Ф.П. Васильев - Методы оптимизации (2002) (1158201), страница 102
Текст из файла (страница 102)
Как видим, условия (4) для полученного Л выполнены. Так как 7'(х), ду(х) непрерывны и (х„) — о в силу (8), то из (13) при й — со получим неравенство (5). Наконец, если дз(о) = О, то Л.д,,(о) = О. Если же д,.(о) < 0 при некотором з, 1 < з < т, то дз(х„) < 0 Чй > й, > й . Тогда из (12) видно, что ры ааО и поэтому Л,ъ = 0 Чй > йп При й — оо отсюда имеем Л, =0 при дз(о) < О, так что снова Л,.дз(о) =О. Равенства (6) получены. Теорема 1 доказана.
П Читатель, конечно, обратил внимание, что в условиях близких теорем 1 и 4.8.1 (см. также теоремы 2.3.1, 2.3.2) к функциям 7(х), дз(х), з = 1,..., в, предъявляются несколько разные требования гладкости. Ясно, что это связано с методами доказательства упомянутых теорем. В связи с этим возникает интересный вопрос, каковы минимальные требования к гладкости функций 7(х), д (х), з' = 1,..., в, для того, чтобы правило множителей Лагранжа оставалось справедливым? Более тонкие исследования показывают [401, что для этого достаточно, чтобы функции 7(х), д,(х), з = 1,..., в, были непрерывны в окрестности точки е и дифференцируемы в точке е. 2.
Перейдем к доказательству необходимых условий экстремума второго порядка (см. тсоремы 2.4.2, 2.4,3) для задачи Г(х) в|п(, х е Х = (хе Ее: д,(х) <О, з = 1,..., гп, дз(х) =О, з = из+ 1,..., в), (13.А) получающейся из задачи (1), (2) при Хо — — Л". Пусть е — точка локального минимума вадачи (!З.А). Согласно теореме 1 конус Лагранжа А(е), состоящий из точек Л = (Ло,..., Л,), которые удовлетворяют условиям Лфи, ЛОЪО,...,Л >О, С (е,Л).=0, Лвд(е)=О, З=!,...,пз, непуст. Напомним, что конусом Арутюнова точки е мнозквства (2) называется подмнозкество А,(е) таких точек Л е Л(е), для каждой из которых существует сопровозкда!ощее подпространстао П = П(Л) С Ье со свойствами: б!щ П(Л) > щах(п — !1(е))! 0), (!4) П(Л) с !зег !в(е) =(ь е вте: (ду(е), Л) =О, з е1(еВ, (13) (С (е, Л)Ь, Л) > О ЧЬ С П(Л), (!6) гдс 1(е)=(з; 1<в нпь д (е)=0)О(з! т-ь! < з < в) — множество индексов (номеров) активных ограничений точки е, )1(е)! — количество элементов множества 1(е), О(х)=(д;(х), зе1(е)).
342 Гл. 5. МЕТОДЫ МИНИМИЗАЦИИ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ В 5 2.4 было показано, что так введенное множество Л,(а) в самом деле является конусом. Как мы видели на примерах, конус Арутюнова, в отличие от конуса Лагранжа Л(а), необязательно является выпуклым и может иметь весьма сложную структуру (пример 2.4.6). Покажем, что конус Л,(е) О(0) замкнут. Для этого сначала докажем одну важную лемму, обобщающую известную в математическом анализе теорему Больцано — Вейерштрасса. 'О яр еде ление 1. Пусть задана последовательность множеств (Пй) с Е".
Верхним пределом последовательности (Пй) называется множество, обозначаемое Ег Пй и состой оо ящее из таких точек хо, для каждой иэ которых существует своя последовательность (хй), хй 6 Пй, Ь = 1, 2, .. о для которой то является предельной точкой [428, стр, 344], Лемма 1 (Арутюнов [44]). Пусть г — целое число, 0< г <а, а (Пй) — последовательность таких подпростраиств из Е", что д!ау Пй > г, Ь = 1,2,... Тогда существует лодаространстэа П из Е", такое, что 6!шП> г и ПС Сг Пй. й оо Пример !. Пусть П =(и=(х у г) ЕЕз: х=О, у=О), Пв=(и=(х у г) 6Ез: в=О).
