Ответы на вопросы к зачету (1158182)
Текст из файла
Критериум- ОТВЕТЫК. Катамадзе, Ю. Щадилова (студенты 427гр, 2008г)1. Что такое случайный процесс? Статистический ансамбль?Случайная величина – количественная характеристика опыта в результате его проведения приодних и тех же условиях, принимающая одно из ряда возможных значений.Функция ξ (t ) называется случайной, если её значение в один и тот же момент времени примногократном повторении опыта в одинаковых условиях, является случайной величиной.Случайные функции являются математической основой описания случайных (стохастических)процессов. Случайные функции от нескольких аргументов описываю случайные поля.Статистический ансамбль – это совокупность или набор всех возможных реализацийслучайного процесса.2.
Стационарность случайного процесса (СП) в широком и узком смысле.Примеры стационарных и нестационарных СПСтационарным случайным процессом (в узком смысле) называют случайный процесс,произвольная n-мерная функция распределения которого не изменяется при одновременном сдвигевсех точек t1,…, tn на оси времени на одну и ту же величину, иначе говоря, многомерная функцияt1 ,...tn ) wn ( x1 ,..., xn ; t1 + t ,...tn + t ) .распределения не меняется со временем: wn ( x1 ,..., xn ;=Стационарным случайным процессом (в широком смысле) называют процесс, одномерноераспределение вероятностей которого не зависит от времени: w( x; t ) = w( x) , а двумерное зависитw2 [ x, xτ ;τ ] .только от интервала τ= t1 − t2 : w2 [ x(t ), x(t + τ ); t , t + τ ] =Примеры нестационарного процесса.
Процесс установления колебаний в генераторах радио- иоптического диапазона, в параметрических генераторах.Из статфизики. Броуновское движение само по себе – стационарный процесс, но если со временемизменяется, например, температура жидкости, то процесс становится нестационарным.3. Соотношения (теорема) Винера-Хинчина. Основные свойствакорреляционной функции и спектральной плотностиСпектральная плотность (или спектральная мощность) G (ω ) флуктуаций стационарногослучайного процесса ξ=(t ) x(t ) − x2, определяющая интенсивность ξ =+∞∫ G(ω )dω , связана с−∞корреляционной функцией B (τ ) = ξξτ преобразованием Фурье:+∞1G (ω ) =2π∫B(τ ) exp[−iωτ ]dτ ;−∞+∞B(τ ) =∫ G(ω ) exp[iωτ ]dω .−∞Свойства G (ω ) :1. четность: G (ω=) G (−ω )2. связь с измеряемым экспериментально спектром мощности G + (ω ) (спектром, взятым по2G (ω ), ω ≥ 0,положительным частотам): G + (ω ) = ω < 0. 03.
G (ω ) ≥ 0, ∀ω+∞4. сходимость: ∃ ∫ G (ω )d ω−∞Свойства B (τ ) :1. четность: B(−τ ) =B (τ )2. максимальное значение достигает в нуле и равно дисперсии: B(τ =) max B=(0) σ 23. ограниченность: −σ 2 ≤ B (τ ) ≤ σ 24. B (τ → ∞) → 05. удовлетворение свойствам G (ω )Вследствие четности функций B (τ ) и G (ω ) соотношения Винера-Хинчина можно записать так:G (ω )1π+∞∫0+∞+∞00B (τ ) cos(B (τ ) 2=ωτ )dτ ;=∫ G (ω ) cos(ωτ )dω∫G+(ω ) cos(ωτ )dω4.
Любую ли убывающую функцию можно выбрать в качествекорреляционной?Нет, она еще должна стремиться к нулю на бесконечности: B (τ → ∞) → 0 , а её Фурье- образ B , | τ |≤ τ 0удовлетворять свойствам G (ω ) . Например, функция B(τ ) = 0не удовлетворяет условию0, | τ |> τ 0G (ω ) ≥ 0, ∀ω .5. Физический смысл времени корреляцииВременем корреляции τ к называют характерный временной интервал, на котором происходитзаметный спад (в несколько раз) значение функции корреляции.Время корреляции характеризует временной интервал, на котором «распадается»корреляционная связь между значениями случайного процесса.Если ∆ω – ширина спектра случайного процесса, то τ k ≈ 1 ∆ω .26.
