С.В. Конягин - Вариационное исчисление и оптимальное управление (1156150)
Текст из файла
ÌÎÑÊÎÂÑÊÈÉ ÎÑÓÄÀÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÑÈÒÅÒèìåíè Ì.Â.ËîìîíîñîâàÌåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêèé àêóëüòåòÂÀÈÀÖÈÎÍÍÎÅ ÈÑ×ÈÑËÅÍÈÅ È ÎÏÒÈÌÀËÜÍÎÅÓÏÀÂËÅÍÈÅïðî. Ñ.Â.Êîíÿãèí1/2 ãîäà, 4 êóðñ, îòäåëåíèå ìàòåìàòèêè, 2 ïîòîêËåêöèè çàïèñàíû è íàáðàíû ñòóäåíòàìè Â.Þ.˼âèíûì è Â.Â.Îñîêèíûì.Ïîñëåäíÿÿ ðåäàêöèÿ:21.02.2006ã.Ìîñêâà 2005Ñîäåðæàíèå1 Íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ýêñòðåìóìà äëÿ ãëàäêèõ çàäà÷ áåçîãðàíè÷åíèé.32 Ïðîñòåéøàÿ çàäà÷à êëàññè÷åñêîãî âàðèàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ.Óðàâíåíèå Ýéëåðà.53 Çàäà÷à Áîëüöà.
Óñëîâèÿ òðàíñâåðñàëüíîñòè.74 Èíòåãðàëû èìïóëüñà è ýíåðãèè.85 Âàðèàöèÿ èíòåãðàëüíîãî óíêöèîíàëà ñ ïîäâèæíûìè êîíöàìè. 96 Ñèëüíûé ýêñòðåìóì â ïðîñòåéøåé çàäà÷å êëàññè÷åñêîãîâàðèàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ. Òåîðåìà Âåéåðøòðàññà-Ýðäìàíà.107 Íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà äëÿ ñëàáîãîýêñòðåìóìà â ïðîñòåéøåé çàäà÷å êëàññè÷åñêîãî âàðèàöèîííîãîèñ÷èñëåíèÿ.148 Èãîëü÷àòûå âàðèàöèè.
Óñëîâèå Âåéåðøòðàññà íåîáõîäèìîåóñëîâèå ñèëüíîãî ýêñòðåìóìà.199 Ýëåìåíòû òåîðèè ïîëÿ.2210 Çàäà÷à î áðàõèñòîõðîíå.2711 ëàäêàÿ çàäà÷à ñ îãðàíè÷åíèÿìè òèïà ðàâåíñòâ.3112 Èçîïåðèìåòðè÷åñêàÿ çàäà÷à.3313 Çàäà÷à ñ ïîäâèæíûìè êîíöàìè.3414 Çàäà÷à ñ îãðàíè÷åíèÿìè òèïà ðàâåíñòâ è íåðàâåíñòâ.3615 Çàäà÷à Ëàãðàíæà.3916 Çàäà÷à îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ.4217 Çàäà÷à ñî ñâîáîäíûì êîíöîì.4318 Óðàâíåíèå Áåëëìàíà è ïðèíöèï ìàêñèìóìà.5019 Îïòèìàëüíûé âûáîð ñóùåñòâóåò.
Äîêàçàíî Ôèëèïïîâûì.5320 Òåîðåìà ÊóíàÒàêêåðàÊàðóøà.5721 Äîêàçàòåëüñòâî ïðèíöèïà Ëàãðàíæà äëÿ çàäà÷è ñ îãðàíè÷åíèÿìèòèïà ðàâåíñòâ è íåðàâåíñòâ â ÷àñòíîì ñëó÷àå.59Íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ýêñòðåìóìà äëÿãëàäêèõ çàäà÷ áåç îãðàíè÷åíèé.1Ïóñòü çàäàíà óíêöèÿextr).f : A → R.Áóäåì èññëåäîâàòü åå òî÷êè ýêñòðåìóìîâ (f (x)→Îïðåäåëåíèå 1.1 xb - òî÷êà ìèíèìóìà (ñòðîãîãî ìèíèìóìà) óíêöèè f(x), åñëè(∀x ∈ A f (x) ≥ f (bx) f (x) > f (bx)Àíàëîãè÷íîîïðåäåëÿþòñÿñîîòâåòñòâåííî).òî÷êèìàêñèìóìà(ñòðîãîãîìàêñèìóìà)èòî÷êèëîêàëüíîãî ìèíèìóìà è ìàêñèìóìà.Íàïîìíèì îðìóëèðîâêó òåîðåìû Ôåðìà.Òåîðåìà 1.1 Ïóñòü A ⊂ R, xb ∈ intA, xb - òî÷êà ëîêàëüíîãî ìèíèìóìà f. Òîãäà èçñóùåñòâîâàíèÿ f ′(bx) ñëåäóåò f ′(bx) = 0Áóäåì ðàññìàòðèâàòü ëèíåéíîå íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî (ËÍÏ)XíàäR.Íàïîìíèì ñâîéñòâà íîðìû:• kxk ≥ 0; kxk = 0 ⇔ x = 0• kx + yk ≤ kxk + kyk• kαxk = |α|kxkÍàïîìíèì òåïåðü îïðåäåëåíèå ëèíåéíîãî îãðàíè÷åííîãî óíêöèîíàëà.Îïðåäåëåíèå 1.2 ëèíåéíûé óíêöèîíàë îòîáðàæåíèå x → < x∗, x >,ëèíåéíîå ïî x.
