент 7'(х), 7'(х) = (уы(х),..., 7,.(х)), 422.' Ву[х) [. 7(ж+ ае,) — Г(х) ,,х —, — цп 1 (2) Усть Х С Е вЂ” произвольное множество из и , функции у(х), д(х) Х. Доказать, что а) 1п( т[п(7(ж); д(хЦ = гп!п( 1п1 у(ж); 1п1 д(ж)); пеХ *еХ пеХ б) !и! тах(у(ж);д(ж)) > гпах( 1п( ?(х); ш1 д(ж)). пеХ паХ *ЕХ !2. Пусть Х с Е", У с Š— произвольные множества, функция 7(ж, у) определена на множестве Х х У =((х, у): же Х, де У).
Доказать, что а) 1п1 7(х, у) = !о((1п(7(ж, у)) = =ш((!п17(х,у))15) знр 1п( ( !п( зцр 7(х,у), У Х пЕХ2ЕУ уаупЕХ 13, Пусть Х с Е", У с Е~ — произвольные множества, функция го(ж, у) определена на множестве Х х У, полунепрерывна снизу на Х при каькдом фиксированном у с У и ограничена сверху на У при каждом фиксированном ж е х. Доказать, что функция У(ж) = зпр 1о(х„у) полунепрерывна снизу на Х [541. ия 14.
Пусть Х вЂ” произвольное множество из Е", У вЂ” компактное множество иа Е'", и ц оо(ж, у) непрерывна [полунепрерызна снизу[ на Х х У. Доказать, что функция?(х) = — иа, 'унк- = 1п ж(х, у) непрерывна [полунепрерывна снизу[ на Х. Покажите, что условия на У и 1о(ж, у) в этом утверждении существенны [54). Рассмотрите примеры: 1) Р(ж, у) = жу, Х = У = Е', 2) 12(х, у) = жгу + у, Х = у = Е'! 3) 22(х, у) = — и —, Х = у = Е!; 4) И(х, у) = —" —, 1+ 2 2' ' 2 'У 2+ 2' хг -! уг ~0; 1о(0 0) = О, Х = У = [ — 1, 1]; 5) Р(ж у) = тах(0; 1 — жу), Х = 1'=[О +со).
15. Пусть Х с Е", У с Š— произвольные множества, функция х(х, у) непрерывна иа Х х У, пусть У вЂ” плотное в У подмножество, Х вЂ” ограниченное подмножество из Х, такие, что при каждом у е У функция х(ж, у) своего максимума иа Х достигает в точке ж = ж(у) е Х, Доказать, что функция 7(у) = зар ж(х, у) непрерывна на У. *ех $2. КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 54 Гк 2. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЭКСТРЕМУМА есть частная производная функции )' в точке х по переменной х', ес = = (О,, 1,..., 0) — единичный вектор, у которого 2-я координата равна 1, остальные координаты равны нулю, 2 = 1,..., и. Если функция дифференцируема в каждой точке множества Х, то ее часто называют гладкой на Х. Если производная )'(х) существует и непрерывна в каждой точке х Е Х, то функцию )'(х) называют непрерывно дифференцируемой на множестве Х.
Напомним, что функция, дифференцируемая в точке х, непрерывна в этой точке. О п р е д е л е н и е 2. Пусть функция 7" (х) определена и дифференцируема во всех точках некоторой г-окрестности точки х. Говорят, что функция 7(х) дважды диффгренцируема в точке х, если существует матрица 7л(х) размера и х и, такая, что )'(х+ 6) — 7'(х) =)л(х)6+ о,(6, х), ]6] ( г, (3) где 1пп — с — '— =О. Матрица 7л(х) называется второй производной функ 1! о рц ции Т" в точке х. Условие (3) однозначно определяет вторую производную )о(х), причем ) ...(х) )'...(х) ...
),, (х) Го(*)= о"*'(*) о"*'(*) ' ' ' о" "(*) =().л.(*), 2, ~'=1,..., ~), (4) Т"„.,(х) Т...,(х) ... ),.„.(х) где 7, 2(х) = —,- ] = —, ~ —.'] = —. ~, ) — вторая частная производв*'в ' в'~ в* ) ъ'~ а' ) ная функции 7"(х) по переменным х*, х'. Как видим, 7л(х) — симметричная матрица. Если функция )'(х) дважды дифференцируема в некоторой г-окрестности точки х, причем ее вторая производная непрерывна в точке х, т. е. !1ш [[7л(х + 6) — Гл(х)[] = О, то ~ц о ау(х)=2(х+6) — 7(х) =(о"(х), 6)+2(г'(х)6, 6)+оо(6, х), ]6] < е. (5) где 1пп ~" 1 '*) =0 [327; 350; 352; 534; 768].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
