С.В. Конягин - Вариационное исчисление и оптимальное управление (1156150), страница 7
Текст из файла (страница 7)
. . , m );′ẋ(t) − ϕ(t, x(t), u(t)) = 0Bi (ξ) = 0 (i = m + 1, . . . , m); óðàâíåíèå äè. ñâÿçè â òî÷êàõ íåïðåðûâíîñòèr∀ t ∈ △ u(·) ∈ U (U ⊂ R − f ixed)Äîïóñòèìûé óïðàâëÿåìûé ïðîöåññξˆu(·); îãðàíè÷åíèå íà óïðàâëåíèå. íàçûâàåòñÿîïòèìàëüíûì â ñèëüíîìñìûñëå, åñëè ∃ ε > 0 : äëÿ ëþáîãî äîïóñòèìîãî óïðàâëÿþùåãî ïðîöåññà ξ :kx(·) − x̂(·)kC(△,Rn ) < ε;|t0 − t̂0 | < ε;âûïîëíåíî|t1 − t̂1 | < ε;ˆB0 (ξ) ≥ B0 (ξ).Òåîðåìà 16.1 (íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ îïòèìàëüíîñòè èëè ïðèíöèï ìàêñèìóìàÏîíòðÿãèíà)Ïóñòü fi , ϕ íåïðåðûâíû âìåñòå ñ ïðîèçâîäíûìè ïî x, u è ψi ∈ C 1; Ïóñòüξˆ îïòèìàëüíûé óïðàâëÿåìûé ïðîöåññ. Òîãäà ñóùåñòâóåò íàáîð ìíîæèòåëåéËàãðàíæà, ò.å. ∃ (λ̄, p(·)) 6= 0, ãäå λ = (λ0, . . .
, λm), p(·) ∈ P C 1(△, Rn) :L(ξ, λ̄, p(·)) ==Zt1t0mXi=0λi Bi (ξ) +Zt1hp(·), ẋ(·) − ϕ(·, x, u)i dt =t0L(t, x(t), ẋ(t), u(t)) dt + l(t0 , x(t0 ), t1 , x(t1 ))|{z}{z}|ëàãðàíæàíòåðìèíàíòè âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:1) óðàâíåíèå Ýéëåðà : dtd L̂ẋ(t) = L̂x â òî÷êàõ íåïðåðûâíîñòè u(·);2) óñëîâèÿ òðàíñâåðñàëüíîñòè L̂ẋ(t̂i) = (−1)i · ˆlx(t ) (i = 0, 1);3) ñòàöèîíàðíîñòü ïî ïîäâèæíûì êîíöàì : L̂t = 0; L̂t = 0;˙˙4) minL(t, x̂(t), x̂(t),v) = L(t, x̂(t), x̂(t),û(t)), ãäå t òî÷êà íåïðåðûâíîñòè u(·);v∈U5) íåîòðèöàòåëüíîñòü : λi ≥ 0 (i = 0, . .
. , m );6) äîïîëíÿþùàÿ íåæåñòêîñòü : λiBi(ξ)ˆ = 0 (i = 1, . . . , m );i01′′Íèæå ìû áóäåì äîêàçûâàòü ýòó òåîðåìó â îäíîì ÷àñòíîì ñëó÷àå.4217Ïóñòüt0 , t1Çàäà÷à ñî ñâîáîäíûì êîíöîì. xed,ξ = (x(·), u(·)), A = {t ∈ [t0 , t1 ] : u(·)B0 (ξ) =Zt1íåïðåðûâíà ât}f (t, x(t), u(t))dt + ψ(x(t1 )) → min;t0x(t0 ) = x0 ;ẋ(t) = ϕ(t, x(t), u(t)) ∀ t ∈ A, u(t) ∈ U ýòîì ñëó÷àå ïðåäûäóùàÿ òåîðåìà èìååò äîâîëüíî ïðîñòîå äîêàçàòåëüñòâî.Ìû ïîêàæåì, ÷òî ìîæíî âçÿòü÷òîL(ξ, λ̄, p(·)) =Zt1t0λ0 = 1.èλòàêèå,ëàãðàíæàíè âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ:2) òðàíñâåðñàëüíîñòü :p(·)(f (t, x(t), u(t)) + hp(t), ẋ(t) − ϕ(t, x(t), u(t))i) dt+{z}|+ ψ(x(t1 )) +1) óðàâíåíèå Ýéëåðà :Ïðîâåðèì, ÷òî ñóùåñòâóþònXi=1|λi (xi (t0 ) − (x0 )i ){zòåðìèíàíò}ṗ(t) = fˆx (t) − p(t)ϕ̂x (t) ∀ t ∈ A;pi (t0 ) = λi (i = 1, .