Что такое белый? цветной шум?Белый шум – это случайный процесс, имеющий одинаковую спектральную мощность на всехчастотах, он дельта-коррелирован: G (ω ) = G0 (−∞ < ω < +∞), B(τ ) = 2π G0δ (τ ), σ 2 = ∞ .В природе и технике «чисто» белый шум не встречается (ввиду того, что такой сигнал имел быбесконечную мощность), однако модель белого шума используют, когда спектральная плотностьшума практически одинакова (или слабо отличается) в рассматриваемом диапазоне частот.Другими словами, ширина спектра шума должна быть гораздо больше спектральной полосыустройства.Шум с конечным временем корреляции иногда называют цветным.7.
Типичные характеристики спектральной плотности и корреляционнойфункции для а) низкочастотного СП, б) квазигармонического СП, в) белогошума и г) марковского СП G0 , ω ≤ h; B(τ ) = 2G0 h sin c(hτ )0,ωh>а) Низкочастотный СП: G (ω ) = б) Квазигармонический СП: G (ω ) = F (ω − ω0 ) + F (ω + ω0 ); B (τ ) = 2 F (τ ) ⋅ co (sω0τ ) , где F (τ ) –фурье-образ узкочастотной функции F (ω ) .В пределе при F (ω ) → δ (ω ) , σ 2 → ∞ , а B (τ ) → σ 2 cos(ω0τ ) .в) Белый шум: G (ω ) = G0 (−∞ < ω < +∞), B(τ ) = 2π G0δ (τ ), σ 2 = ∞ .г) Марковский СП:Случайный процесс ξ (t ) называется марковским, если для любого упорядоченного по возрастаниюнабора моментов времени t1 < t2 ... < tm < t выполняется равенство w(ξt | ξt1 , ξt 2 ,..., ξtm ) = w(ξt | ξtm ) .Свойством марковости обладают процессы, определяющиеся линейными и нелинейнымиуравнениями (или системами уравнений) первого порядка со случайными дельтакоррелированными коэффициентами.8.
Характеристическая функция, характеристический функционал, кумулянты+∞iuxiuxХарактеристическая функция процесса x(t ) по определению θ (u ) ≡ e =∫ w( x) e dx является−∞фурье-образом распределения вероятностей.Момент mn ≡ x n , центральный момент µn ≡ ( x − x ) n .∞(iu ) nmn ;θ (u ) = ∑n =0 n !∞(iu ) nkn , kn – кумулянты.ln θ (u ) = ∑n =1 n !3В случае многомерных распределений имеем wn ( x 1 ,..., x n ; t1 ,..., tn )→w({x(t )}) – вероятностныйn →∞функционал ( {x(t )} – все x при всех t).
Тогда характеристическим функционалом называется:()θ ({u (t )}) = exp i ∫ u (t )x(t )dt = ∫ exp i ∫ u (t )x(t )dt w({x(t )})d {x(t )} , d {x(t )} ≡ ∏ d ( x(t ))tМногомерная характеристическая функция:θ (u1=,..., un )exp[i (u1 x1 + + u=n xn )]+∞∫ ...∫ exp[i(u x + + u x )]w( x ,..., x )dx ...dx−∞1 1n n1n1nДля нее также справедливо разложение по многомерным кумулянтам:i ni2 nKuK p uqp uq + ln θ (u1 ,..., un ) =+∑ p p 2! p∑1! p 1 ==,q 19. Свойство эргодичности стационарного случайного процесса.Стационарный случайный процесс можно представить в виде суммы трех компонент:x(t=) x(t ) + ξ 0 + ξ (t ) :x(t ) – регулярная составляющая случайного процесса – его статистическое среднее,ξ 0 – постоянный параметр, случайно меняющийся от реализации к реализации, ξ 0 = 0 ,~ξ (t ) – случайная, изменяющаяся со временем флуктуирующая компонента, ξ (t ) = 0 , ξ (t ) = 0 ,1~где волной обозначается усреднение по времени: f (t ) = limТ →∞ Tt +T∫ f (t ′)dt ′ .tЭргодическим называется стационарный случайный процесс, для которого x(t ) = ~x (t ) и длякоторого ξ 0 ≡ 0 .10.
