Ф.П. Васильев - Методы оптимизации (2002) (1158201), страница 103
Текст из файла (страница 103)
существуют точки х 6 Иг, Ф (х ' = Ф, = ' 1 Ф ' — !и 'х', и справедли*е ио вы равенства (8), означающие сходимость метода штралоных функций г20', В ч ух )-оа сл ет, что 'х -а' ло ий г ', частности, из ( й) едУ, ,'хй — а, '< У, т, е.
хй 6 !п1 И~ ЧЬ > йо. Во внУтРенних точках локального минимУма необходимо Фй'(хй) = О, Фйг(хй) ) 0 тй > Ьо (теоРема 2.2.1). ПользУЯсь выРаже- ниями производных функции Ф(х) иэ (20), имеем р ! г Фй (хй)=до(хй)Ч- 2 4!о(шах(д;(хй);0))зд (хй)+ Л, 2йдз(хй)д (хй)=0, г=! у=те! Фйг(хй)=дол(хй)+ ~; [4Ь(шах(д;(хй);0))зд,."(хй)+12Ь(шах(д,(хй);0))з(ду(х )) '(х )]+ + Л; [2йд (хй)д,г(хй)+ 2Ь(д,'(хй)) ду(хй)] ) О, ой > Ьз.
344 Гл. 5. МЕТОДЫ МИНИМИЗАЦИИ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 4 16. ДОКАЗАТЕЛЪСТВО НЕОВХОДИМЫХ УСЛОВИЙ ЭКСТРЕМУМА 343 По определению мнозгества 1(о) имеем дз(о) <0 $$! 41(а). Поэтому с учетом непрерывности дг(х) и первого равенства (8), беря при необходимости йо еще большим, можем считать, что д;(Хй) < 0 ай )и Ьо. ОтСЮда С уЧЕтОМ (2! ) ИМЕЕМ шах(дз(хй);О) =О, пзй — — 0 т!' и'1(и) а'й > йо так что Л й —— $йгй Лай ) О, ! = 1,..., п», Л й — — 0 а! 4 1(а), !УЬ > Ьа Так как $Л й/ = 1, где Л й —— = (Лей,..., Л,й), то, выбирая при необходимости подпоследовательность,можем считать, что (Лй) а Л.
Кроме того, заметим, что в силу (8) до(хй) =1(хй) + 4!ха — о$~(хй — а) ау!(о) при Ь вЂ” а со. Переходя в (22) к пределу при й аоо, получим Лоу'(хо)+ ~; Лад (а) =О. Таким $=! обРазом, ба(гй Л) = О, Л! д (а) = О, ! = 1,..., т, $Л ! = 1, Ло ) О, ., ч Л, > О, т. е. Л С И(а) У Теперь совершим предельный переход при Ь вЂ” а со в неравенстве (»3). Введем последовательность подпространств Пй =. (й б Ва; (ду(хй), Ь) = О, ! б 1(а)), Ь = 1, 2,... Размерность ортогонального подпространства П~й равна числу линейно независимых векторов системы (ду(хй), а б 1(а)), т. е.
не превышает числа $1(о)!. Тогда 4$гп Пй > шах(п — !1(а)/; 0) = г. По лемме 1 найдется подпространство П такое, что 4$шП > шах(п — !1(а)О О) и П с Ев Пй. По определению Ез Пй каждая точка й б Оа Пй является пределом какой-либо подпослей й аа довательности (Ь ), Ьй б Пй, т. е. (ду(хй ), йй ) =О, ! 6 1(о), Однако (хй ) — а а, поэтому при л — !Оо из последних равенств получим (д'(а), й) =О, ! н 1(а), т, е. й б йег са'(а). Это значит, что Ез Пй с йег сг'(а) и подавно П с йег О (а).