. . , n), p(t1 ) = −ψ̂x(t1 ) ;3) ýòî óñëîâèå ìû íå ïèøåì, ò.ê. ïîäâèæíûõ êîíöîâ íåò;4)˙˙∀ t ∈ A L(t, x̂(t), x̂(t),û(t)) = min L(t, x̂(t), x̂(t),v) ⇔v∈U˙˙∀ t ∈ A, ∀ v ∈ U L(t, x̂(t), x̂(t),v) ≥ L(t, x̂(t), x̂(t),û(t))Ò.î. íàì íóæíî ïîêàçàòü, ÷òîDE˙f (t, x̂(t), v) + p(t), x̂(t) − hp(t), ϕ(t, x̂(t), v)i ≥DE˙≥ f (t, x̂(t), û(t)) + p(t), x̂(t)− hp(t), ϕ(t, x̂(t), û(t))i (∗)àññìîòðèì óíêöèþè 2):p(·),îíà îïðåäåëåíà ñëåäóþùèìè óñëîâèÿìè èç ïóíêòîâ 1)(ṗ(t) = fˆx (t) − p(t)ϕ̂x (t) ∀ t ∈ A (1)p(t1 ) = −ψ̂x(t1 ) (2)Êàê ìû çíàåì èç äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, òàêàÿ çàäà÷à èìååò åäèíñòâåííîåðåøåíèå íà èíòåðâàëàõ íåïðåðûâíîñòèâñåìàññìîòðèì ðàçáèåíèå îòðåçêàãäåu(t). Ïîêàæåì, ÷òî ðåøåíèå åäèíñòâåííî è íà[t0 , t1 ].τi(i = 1, . .
. , l)[t0 , t1 ] òî÷êè ðàçðûâàt0 < τ1 < τ2 < . . . < τl < t1 ,óíêöèè u(·). Òîãäà íà êàæäîì îòðåçêåâèäàðàçáèåíèÿ ó âûðàæåíèÿ (1) íåïðåðûâíàÿ ïðàâàÿ ÷àñòü, ïîýòîìó èç óñëîâèé (1), (2)43p(·)îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî íà îòðåçêåêîíöå êîíöîâ, íà âñåì îòðåçêå[t0 , t1 ][τl , t1 ],äàëåå íà îòðåçêå[τl−1 , τl ]è ò.ä â(ðèñ.
9).p(t1 )..... . .✲t0 τ1 . . . τl−1τlt1èñ. 9:Òåïåðü∀ τ ∈ Aτ > t0 , v ∈ U , α > 0: íåêîòîðîå ìàëîå ÷èñëî, ðàññìîòðèìñëåäóþùóþ èãîëü÷àòóþ âàðèàöèþ (ñåìåéñòâî óïðàâëÿåìûõ ïðîöåññîâ):(û(t), t ∈/ (τ − α, τ ]uτ,v,α (t) = uα (t) =v, t ∈ (τ − α, τ ]Ïóñòü òàêæåxτ,v,α (t) = xα (t), ãäå xα ðåøåíèå ñëåäóþùåé çàäà÷è:(ẋα = ϕ(t, xα , uα ), t ∈ A, t 6= τ − α, t 6= τxα (t0 ) = x0Îïÿòü æå, èç äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñëåäóåò, ÷òî ðåøåíèåxα òàêîé çàäà÷èñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî, à èìåííî:Ëåììà 17.1 (îá èãîëü÷àòûõ âàðèàöèÿõ)1) ïðè ìàëîì α > 0 ∃ ðåøåíèå xα(·);2) xα(·) ⇒ x̂(·) ïðè α → 0+;3) limα→0+ x (t)−x̂(t)= y(t) (ñõîäèìîñòü ðàâíîìåðíàÿ íà [τ, t1 ])αÇäåñü y(·) ðåøåíèå ñëåäóþùåé çàäà÷èα(ẏ(t) = ϕ̂x (t)y(t) (t > τ )y(τ ) = ϕ(τ, x̂(τ ), v) − ϕ(τ, x̂(τ ), û(τ ))(ðåøåíèå òàêîé çàäà÷è ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî).Áåç äîêàçàòåëüñòâà.ÄëÿäîêàçàòåëüñòâàóíêöèîíàëàB0íàZ(∗) áóäåì ñðàâíèâàòü çíà÷åíèÿ èñõîäíîãî(xα (·), uα (·)).