Основные свойства гауссовского СП; некоррелированность истатистическая независимостьОдномерное распределение:221w( x) =e − ( x − x ) / 2σ нечетные моменты равны нулю, а четные центральные моменты:2πσµ=2n( 2n − 1)!!σ 2 n(n=1,2,…)Многомерное распределение: 1 n1−1exp,)w(=x1 ,..., xn )D det( Apq− ∑ Apq ( x p − x p )( xq − xq ) =n/2n/2(2π ) D2p , q =1Корреляция: ( x p − x p )( xq − xq ) = x p xq − x p xq = B p ,q || B pq || − корреляционная матрица,Apq - элементы матрицы, обратной корреляционной.Корреляционные функции высших порядков выражаются через низшие (см.12).4Если величины x1 ,..., xn некоррелированы, то распределение w( x1 ,..., xn ) распадается напроизведение одномерных гауссовых распределений: w( x1 ) ⋅ w( x2 ) ⋅⋅⋅ w( xn ) .
То есть изнекоррелированности гауссовых СП следует их статистическая независимость.Из вида многомерного распределения следует, что для ГСП стационарность в широком смыслеобеспечивает стационарность и в узком смысле+∞1Спектральные амплитуды ГСП xω =x(t )e − iωt dt также будут гауссовыми СВ.∫2π −∞d 2d 2 . Для гауссовыхЕсли x(t ) – стационарный СП, то для негоx = 0= 2 xx ,x = 0= 2 xxdtdtпроцессов это означает статистическую независимость временных производных разной четности:w( x=, x , x) w( x, x) ⋅ w( x ) . Спектральное условие стационарности СП:=xω xω∗ 'G (ω )δ (ω − ω ') независимость спектральных компонент.11.Чему равно среднее <ехр ах>, если х - случайный гауссовский процесс?Использовать известное выражение для характеристической функции ГСП (8) θ ( u ) и сделатьзаменуu=−ia → exp ( ax ) =θ ( −ia )12.
Как вычислить коррелятор вида x(t1 )x(t2 )x(t3 )x(t4 ) , если x(t) -гауссовскийстационарный случайный процесс с <x(t )=0Из вида многомерного распределения ГСП следует, что высшие корреляторы выражается черезпарные :=B p...s 0;=B p...s2 m+12m∑ B pq ⋅Brs.суммирование по всемпарным сочетаниям индексов13. Что такое диффузионный (винеровский) СП? Как зависит от времени егодисперсия?tДиффузионным называется СП вида ξ (t ) = ∫ η (t ')dt ' , где η (t ') – некоторая случайная функция.0ξ (t ) удовлетворяет уравнению ξ = η (t ) .
ДСП существенно нестацонарен.Если=η 0, =η 2 σ 02 , ηη=B=τ0 (τ )+∞2iωτ(t )∫ G0 (ω )e dω , то σ =−∞t22 ∫ (t − τ ) B0 (τ )dτ .ξ=0В частном случае, когда η(t ) - белый шум, B0 (τ ) = 2 Dδ(τ ) ДСП называют винеровским, для негоσ2 (t ) = 2 Dt линейно растет со временем. Пример – флуктуации фазы в установившемся режимегенераторов.514. Функции распределения для квазигармонического стационарногогауссовского СП: его огибающей, фазы, интенсивностиКвазигармоническим называют СП, если ширина его спектра гораздо меньше несущей частоты.Аналитически его можно записать в виде: ξ (t ) = ρ (t ) cos[ω0t + ϕ (t )] = a (t ) cos ω0t − b(t ) sin ω0tρ (t ) ― огибающая, ϕ (t ) ― фаза, a(t ) и b(t ) ― квадратурные компоненты (все эти параметрыявляются медленно меняющимися)Если a (t ) и b(t ) являются гауссовыми случайными функциями, то такой квазигармонический СПназывается гауссовым. В этом случае ξ (t ) также будет гауссовой, как их линейная комбинация.Такой процесс еще называют узкополосным гауссовым шумом.Далее рассмотрен случай стационарных a (t ) и b(t ) .Тогда для любых a (t ) и b(t ) : =aξ= 0,=b2a=2b=2ξ=σ 2,= 0.abИз некоррелированности и гауссовости a (t ) и b(t ) следует их независимость, их совместноераспределение распадается на произведение распределений, и отсюда легко получаютсяраспределения для фазы и для огибающей:w( ρ , ϕ ) =w(a =ρ cos ϕ , b =ρ sin ϕ ) ρ2 ∂ ( a, b)1 ρ=⋅ 2 exp − 2 .2π σ∂( ρ ,ϕ ) 2σ w(ϕ ) ρw( ρ )Распределение для интенсивности:I = I 1 2∂ρ1.=exp −ρ = σ 2 , w( I ) = w ρ = 2 I2∂III()15.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.