С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика (1158187), страница 90
Текст из файла (страница 90)
Поэтому в норреляционной функции колебаний (46) амплитудные и фазовые флуктуации оказываются норрелированными. Данное обстоятельство приводит к несимметричному спентру колебаний. Этим замечанием чы здесь н ограничимся, подробное рассмотрение спентра нолебаний неизохронного генератора можно найти в 141. Гл.т.олуктуАции в ГенеРАтОРАх Стационарные колебания вблизи порога самовозбуждения; анализ методом статистической линеаризации. Проведенный выше анализ естественной ширины линии колебаний выполкен в предположении, что в режиме развитой генерации (высоко над порогом) в фазовом уравнении (12) огибающую р можно заменить средним значением р. Чтобы получить более общий результат, включающий пороговую область, мы воспользуемся методом статистической лииеаризации (см. Э 7 гл.
1). Однако сначала покажем, что для средней интенсивности колебаний этот метод приводит практически к тем же результатам, которые следуют из изложенного в начале параграфа более строгого анализа. В рассматриваемом случае удобно исходить из уравнения (9) для комплексной амплитуды А. Статистически лииеаризованное уравнение (9) принимает вид (см. также (!.7.76)) — + (а — 6) А+ 2тротА = готт) (!), (7.2.55) где от= 7=(! А !А)/2 — средняя интенсивность колебаний, лт — подлежащий определению численный коэффициент. Перейдем к уравнению для средней интенсивности колебаний ртот —;, +2(и — б) от+4лтр о'= — ы,(т) (т) А*(!))+к.
а. Среднее значение справа в полученном уравнении найдем подобно тому, как это было сделано при определении ~Р: (т! (!) А * (!)) + к. с. = (т) Ар оо) + к. с. = =ы, ~ (Ч(!) 9*(!')) ПГ'+к. с. =им,б,. Здесь использовано соотношение (!9б), Таким образом, окончательно имеем ~~ — 2Рот+4птРО' =-й ыабы (7;Я.бб) В методе статистической линеаризации величину лт выбирают так, чтобы интенсивность о' в случае большого превышения порога (р ) О) совпадала со значением интенсивности, получаемым из строгого расчета. При этом автоматически получается правильное значение для о' и в случае р(0, когда нелинейность вообще несущественна. Таким образом, коэффициент т подлежит определению из условия о'=ОР при р)0. Стационарное зкачение а' удовлетворяет уравнению 4тб от — 2рот = (и/2) ы,',бтра откуда, учитывая (!4) и (!5), получаем: ~-Р14 и — чр,'!~~утУв ( — 1тг!.
рттбтр з у ФлуктуАции В Режиме РАзеитоя ГенеРАции воз Здесь знак минус соответствует е «,-. 1 (ниже порога), а знак плюс — е)1 (выше порога) и введено обозначение Р = ИГРо6~4()Р'„. При очень большом превышении порога ое = (е — 1) р'„/2ГИ, фе е~ 1. (7.2.58) Ранее же быто показано, что гораздо выше порога генерации огибающая козебаний описывается распределением (32б), а ее флуктуации малы. Иначе говоря, при очень большом превыше- нии порога интенсивность колебаний почти не флуктуирует и, следовательно (см.
(15) и (336)), о' = (р')/2 р')2 = р' (2 = р'„(е — 1)!2. (7.2.59) Сравнивая (58) и (59)„находим, что т=1. В соответствии с (57) средняя интенсивность колебаний в кон- туре, находящемся под воздействием шума, следующим образом зависит от параметра накачки: ой Р)(з = о.5 Р - .>!Гтгв Р - 1Г е — ~! (ниже порога, е~1), 'У' 2 Я (на пороге, а=1), (7.2.60) 0,5(е — 1) 1'!'! +8(е — 1)-УЯ'+1) (выше порога, е~!).
На рис. 7.6 представлены две зависимости а' от параметра е, одна из которых построена по формуле (60), а другая найдена с помощью (336). Можно констатировать хорошее совпадение обеих кривых. Это обстоятельство дает нам основание для исполь- зования метода статистической линеаризации при расчете других статистических характеристик колебаний. Обратимся к корреляциокной функции колебаний В(т) = = (АА;)/2. Воспользуемся уравнением (55), принимая во внима- ние значение лГ = 1.