Íà÷íåì ñ íåòåðìèíàíòíîé ÷àñòè:íåðàâåíñòâà(x̂(·), û(·))èt1t0=f (t, xα (t), uα (t))dt −Zτ −αt0Zt1f (t, x̂(t), û(t))dt =t0(f (t, xα (t), uα (t)) − f (t, x̂(t), û(t)))dt+44++ZZττ −αt1(f (t, xα (t), uα (t)) − f (t, x̂(t), û(t)))dt+(f (t, xα (t), uα (t)) − f (t, x̂(t), û(t)))dt =: I0 + I1 + I2 =τ= {xα (·) = x̂(·), uα (·) = û(·)I1Äëÿ íàõîæäåíèÿíà[t0 , τ − α] ⇒ I0 = 0} = I1 + I2âîñïîëüçóåìñÿ òåîðåìîé î ñðåäíåì. Äëÿ ýòîãî âûáåðåìòàêèì ìàëûì, ÷òîáû ïîäèíòåãðàëüíàÿ óíêöèÿ áûëà íåïðåðûâíà âα[τ − α, τ ].ÈìååìI1 = α(f (τ̃ , xα (τ̃ ), uα (τ̃ )) − f (τ̃ , x̂(τ̃ ), û(τ̃ ))), τ̃ ∈ (τ − α, τ ]ÓñòðåìèìÇíà÷èò,α → 0.Òîãäàτ̃ → τ , xα (τ̃ ) → x̂(τ ), uα (τ̃ ) = v , x̂(τ̃ ) → x̂(τ ), û(τ̃ ) → û(τ ).I1 = α(f (τ, x̂(τ ), v) − f (τ, x̂(τ ), û(τ ))) + o(α)Òåïåðü ðàçáåðåìñÿ ñI2 .f (t, xα (t), uα (t)) − f (t, x̂(t), û(t)) = hfˆx (t), (xα (t) − x̂(t))i + o(|xα (t) − x̂(t)|) == {âñèëó ëåììû îá èãîëü÷àòûõ âàðèàöèÿõ}== hfˆx (t), (αy(t) + o(α))i + o(αy(t) + o(α)) = αhfˆx (t), y(t)i + o(α)Èòàê,I2 = αZt1τÍîäàëüøåâòàêîìhfˆx (t), y(t)idt + o(α)ïðåäñòàâëåíèèïðåîáðàçîâûâàòü.hp(t1 ), y(t1 )i − hp(τ ), y(τ )iÄëÿI2ñýòîãîðàáîòàòüïîëîæèìp(t1 )íåóäîáíî,=äâóìÿ ñïîñîáàìè.−µáóäåìèåãîïîäñ÷èòàåìÑ îäíîé ñòîðîíû,hp(t1 ), y(t1 )i − hp(τ ), y(τ )i = −hµ, y(t1 )i − hp(τ ), ϕ(τ, x̂(τ ), v) − ϕ(τ, x̂(τ ), û(τ ))iC äðóãîé ïî îðìóëå Ëåéáíèöà èç óðàâíåíèÿ Ýéëåðàhp(t1 ), y(t1 )i − hp(τ ), y(τ )i =Zτt1ṗ(t) = fˆx (t)−p(t)ϕ̂x (t) èìååì(hfˆx (t), y(t)i − hp(t)ϕ̂x (t), y(t)i + hp(t)ϕ̂x (t), y(t)i)dt ==Zτt1hfˆx (t), y(t)idtÈòàê,I2 = α(−hµ, y(t1 )i − hp(τ ), (ϕ(τ, x̂(τ ), v) − ϕ(τ, x̂(τ ), û(τ ))i) + o(α)àçáåðåìñÿ è ñ òåðìèíàíòíûì ÷ëåíîì:xα (t1 ) − x̂(t1 ) = αy(t1 ) + o(α).