Поскольку шах(дг(хй); 0) =0 при э! ф 1(а), й аа й ) ЬО, а для ! б 1(и) имеет место равенство ((ду(хй)) д!'(хй)йй, йй) = $д (хй) Ьй $з = 0 для 'а'Ьй б Пй, то иа (23) при Ь = й„имеем ((Лой дол(хй )+ 2, Лай дл(хй ))йй, Ьй ) = (б (хй, Лй )Ь„, Ьй ) > 0 $=! где йй б Пй, и = 1,2, „взяты такими, что (йй ) — ! Ь П П. Так как (х )-а а, (Лй ) а Л, дол(хй)=Ул(хй)+4!ха — а$з1„+8(хй-а)(хй — о)т-аУл(о), где 1„— единичнаа мвтРицз п х и, то из последнего неравенства при и -! оо получим (б (а, Л)й, й) ) 0 !уй б П.
Таким образом, доказано, что подпространство П обладает свойствам™и (14)-(16) и, следовательно, является сопровождающим подпространством точки Л б Л(а). Это значит, что Л б Л,(о), т. е, Л,(а) ф Я. Утверждение (17) доказано. Остается доказать неравенство (18). Заметим, что поскольку конус Л,(а)$$(0) замкнут, то мнохсество (Л н Л (а), 1Л( = Ц замкнуто и ограничено, т. е, компактно. Отсюда и из непрерывности Д (е, Л) по Л следует, что в правой части (18) максимум достигается хотя бы в одной точке Л = Л(й) при каждом й б К(а), (Д(а), Ь) < О.
Нам надо доказать, что этот максимум неотрицателен при всех й б Л"(а), (у)(а), й) < О. Зафиксируем произвольную точку Ь из .К(а), (1'(о), й) < О. Можем считать, что Ь ФО, так как яри й = 0 неравенство (18) выполняется тривиально при всех Л, Для сокращения записей примем, что О = О, 1(0) = О, так что 1(х) )~ 1(0) = 0 !ух б Х, $х/ < 7; к этому случаю легко приити, переходя к переменным х — а, 1(х) — 1(а). Неравенство (18) сначала докажем при дополнительном предположении, что в задаче (1З.А) все ограничения дг(х) < О, ! = 1,..а пт, в точке х = а = 0 являются активными, т.
е. ЦО) = (1: 4 = 1, 2,..., з). Рассмотрим следующую вспомогательную задачу минимизации в пространстве переменных » = (х, х) б В" х В'! до,(») = до(х) — хдо(еь) + $» »М + ф(х) — ' гп1» б В(е) (24) Я(е) = (» б ло! О„(») = дз(х) — Хдз(ей) < <О, ! = 1,..а гп, дм(») = дг(х) — Хдг(еЬ) = О, ! = пт + !,...,з), (25) где д (х) = у(х)+ $»$», Я = (» = (х, Х) б Е "~', ф < 7, Х > 0); параметр е столь мал, что 0< »15$' < у! 0 при 0 <Х ц 1, ч$(х) = 4 (Х вЂ” 1) при Х) 1. (26) Л (Л,,Л,,...,Л ), !Л / 1, Л, >О,Л, >О,...,Л„>0, ОО,(», Л,) уды (»„Л ) ВО,(»„Л,)Л Лг,(д,(х ) — Х,д;(ей))=0, ! =1,..., пт, (27) (28) ГДЕ О (» Л)=Ладо (»)+ К, Лг(д (Х) — Хд (Ей)), »=(Х Х)ОКО, Л! >О, !=0,..аГП, а=ай, $=! й Э )Ьо.
