Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2 (1156795), страница 25
Текст из файла (страница 25)
В ·юм же смJ,JСле, в каком унитарное преобрюованиедает общее описание когерентной квантовой ·энолюции. В последнем едучае динамику квантовой системы удобно характеризовать галщльтониаиом,описывающим эво:ноцию в бесконечно малом интервале времени. Тогдадинамика описывается дифференциальным уравнением, уравнением Пlредингера. Интеi']Jируя это уравнение или, иначе говоря, складывая эво.:поциина множестве инфинитезимальных интерва.'ЮR, мы можем рас<...'Читать эволюцию в течение конечного интерва..Тiа времени.Часто.
по крайней мере в хорошс~1 приближении, оказьшается RО1можньrм онисание эно~Iюции (не обязательно когерентной) матрицы пл:оmости1293.5. 0С::НОВНОЕ YPARHRHИEдифференциальным уравнением. Это так называемое основн.ое уравнение(mastcr equation) будет наmей следующей темой.В самом деле,непонятно,почему для описания дскогерентизациинеобходимо дифференциальное уравнение. Такое описание во.зможноj если только эволюция кванrовой системы является «марковской» или, другими словами, локшtыюй во времени. Если эволюция во времениtоператора плотности р(t) упрамяется дифференциальным уравнением (первогопорядка), то это значи-r; что оператор p(tdt) полностью определяется+операторомp(t).Мы видели, что всегда можем описать эволюцию оператора плотностиР.л в гильбертоном пространстве 'Н л, еслн пред1ЮJюжить.
что в расширенном гильбер1uвом nространстве 7-lл ®1-lв она в действительности являетсяунитарной. Но, даже если эволюция вJt А 0 Jt вунравлястся уравнениемШредингера, этого не достаточно, чтобы обеспечить локальность во времени эволюции Рл(t). Действительно, если мы знаем только Рл(t), мыне имсс~t t1ОЛНОЙ системы начальных услоний дпя уравнения Illредингера; кроме этого нам необходимо знать состояние «окружения».
Так как изобщей теории супе-роператоров известно, что мы внраве натребовать, чrои момент времениявляетсяt-= О квантовым состоянием в пространстве Н А 0 'Н вРА e>IO)EE(OI,(3.141)то наиболее ярким выражением этой трудности является то, что операторплотности р А (t+ dt) зависит не только от р А ( t ), но также и от Р.4в болееранние момеюъr времени, поско.%ку резервуар Е 1 некоторое время сохраняет 11амять об этой информации и может вернуть ее обратно в систему А.Jто затруднение возникает вследствие тшu, что информация течет поушще с двухсторонним движением. Оперытая система (классическая иликваюовая) является дuccunamuвuoй, поскольку информация может перетекать из системы в резервуар. Но это значит, что информация может такжетечь обратно из резервуара в систему, приводя к немарковским флуктуациЯЛ·tn'системе-.Таким образом, за исключением случая когерентной (унитарной) эволюции, флуктуации неизбежны, а строго марковекое онисание квантовой;щнамики невозможно.
Тем не менее во многих отношениях марковскосописание является хорошим приб:шжением. Кшочевая идея здесь в том. чrово:Jможно разделение между типичным коррелю(иошtым временем фнуктуtобсуждая основное уравнение, окружение обыqно называют резервуаром в зfrак уважения к шубоко уrореиившейся терминологии статистической физики.2Jта неизбежная связь лежит в основе флуктуацитто-диссипационной теоремы, мощного инструмента стаrистической физики.ГЛАВА\303аций и временным масштабом наблюдаемой нами эвоJПОции. Грубо говоря, мы можем обозначить через( At ),.,время, которое требуется резервуару, чтобы «забьпь» полученную от системы информацию,мя(дt ),е,-спустя времы можем считать, что информапия навсегда потеряна, и пренебрегать возможностью тоrо, что она вновь вернется, чтобы поВJШЯть надальнейшую эволюцию системы.Наше описание эволюции системы будет включать в себя «сrnаживание»(«coarse graining»)во времени: мы восnринимаем динамику сквозьфильтр, скрывающий высо:кочасmтную часть движения с w>> (дt )c~~r~·Тогда марковекое описание должно быть прибдиженно справещrnвым, если (дt),=«(дt),оа~е; мы можем иренебречь памятью резервуара, поскольку не в состоянии обнаружить ее влияние.