Òîãäàψ(xα (t1 )) − ψ(x̂(t1 )) = hψ̂x(t1 ) , αy(t1 )i + o(α)45Òåïåðü óæå ìîæåì îöåíèòüB0 (xα (·), uα (·)) − B0 (x̂(·), û(·)):0 ≤ B0 (xα (·), uα (·)) − B0 (x̂(·), û(·)) = α(f (τ, x̂(τ ), v) − f (τ, x̂(τ ), û(τ )) − hψ̂x(t1 ) , y(t1 )i−−hp(τ ), (ϕ̂(τ, x̂(τ ), v) − ϕ(τ, x̂(τ ), û(τ )))i + hψ̂x(t1 ) , y(t1 )i) + o(α)Çíà÷èò, âûðàæåíèå, ñòîÿùåå â ñêîáêàõ ïðèíóæíîå íàì óñëîâèå îïòèìàëüíîñòè ïîα íåîòðèöàòåëüíî.
Íî ýòî è åñòüu(·). àññìîòðèì òåïåðü åùå îäíó çàäà÷ó.B0 (x(·), u(·)) =Zt1t0f (t, x(t), u(t))dt → minx(t0 ) = x0 , x(t1 ) = x1Îãðàíè÷åíèå íà óïðàâëåíèå:ẋ(t) = ϕ(t, x(t), u(t)), t ∈ A, u(t) ∈ UÄîêàæåì òåîðåìó Áîëòÿíñêîãî ïðèíöèï ìàêñèìóìà Ïîíòðÿãèíà äëÿ ýòîéçàäà÷è. Èìååì:L = λ0 B0 +nXi=1+Zλi (xi (t0 ) − (x0 )i ) +t1t0nXi=1µi (xi (t1 ) − (x1 )i )+hp(t), ẋ(t) − ϕ(t, x(t), u(t))idtÍàïèøåì íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ýêñòðåìóìà:1)2)ṗ(t) = λ0 fˆx (t) + hp(t), ϕ̂x (t)i (t ∈ A)(çàìåòèì, ÷òî çäåñüϕ̂x (t) óæå ìàòðèöà)pi (t0 ) = λi , pi (t1 ) = −µi (i = 1 . . . n)3) óñëîâèé ñòàöèîíàðíîñòè íåò, ò.ê. íåò ïîäâèæíûõ êîíöîâ4)∀τ ∈ A ∀v ∈ Uλ0 (f (τ, x̂(τ ), v) − f (τ, x̂(τ ), û(τ ))) − hp(τ ), ϕ(τ, x̂(τ ), v) − ϕ(τ, x̂(τ ), û(τ ))i ≥ 05)λ0 ≥ 0Çäåñü,êàêèâïðåäûäóùåéçàäà÷å,ñíîâàáóäåìèñïîëüçîâàòüèãîëü÷àòûåâàðèàöèè, íî áîëåå ñëîæíûå.