Подробнее распишем равенство (27): Нетрудно видеть, что точка» = (х= ей, Х = 1) б Я(е), так что Я(з) ~ Я и до (») =О. Введем мноакество Лебега М,(») =(» б Я(е)! до,(») < 9$,(»)). Так как функции д;,(»), ! = О,..., з, непрерывны при всех» б ЯО, то М,(») замкнутое множество. Убедимся, что оно ограничено, причем равномерно по а, 0 < е < у$Ь! !. Заметим, что М (») = М,$(») $$ М,з(»), где М $(д) = =М(д)п(»; 0<К < Ц, М„(»)=М(»)п(»: х > Ц. Мноакество М $(»)с( =(х Д: 1х1( (7, 0(Х < Ц и, очевидно, ограничено равномерно по е, 0< » < 71!!/ !. Рассмотрим множество М,з(»). Пусть» б Маз(»), Тогда имеем 0= до,(») > !п1 до(х) — Х сцр до(х) — ($»$+$»Ь$) + 14(.! ' 1,1(, +(Х вЂ” 1) или (Х вЂ” Ц" — ХА <(27)" — В Ч»=(х,Х) бМ,з(»), где А = ьцр до(х)>0, В= 1*1 ( 7 — ш1 до(х) < О, проведя элементарное исследование графика функции х(х) =(х — 1) — хА, 11(7 х б В, нетрудно показать, что уравнение эа(х) = (27) — В имеет два решения х$, хз, причем ! хз > 1.
Отсюда заключаем, что м,з(д) с [» = (х, х): $х! < 7, ! < х < хз), т. е. мйохгество М з(») также ограничено, причем равномерно по е, 0 < е < 7$)г! '. Таким образом, множество М,(») компактно, и непрерывная функция до, (») достигает на этом множестве своей нижней грани хотя бы в одной тачке» =(х, Х,) б М (») (теорема 2,!,Ц. Однако, $п1 до (») = а' а а «сщ»1 Оа — $п( до (») = до (» ) < до,(») < О. так как множество м (д) огРаничено РавномеРно по аем(»1 а е, 0 < е < 715) ', то семейство (») решений задач (24), (25) при О < з < 715( ' равномерно ограничено: 1х,~ < 7, 0 < х < хэ.
Покажем, что», б ш$ Яо пРи всех достаточно малых е ) О. Сначала убедимся, что Х, > О. Заметим, что если х б Иг (см. множество задачи (19 А)), то» =(х х =Ой) с Я(е). Для всех таких точек»=(х, Х=О) и Е(е) имеем до,(») =до(х)+1х-ей(~ =1(х)+$х! +1х — ей(~ >О ае, 0 <» < 711!1 $, Однако да(» ) < до(») < О. Следовательно, », ~(х Х = 0), т. е. х, > О.
Далее, поквжем, что 1$гп х, = 0= а. Пусть а — произвольная предельная точка семейства (х,) при а О з — ! О, пусть а = !нп х,, Так как», = (х„Х ) б Я(е)„0 < Х, < Хя, то иа (25) имеем: $х) < у, д (х ) < Хад (»$!) < Хз$д (ей)!, ! = 1, .. а пт, $д (х )! < Х $д (ей)! < Хэ$д (ей)1, ! =го+1, .. ч з, Отсюда, учитывая, что Йп дг(ай) = д,.(0) =$$ $$1 б 1(0) =(а; а = 1,..., з), при е = е 0 а О получим: $а! < у, д (а) ( О, ! = 1, .. а пг, д (а) = О, ! = т 4 1,..., з, т.
е, об Иг. Из (24) следует: да(ха)=до»(»а)Ч-Х,до(ей) — !ха — »М — ф(Ха)<Хада( й)<Хг!до( ЬВ П аязд~сь = ! и УстРемлЯЯ Ь вЂ” а со с Учетом Равенства йш до(ей) =до(0) =О, имеем дз(а) < О. Однако а =0в а О точка минимума до(х) на иг, а б иг, поэтому 0= до(0) < до(а). таким образом, до(а) =О, т.