Очевидно, П, Пе — подпространства иэ Е", д!шП! — -1, д!ш Пх — -2. Рассмотрим последовательность (Пй) такую, что Пз! ! — — П!, Пз! — — Пз, о = 1,2,.... Здесь Сг Пй — -П! ьуиз. й оо Очевидно, д!ш Пй ) г = 1, так что условие леммы 1 выполнено. В качестве подпространства П из утвержденйя леммы можем взять П = П! или П = Пз. Отметим, что здесь Бг Пй не й о является подпространством и включение П с Бг Пй строгое. й- оо Пример 2.
Пусть Пй-— (хбЕ": (сй, х) =0), где сй — заданный вектор из Е", ]ой]=1, Ь =1, 2,... Здесь д!ш П = и-1 =г. В качестве П иэ утверждения леммы можем взять подпространство П =(х 6 Е"; (с, х) =0), где с — произвольная предельная точка последовательности (сй). Верхний предел последовательности (Пй) является объединением всех таких подпространств П.
Доказательство леммы 1. Пусть гй — — б!шПй. Тогда 6!шПйй — — и — гй, где П~й — ортогональное дополнение к П в Е". В П~й возьмем ортонормированный базис ейг,... ...,ей„„, т. е. ]ей.]=1, 3=1,...,и — гй, (ей.,ей)=0 одер, 1(ур(п — г,. Тогда Пй = (х 6 Е": (ей., х) = О, у = 1,..., а — гй), Добавим к базисным векторам (ей;) нулевые вектора ей„, „! = О, ..
о ей„, —— О. Тогда для Пй получаем представление Пй — — (х 6 Е™: (ей, х) = О, У = 1,..., и-г), в котором количество опорождающихо подпространство Пй векторов ейы., о ей „уже не зависит от Ь. Эти вектора, очевидно, образуют ортогональную систему: (ейг, ейр) =0 од ~ р, 1 < у р < п — г, Вместо свойства [ейу]=! теперь можем гарантировать лишь ограниченность; [ей.] < 1, у'=1,., о п-г. Пользуясь классической теоремой Больцано— Вейерштрасса из анализа применительно к последовательностям векторов (ей !), ..
о (ей„„), можем утверждать, что существует подпоследовательность (ей )-о е, где Ь -ооо при и-осо, 1 =1, .. оп-г, причем (еч е )=0 од рр,! <У р(п-г, ]е ~ <1, тУ= 1,..., п-г и часть векторов е может оказаться равной нулю. Пусть для определенности [е;] = 1 при у = 1, .. о р, и у е, = 0 при у = р+1, ..
о а-г (воэможность р = 0 здесь не исключается). Положим П=(х 6 Е (е, х) =О, 3 = 1, .. оп — г] =(х6Е": (е, х) =О, 3 =1,., о р), Поскольку е!,., те„линейно независимы, то ясно, что д!щП = р, д!шП=п-р> и-(и — г)=г. Покажем, что ПС Бг П „ й оо Возьмем произвольную точку х с П. Убедимся, что хо — предельная точка последовательности (хй — — Рп (хо)) проекций точки хо на Пй, Ь = 1, 2,... Воспользуемся неравенством Хоффмана (1641): р(то,Пй ) — ]хо — Рп (хо)[=]хо — хй ] < М шах )(ей у,хо)]= Мшах ~(ей .— !<!<ив — г., хо)] — оО при и-оса.
Таким образом, П С Ег Пй. Лемма 1 доказана. П 3' й Теперь можем доквзать замкнутость конуса Л,(а) 11 (О). Пусть последовательность (Лй) 6 6 Л,(а), (Лй) о Л ф О. Покажем, что Л 6 Л,(а), По определению конуса Л„(о) для каждого Лй найдется сопрозождагощее надпространство П(Лй) со свойствами д!т П(Лй) > шах(ив — [1(а)];О) = г, П(Лй) с 1сег Су(а), (Б (а, Лй)Ь, Ь) > 0 тЬ 6 П(Лй), Ь = 1,2,... По лемме 1 существует подпространство П такое, что д!шП) г =шах(п — /1(а)[;0), Пс Бг П(Лй).