Тогда можно получить — + (2 8Ф вЂ” р) В (т) = О. ЙВ (т! Отсюда находим В (х) = а' ехр ( — (28о' — р) ~ т !). (7.2.61) Корреляционцой функции соответствует лоренцевский спектр с шириной по половинному уровню ба), = 2 (2~о' — Р) гл т Флуктуации в гвнврдторйх Подставив сюда (60), получим зависимость ширины линии генерации от параметра накачки: () —.))~~Тфа(.— () 0 -(-)] (ииже порога, в~1), 2)г29 (на пороге, 6=1), (' — () Ь ( (ь а(' — ') ' 0' — ') (выше порога, е»1). амс (7.2.62) Зависимость ширины линии колебаний от параметра накачки е изображена на рис. 7.7. В области, примыкающей непосредственно к порогу генерации (е — 1), имеет место резкая, й "е/6(с (' 4 практически скачкообразная зауйл(и Лыам висимость.
Из (6!) и (62) следует интересный факт: средняя интен- да 6 цл(( а др аг гд гк ап г» а сивность н ширина линии колебаний подчиняются соотношению (.)шс = л(осбй/2о, (7.2.63) которое не зависит от параметра накачки е. Выражение (63) в режиме существенно выше лоро~а генерации, когда имеет место соотношение (6Я), дает значение Лш, в два раза большее, чем значение, определяемое (63). Сравним еще выражение (63) для случая ниже порога генерации с результатом, полученным непосредственно из уравие- Рис.
7.6, Приведенная средняя интенсивность йа = = япв(йраг колебаний азтогенератора а зависимости от параметра накачки е. Крпвав ) построена с помощью формулы (336). вытекающей ва уравнснив Фоккера — Планка: крквав у — по формуле (ЕО), найденной методом статистической лквсарваацнк. Рис. 7.7. Относительная ширина спектра колебаний генератора Лю,/Лю, (в = О) з зависимости от параметра накачки е 1531.
Крнвав соответствует аначснню О» 6.(0-) . 505 4 3 УСТАНОВЛЕНИЕ КОЛЕБАНИИ В ГЕНЕРАТОРЕ ния (9), Полагая в (9) р =О, для комплексной амплитуды А получаем уравнение —,г + РА=а«я) (1), ВА в соответствии с которым корреляционная функция В(т) равна В(т)=4, а',бее-~ ~'. (7.2.64) 4~Р~ При выводе (64) учтено соотношение (196), Ниже порога генерации средняя интенсивность колебаний равна (7.2,65а) ) =о«= —.ащ, 4~р~ в ширина спектра колебаний Ла,=21р!. (7.2,656) Следовательно, в этом случае Ла, = ло404/2ОЯ.
(7.2.66) Выражение (66) в точности совпадает с (63), Таким образом, расчеты в приближении метода статистической линеаризации дают значение ширины линии колебаний, завышенное в два раза в области выше порога генерации (е~!) Вместе с тем (62) позволяет достаточно точно оценить ширину спектра генерации вблизи (е ! ) и ниже (е ( 1) порога генерации.
9 3, Установление колебаний в генераторе, Нестационарная статистика устанавливающихся колебаний Выше мы проанализировали установившиеся колебания в генераторе. В настоящем параграфе будет рассмотрен процесс установления колебаний. Если «затравкойя самовозбуждающихся колебаний служит собственный шум генератора, начальная амплитуда колебаний, возникающих при включенни усиления или обратной связи, представляет собой случайный процесс. Случайной величиной оказывается и время достижения установившейся амплитуды авто- колебаний [521 Анализу статистических характеристик амплитуды и времени достижения заданного уровня амплитуды устанавливающихся колебаний и посвящен данный параграф.