Эw <<марковское приближение» полезно, ecJIIf временной масштаб наблюдаемой нами динамики велик по сравнению с (дt)coarse• например, если временной масштаб затухания (дt)damp удовлетворяет перавеяству(Af)damp»(Al)coac~»(At),es.(3.142)Это условие часто вьmшmяется на практике, например, в ато~шой физике,где (дt),0 , ~ hjkT ~ 10- 14 с (Т- темnература) по порядку величиныбольше nшичного времени жизни возбужденного состояния.Поучительным примером является случай, в коюром система А представляет собой один гармонический осцнлляwр (НА ~ wa!a), а резервуар R сосwнт из множества гармонических осцилляторов (Н н == I: w,ь;ь,), сдабо связанных с рассматриваемой системой возмутеннемН'=~+аtь)L Л(аьttt~ ·(3.143)iГамильwниан резервуара может, например, представтть (свободное) электромагнитное поде, тогда Н' в низшем нетривиальном порядке теории возмушений индупирует переходы, в которых осцилляwр излучает или поглощает один фоrон, при этом уменьшая и.ш соответственно увеличивая своечисло заполненияn= аt а.Мы могшr бы подойш к основному уравнению, анализируя системус помощью зависящей от времени теории возмущений, аккуратно вводя :конечную обрезающую часто'!у.
Детюш это1"0 ана;ш.'1а можно найти в книгеГоварда Кармайюш 1 . Однако здесь я хотел бы обойтись без нею и перспрыгнуrь к основному уравнению бмее эвристическим путем.1Howard Cannicbael, Орел Systems Approach to Quantum Optics, Springer Verlag, Berlin et al1993.На русском языке см. Ю. Л. Климоиrович Статистическая теория открытых систем,тr. 1-З, Янус-К М.,Янус-К М.,2002. -1995-2001;Прим. ред.Ю. Л. Климонтович Введеиие в физику открытых систеч,3.5. ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ3.5.2.131Линдб;IадианПри унитарной эволюции изменение матрицы JJJiотпости во времениуправляется уравнением Шредингера 1р= -i[H,p],(3.144)которое, при не зависящем от времени Н, можно формалыш решить и пайтиP.(t)~е iHtp(O)eiHt.(3.145)Нашей целью является обобщение этого уравнения на случай марковской,но не унитарной, эволюции, в котором мы будем иметь(3.146)Линейный операторL,порождающий конечный суnереператор в том жесмысле, в каком гамильтониан Н порождает унитарную :эволюцию во времени, будет называться линдбладианом.
Еслиформальное решение уравнения(3 .146)Lне зависит от времени, тоимеет вид(3.147)Чтобы вычислить линдбладиан, мы начинаем с уравнения Шредингерадля системы, свя..1анной с резервуаром(3. 148)но, как уже отмечалось, мы не ожидаем, чrо :эта формула д,ля рА можетбыть выражена лншь через р А- Чтобы найти лнндбладиан, необходимо явно восподьзоваться марконским приближением (как это делает Кармайкп).С другой стороны, предположим, что марковекое nриближение применимо.Мы уже знаем, чrо наиболее общий супероператор можно записать в представлении Крауса:Рл(t)=$,[p(O)j=LM~(t)p(O)Mt{t),(3.149)~нричем $r~o =интерваломdt1.Если пролетевшее время является инфинитезимальнымиp(dt)= р(О)+ O(dt),(3.150)----,-------1В статисrической физике это уравнение прння1о называть квантовым уравнением ЛиyвИJIJll(, хотя, 1rонечно, оно непосредственно выводитсJil из уравнения Шредшtгера.ред.-Прим.С!АВА 3132тогда одним из операторов Крауса будет М 0 ~бyJIYT имеn.
порядок1 1 О( dt ), а все остальныеОператоры М,, (!' > О) описывают <<ква•повероятностью nоря;~ка dt может совершап~ система.Vdi.вые скачкю), которые сС1е;юватсльно, мы можем записатьм~ ~ VdiL 1,.t" = 1, ~. з,.М 0 = 1 + (-iН -t K)dt,где Н и К эрмиrовы, причемL",(3.151)Н и К имеют нулевой порядок поdt.Фактически, оператор К можно опредеJIИТЬ~ используя ус~IОвис нормиранки Крвуса1 L м~ м" - 1t dt=р(2к L L),L") ,(3.152)LJ,L"(3.153)1~>0илик=-! L,tt>O+Поастанляя это в уравнение (3.149), выражая р( dt) = р(О)p(O)dt и сравнивая слю·аемые порядка dt, получим уравнение Линдбла,щ 1 :р- .C[pJ-L (L"pLt- ~LtL"p- ~pLtL,,).-i[H,p] +(3.154).и>ОПервый член в.CJpJпредставляет собой обычное сла1 ас мое Шрс;[инп:ра, генерирующее унитарную эволюцию.