е. х = а — решение задачи (19.А). Но задача (!9.А) имеет единственное решение, поэтому а = О. Это означает, что семейство (х,) при з -а 0 имеет единственную предельную точку а = О, Следовательно, 1$ш х, = 0 и $х,) < 7 при всех е, О < з < ео < 7$Ь! ', Таким образом, », б $п! Ко при йуе, 0 < е < ео Применим к задаче (24). (25) угке доказанное утверждение (17), согласно которому конус Арутюнова Л„(»,) точки», непуст при всех з, 0 < е < 7$Ь) '.
Пахан!ем, что все отличные от нуля предельнйе точки семейства конусов (Л„(»,), е > О) при е -гО принадлежат конусу Л,(0), Пусть Л и'. 0 — одна из таких предельных точек. Это значит, что существуют (ей ) -а -а О ей > О, и точки Л, б Иа, (», ) такие, что $$ш Л, = Л. Нам нужна показать, что Л б а "а й а с Л,(0). Сначала установим, что Л с Л(0), Пусть Л,(»,) — конус Лагранжа задачи (24), (25), соответствующий точке», =(х, х), так как л, сл, (» ) сл,(» ) и», б$п! Яо Хз, 0< е <ео, то по определениго множйтелей Лагранжа задачи (2 $), (25) 346 Гл, 5. МЕТОДЫ МИНИМИЗАЦИИ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ $16. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕОБХОДИМЫХ УСЛОВИЙ ЭКСТРЕМУМА 347 л для! -л-=Ло.(У(х )+4[э ] х -1-4[х, — лй[ (л — зй))+ Е Лыд! (хв)=0 (29) «=! — ".ф~- = Ло,( — до(лй)+ э)'(Хв))+ Я Л, ( — дз(лЬ)) =О. да (л,Л ) (30) =! УчитываЯ, что х, — «а =О, дг(ей) — «дз(0) пРи л — «О, О < Х, < Хз, О < е < еа, !пп Л, = Л, из (26), (28), (29) при з = ль — «О имеем Л = (Ло,..., Л,) Р О, Л! ) О, « = О, ..
ч т, Сл(0, Л) = О, Л;д(0) = О, « = 1,..., т. Это означает, что предельная точка Л Е Л(0). Далее, покажем, что Л е Л,(0). По определению конуса Л„(л,) для каждого набора Л, ЕЛ«х(л,) существует сопрово«кдающее подпространство П, с Е" + ', которое обладает свойствами: 61~ 11, > + 1 — [1,(л,)[, (3!) П, С(гег О,'(л,) =(р =(Ь,П) ЕЕ" х Е'! ( " ', р) =О, ««1 (л,)), (32) (Еввв(лв«Л«)р, р) >О Чр ЕП„ (33) где 1,(л ) — множество активных индексов точки л, Π— вектор-функция с координатами д., «Е 1,(л,). Так как в рассматриваемом случае 1(0) = ((: « = 1, 2,,, з), то 1,(л,) с 1(0) и [1,(л,)[ «[1(0)[, О < л < Введем подпространство (35) Заметим, что ""(л' [,С...(,Х) Е„,(; ) ] — матРица РазмеРа (и+1) х (и+ 1), где Св (л Л) = Ладо л(л)+ ); Лдзл(х), Ев (л Л) = О, С, (л, Л) = Лафа(Х,).
Отсюда с учетом (33) получаем (Скж( „Л,)Р,| )=(Е, ( „Л,)Ь,Ь)+Е „( „Л,)ПЗ= = ((Ла,да,л(л,)+ 2; Лгвдгвл(хв))й, Ь)+ Лоф (Хв)П РО ЧР еП), СП,. (36) «=! В Е" введем подпрастранства Пв, состоящее из тех Ь с Е", для которых р = (Ь, Ч = 0) с П! . Для таких р из (34)-(36) имеем: (37) (38) (С „(л, Л )Ь, Ь) = ((Ла,да, (л )+ 2; Лмдввл(хв))й, й) >0 Чй « Пз, 0< е < ко. (39) з=! В(37)-(39) возьмем а=ль и устремим й-«са.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