Изменение огибающей в процессе установления колебаний в генераторе описывается уравнением (7.2.28): (7.3.11 р+1 Р+Гр яр 4Р 4+ «АР( ) ГЛ. 7. ФЛУКТУАЦИИ В ГЕНЕРАТОРАХ Статистические свойства случайной силы $ (1) (7.2.21б) определяются (7.2.26); р=б — сс. Для случая «запуска» генератора от шумов начальная амплитуда ро=р(Г=О) является случайной величиной. Функцию распределения шо(р,) естественно считать рэлеевской: 7ао(ро) = „оЕХР ~ ~,—,Ю~~ о1 1 (7.3.2) Ро ' ~ — Но р(Е)=р„~1+ ( —,— 1)е-о~ =г(ро), (7.3.3) где т=р1/2, р — установившееся стационарное значение амплитуды„вычисленное прн От=О (см.
также (7.2.14)): р' =рМ (7.3.4) (рассматриваем надпороговый режим генерации, р ) 0). Статистический ансамбль реализаций процесса установления амплитуды (3) показан иа рис. 1,14. Функцию распределения амплитуды 7в7 (р) найдем, воспользовавшись соотношением (1.2.11): (р) = .1Р '(р)1( — „"'~, (7.3.5) где Р-'(р) †обратн функция; р, =Р-'(р). Интересно заметить, что она получается из (3) заменой р р, и Ро — — Р„~1+ ~-ог — 1~ е'~ =Р ' (Р). (7.3.6) где п4 — интенсивность начального шума, т. е. соответствующего моменту времени 1 = О. Для выяснения физики изучаемого процесса решение уравнения (1) целесообразно разбить на два этапа; 1) сначала, полагая 6твв О, исследовать статистические характеристики амплитуды устанавливающихся колебаний, связанные только с флуктуациями начальных условий; 2) далее рассмотреть возмущения вычисленных указанным способом амплитудных траекторий случайной силой Ер(1).
Напомним, что, поскольку в настоящем параграфе рассматриваются существенно иестационарные случайные процессы„ все усреднения понимаются в смысле усреднения по ансамблю реализаций. Статистические характеристики амплитуды в отсутствие флуктуацнонной силы. В этом случае бе = 0 и уравнение (1) оказывается аналогичным уравнению (1.6.4). Решение последнего (1.6,5) в обозначениях настоящего параграфа имеет вид й $ УСТАНОВЛЕНИЕ КОЛЕВАНИИ В ГЕНЕРАТОРВ После преобразований с учетом (2) для нестациоиариой функции распределения амплитуды устаиавливающихся колебаний получаем г/(,р,*.р, К,р* ги) (р),+, ехр (т —,+...
~ (7.3.7) где Ке=р'/2оо. Функция распределения (7) обладает следующими свойствами. При т =О она, как и следовало ожидать, переходит в рэлеевскую функцию распределения (2). При т-е со н)т(р) ь" 2Кеп-' е рв а ехр ( — Кеп-т —, Отсюда видно, что при Кбе-т-о О функция распределения становится все уже, превращаясь в пределе в б-функцию, причем экстремум имеет место при р = р . Сказанное иллюстрируетяю ся рис. 7.8, 7.9, откуда также т-лП/ следует, что нестационарная диспп персия амплитуды в процессе установления колебаний сначала нарастает, проходит через мак- 4П симум и затем уменьшается. П,4УП П,ШП ДППП и™ мт(япо-.)- ап пг де дп пп тп 'Жг. ьт)с Рис.
7.9. Распределение амплитуд пь)(р/р, ) дли отражательного клистрона [1Ц. Точив — висперимеььтвлвиые денные для рвенмл моментов времеви ь: )) 520 ие т) 55Э ис; 4) бво ис; е) ббб ис. моменту т Е соответствует вилючеине теиервторв. Рис. 7.8. Распределение амплитуд устанавлнваюи)нхсв колебаний гнь(р/р, ) длн параметра /(е г 1Ое н различных вначений бевраамерного времени 5 пг/г. Для количественного исследования поведения дисперсии амплитуды вычислим среднюю р и среднеквадратичную р' амплитуды б06 ГЛ. Е ФЛУКТУАЦНИ В ГЕНЕРАТОРАХ колебаний: Р= ~ Рн>(Р)с(Р = ~ "(Ра) >Р(Ро)>(Р>ь » » Р'=$ !>' (Р)Ф=$ Рх(РА)>Р(Р.)>(!>,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