Остальные слагаемые описывают возможные перех.о,т.J,Ы, которые может иснытывать система, нс:.Iсдстниссе взаимодействия с резервуаром. ОператорыL"называются оператора.чиЛиидблада и..1и операторами кваитовых скачков. Кажпое елагасмое L 1.tPLLиндуцирует один из возможных квантовых скач:ков, тогда как слю'аемыс-~LLL~-.~P- ~pLLL~-.~ необходимы для корректноп.) описания тех случаев,когда скачки не возникшо1:Уравнение Линдб;Iада(3.154)иecn.то, Ч1О мы иска.m, общая форма (вполне положительной) марковекой эвошопии матрицы n.1отности: тоесть основнос уравнение. Из представления Крвуса, с которого мы начина.;Iи, следуе1~ что уравнение Липдблада сохраняет матрит~ п.:юnюсти: p(H-dl)- матрица •шотности, ес;ш таковой яв;rяется p(l,).
)(ействителыю, используя уравнение (3.154), можно непосредственно проверитr.,1Уравпсние Jlинлблада, описывающее марковскую эволюцию мнтрицы ШJОТНОС1'Н отG. CindЫad, Оп the П!?nerators oi Quantum DynamicalSemig1'0Ups, Commш1. Math. Phys., 48, 119 -130 (1976) ... Прюк. ред.крыrой снсте~ы. получе110 в работе1333.5. ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕчто Р эрмитов, акоменееtr jJ =очевидно,О.
То, чтоно,какL.(p] сохраняет положительность,у-JКСотмечалосr~,следуетизнеско.:~ьпредставленияКрауса.Если мы вспомним связь между представленнем Крауса и унитарнымпредставленнемсупероператора, то интерпретацию основного уравненияможно сделать более прозрачной. Представнм, что мы нснрерывно контролируем резервуар, проецируя его в каж;lЫЙ момент времспи на базисС всрояшостью1-О( dt) рес!ервуар остается в состоянииностьюнорядкаdl он совершает скачок11/0) R•одно из состояний/1-') R·а с вероят/!-') R(/-'> 0).IЪворя, что резервуар <пабьш» информацию, по:тученную от системы (такчто применимо марковекое приближение), мы считаем, что эти версходыпроисходят с вероятностями, линейно расrущими со временем.
Напомним,что зто не следует автоматически из зависящей от времени теории возмущений. На ма.1ых временах t вероятности отдельных переходов пропордиональны t 2 ; мы получаем темп (дифференцируя «золотое правило Ферми») только после суммирования по непрерывному континууму возможныхконечных состояний. Поскольку количество дос1упных состояний в действительности убывает какIjt, 11росуммированная 110 конечным состояниям веrюятность перехо[{а пропорциона..1ыtаt.Используя марковекое описание динамики, мы явно прсдполага.lИ, что масштаб времени (дt)coarseпастО.i!ЫСО веник, что мы можем нриписюъ часто1ъJ разJmчным возможнымнсрсходам, которые "огут быть обнаружены, пока мы контролируем окружение системы (резервуар).
Н действительности это следует из требоваIIИЯ (6.t),0 " " '3.5.3.»(6.t),es.Затухающий гармонический осцио~ыяторВ качестве примера, ил..тtюсrрирующего основное уравнение, рассмотрим в1аимодействующий с ::шектромагнитным полем гармонический осцил::rятор(3.155)11рсдпо.1ожим, что температура резервуара равна нулю; тогда будет наблю)Щ'IЪСЯ падение УJЮВНЯ IЮ3буждения осци."I.i'mтора, сопровождающееся последоватсдьным излучением фотонов, но пог;ющения фотонон происходитьне будет. Следовате~lЪНО, имеется то"1ько один оператор скачка:(3.156)Здест.
Г нрелставляет собой темп расnада первого возбужденногосостояния осциллятора в основное(n = J)(n = О) состояние; в соо-rветствии соГЛАВА 3134струюурой гамильтониана Н' темп за'I)'Хания в результате перехода с п-гоуровня на1)-й равен пГ 1 Основное уравнение в форме Линдблаца(n-приобретает видр=где Н 0 =-i(H 0 , р]+Г ( apat- ~atap- ~pata),(3.157)wa t а - гамидыониан осцитштора. Это ro же самое уравнеIШе, чrо и полученное кармайклом с помощью более изощренного aнamna.(Мы не учли здесь только лэмбавекий сдвиг, или радиационную перенормировку частоты осциллятора, имеющую тот же порядок, что и с.1атаемыескачков в L[pJ.),.Снагаемыс скачков в основном уравнении опиСывают затухание осциллятора вследствие излучения им фотонов 2 Чтобы исследовать влияниескачков, удобно перейти к представлению взаимодействия; определим операторы р1 иarв представлении в:щимодейстнияp(t)~ e-iH,tPr(t)eiНot,a(t)= e-iНo'ar(t)eiНot,(3.\58)так что(3.159)где фактическиa 1 (t) =- ае-iс,л, следовательно, в правой части уравнеможно заменить ar на а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