й со Так как конус !оег Ср(а) замкнут, П(Лй) с!оег Еу(а), то нетрудно убедиться, что йг П(Л ) с й о с йег ст'(е). Следовательно, П с йег С'(о). Покажем, что (йт(о, Л)Ь, Ь) > 0 тЬ 6 П. Возьмем произвольную точку Ьо 6 Пс Сг П(Лй). По определению йг П(Лй) найдутся Ьй ЕП(Лй) й й о $16 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕОБХОЛИМЫХ УСЛОВИЙ экстремумА 343 Д ' '„'1, !,]1Ь;: Обозначим 4Ь(шах(д;(хй); 0))з ) О, 2йд;(хй), й г ! Разделив предыдущие соотношения на (! -~- Л,' рз Л м г=! Лейда(хй)+ К Л,йд, (*,) г=! о=!,..ога, о = ят -1- 1, .. о г.
!12 ) 1, получим (21) 01 угу ) !о (22) г г о Лойдо (хй)+ 2. Л йд г(хй)+ 2. 12ЬЛоь(шах(д,(хй).0))г(д (хй))тд (х )+ г=! о=! й ' ! й, й + Е 2ЬЛой(д''(хй)) д'(хй) > 0~ УУЬ > Ьо (23) у=т+ ! з т-$!з где Лщ —— [71+ 2. Рд), Ла, — — РййЛою т — — 1, ..о г. г=! такие, что Ьо будет предельной точкой последовательности (Ь ), т. е, 3'Ь определению П(Л й )имеем (йо,(о Лй )Ьй, Ьй ) ) О, и = 1,2,...
Отсюда при и -оса получим '16' ( , ( Ро Ьо) Ьо 6 П. Это значит, что надпространство П обладает свойс (!4)- свойствами ) и, следовательно, является сопровождающим подпространством точки Л. Включение Л 6 6 Л,(а) доказано в случае Л р' О. Отсюда, учитывая, что последовательность (Л ) 6 Л (о) может также сходитьск к точке Л = О, заключаем, что конус Л,(а)йу(0) замкнут. Теперь можем приступить к доказательству основной теоремы настоящего параграфа. Теорем а 2 (Арутюнов [44)). Пусть а — точка локального минилоума задачи (13.А), пусть функции 1(х), д!(х),., о д„(х) дгахгды нелргрывио диффереыцируемы з некоторой окрестности точки а.
Тогда Л (а) р'!2!, (17) л е й,(о), ~л3 = ! !пах (Ст(В Л)Ь, Ь) > 0 УУЬ 6 К(о) П(Ь 6 Е": (1(о), Ь) (О), (18) К(а)=(ЬЕЕ": (д (о),Ь)(0 УУ461(о) УУ (о': 1~(эчт), (д '(а),Ь)=0, о=т-1-1,, г). (19) Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим вспомогательную задачу минимизации до(х) = 1(х) -1- ]х — о[~ -о!п(, х 6 Иг = (х 6 Ео; !х — а] ( у, дг (х) ( О, о = 1,..., т, д; (х) = О, 4 = т+ 1,..., г), аналогичную задаче (7), предполагая число у > 0 столь малым, что < 1, (а,'у)= '(а~ у)=(хбе: ]х — а]< у).
тогда, как и в (7), нетрудно доказать, шт а ных нк что а — точка строгого локального минимума задачи (19.А). К задаче '19.А' р ф функций. Имея в виду, что при выводе необходимых условий ато"ого по я к поидетск иметь ело со вто д о вторыми производными рассматриваемых функций, воспользуемся порядка нам более гладкими, чем в (7),штрафными функциями и рассмотрим задачу Фй(х) = до(х)+ Ь ~" (шах(д,(х); О))" + Ь Я дз(х) -1 !и1, х 6 Иго — — В(а, У). (20) г=! г=о ч! Рассуукдая также, как при доказательстве теоремы 1, нетрудно установить, что задача (20) имеет решение, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