àíüøå áûëà îäíà ¾èãîëêà¿, ò.å. îäèí èíòåðâàë, ãäå ìû÷òî-òî ìåíÿëè. À òåïåðü òàêèõ èíòåðâàëîâ áóäåò íåñêîëüêî (èãîëü÷àòàÿ âàðèàöèÿ ñïàêåòîì èãîëîê). Èòàê, ïîëîæèìτ = (τ1 , . . . , τl ) (τj ∈ A, τi 6= τj ),α = (α1 , . . . , αl ) ≥ 0, |α|Îïðåäåëèììàë(vj , åñëè t ∈ (τj − αj , τj ]uτ ,v,α (t) = uα (t) =û(t) â ïðîòèâíîì ñëó÷àå46αj äîëæíû áûòü íàñòîëüêî[t0 , t1 ] è íå ïåðåñåêàëèñü.Çàìåòèì, ÷òîëåæàëè âíóòðèÏóñòü äàëåå(xτ ,v,α (t) = xα (t),ãäåxαẋα (t) = ϕ(t, xα (t), uα (t))xα (t0 ) = x0ìàëû, ÷òîáû èíòåðâàëû(τj − αj , τj ] ðåøåíèå çàäà÷èâ òåõ òî÷êàõ, ãäåuαíåïðåðûâíàÒðóäíîñòü ïî ñðàâíåíèþ ñ ïðåäûäóùåé çàäà÷åé â òîì, ÷òî èç óñëîâèé íå âûòåêàåò,÷òîxαâ ïðàâîì êîíöå ïîïàäàåò êóäà íóæíî, ò.ê. òåïåðü ïðàâûé êîíåö íå ÿâëÿåòñÿñâîáîäíûì.Ëåììà 17.2 (îá èãîëü÷àòûõ âàðèàöèÿõ)1) |α| ìàë ⇒ ∃ ðåøåíèå xα(·)2) xα(·) ⇒ x̂(·) ïðè α → 03)∂xα (t1 )(0) = yj (t1 )∂αjãäå yj ðåøåíèå äèåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ(ẏj (t) = ϕ̂x (t)yj (t) (t ≥ τj )yj (τj ) = ϕ(τj , x̂(τj ), vj ) − ϕ(τj , x̂(τj ), û(τj ))xα (t1 ) = x̂(t1 ) +lX∂xα (t1 )j=1∂αj(0)αj + o(|α|) (α → 0)4) xα(t1) íåïðåðûâíà ïî α, êîãäà |α| ìàëËåììà 17.3 (î âàðèàöèè èíòåãðàëüíîãî óíêöèîíàëà)ṗ(t) = λ0 fˆx (t) − hp, ϕ̂x (t)iÒîãäà1)pi (t1 ) = −µi (i = 1, .
. . , n), µ = (µ1 , . . . , µn )Z t1λ0 f (t, xα (t), uα (t))dtg(α) =t0∂g(α)(0) = λ0 (f (τj , x̂(τj ), vj ) − f (τj , x̂(τj ), û(τj )))−∂αj−hp(τj ), ϕ(τj , x̂(τj ), vj ) − ϕ(τj , x̂(τj ), û(τj ))i − µyj (t1 )g(α) = g(0) +lXj=12) g íåïðåðûâíà ïî ααj∂g(α)(0) + o(|α|) (|α| → 0)∂αj47Èòàê, èìååì ñëåäóþùóþ çàäà÷ó ñ îãðàíè÷åíèÿìè òèïà ðàâåíñòâ è íåðàâåíñòâ.B0 (xα (·)) → minxα (t1 ) = 0, λ ≥ 0Âòèïàñèëóñëåäñòâèÿðàâåíñòâè14.1ïðèíöèïàíåðàâåíñòâµ̄ = (µ0 , . . . , µn ), µ0 ≥ 0Ëàãðàíæàñóùåñòâóåòâçàäà÷åíàáîðñîãðàíè÷åíèÿìèìíîæåòåëåéËàãðàíæàòàêèõ, ÷òînXi=0′µi gi (0) ≥ 0ïîñëåäíåå â êîîðäèíàòàõ ìîæíî çàïèñàòü, êàê∀jnXµii=0∂gi(0) ≥ 0∂αjÝòèì ñâîéñòâîì ìû áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîëó÷èòü óñëîâèåîïòèìàëüíîñòè ïî óïðàâëåíèþ.Ïîëîæèìλ0 = µ 0 ,ïóñòüµ = (µ1 , .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