Ýòîò óíêöèîíàë íàçûâàåòñÿ îãðàíè÷åííûì (è, çíà÷èò,íåïðåðûâíûì), åñëè ∃c > 0 : ∀x ∈ X | < x∗, x > | ≤ ckxk, ãäå kx∗k := supx6=0 |<xkxk,x>| =x∗∗supkxk≤1 | < x∗ , x > | < ∞Îïðåäåëåíèå 1.3 ïðîñòðàíñòâî X ëèíåéíûõ îãðàíè÷åííûõ óíêöèîíàëîâ íàä X∗íàçûâàåòñÿ ñîïðÿæåííûì ïðîñòðàíñòâîì.Ïðèìåð:∗(x1 , ..., x∗n )},Ïóñòü1PX = Rn , x = (x1 , ..., xn )T , kxk = ( ni=1 x2i ) 2 .< x∗ , x >= x∗ x.X -ËÍÏ, A ⊂ X , xb ∈ intA, h ∈ X .Îïðåäåëåíèå 1.4 Âàðèàöèåé ïî Ëàãðàíæó â òî÷êåδf (bx, h) :=(bx)limα→0 f (bx+αh)−fαX ∗ = {x∗ =íàçûâàåòñÿ ïðåäåë, åñëè îí ñóùåñòâóåò äëÿ ëþáîãî h.δf (bx, h) = f ′ (bx)ÅñëèX = R, h = 1,ÅñëèX = Rn , h = ei = (0...1...0)T ,òîÒîãäàòîδf (bx, ei ) =xb∂f(bx)∂xiÏðèâåäåì ïðèìåð óíêöèè, ó êîòîðîé ñóùåñòâóþò ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå â òî÷êå,íî íå ñóùåñòâóåò âàðèàöèè ïî Ëàãðàíæó:∂f(0) = 0X = R2 , f (x) = sgn(x1 x2 ), ∂xi3Îïðåäåëåíèå 1.5 Ïóñòü X -ËÍÏ,.
Åñëè, òî ãîâîðèì, ÷òîA ⊂ X, xb ∈ intA, f : A → R= 0 (∗)∃x ∈ X : f (bx + h) = f (bx)+ < x , h > +r(h) limh→0 |r(h)|khk′∗xbf (bx) = x∗∗,∗f äèåðåíöèðóåìà â òî÷êå ïî Ôðåøå è.Êîððåêòíîñòü ýòîãî îïðåäåëåíèÿ âûòåêàåò èç ëåììûËåììà 1.1 åñëè (∗) âûïîëíåíî, h ∈ X , òî δf (bx, h) =< x , h >.∗(bx)= Ïóñòü h ∈ X , h 6= 0, α 6= 0, |α| ìàë (ò.å. xb + αh ∈ A).
Òîãäà f (bx+αh)−fα∗r(αh) kαhkr(αh)kαhkα<x ,h>1∗(f (bx)+ < x , αh > +r(αh) − f (bx)) =+ kαhk α . Íî kαhk → 0, α → 0; α ααîãðàíè÷åíî. Çíà÷èò,(bx)=< x∗ , h > limα→0 f (bx+αh)−fαÏðèâåäåì ïðèìåð, êîãäà ñóùåñòâóåò âàðèàöèÿ ïî Ëàãðàíæó, íî íåò ïðîèçâîäíîé:(0, x21 6= x2 ∨ x1 = x2 = 0f (x) =1, x21 = x2 6= 0Çäåñü âàðèàöèÿ ïî Ëàãðàíæó â 0 ðàâíà 0.Îïðåäåëåíèå 1.6 Ïóñòü X - ËÍÏ, A ⊂ X , x̂ ∈ A, f : A → R. x̂ íàçîâåì òî÷êîéëîêàëüíîãî ìèíèìóìà (lomin), åñëè ∃ǫ > 0 : ∀x ∈ A (kx − x̂k < ǫ ⇒ f (x) ≥ f (x̂))Íåîáõîäèìîå óñëîâèå ýêñòðåìóìà:Òåîðåìà 1.2 Ïóñòü X - ËÍÏ, A ⊂ X , x̂ ∈ intA, f.
Òîãäà δf (x̂, h) = 0.∃δf (x̂, h): A → R, x̂ − locextr, ∀h ∈ XÂûâîä: åñëè åñòü âàðèàöèÿ ïî Ëàãðàíæó, òî âàðèàöèÿ ïî âñåì íàïðàâëåíèÿì ðàâíà0. φ(α) := f (x̂ + αh), 0 - loextr äëÿ φ. Ïî òåîðåìå(x̂)= limα→0 f (x̂+αh)−f= δf (x̂, h) = 0 limα→0 φ(α)−φ(0)ααÓ÷èòûâàÿ, ÷òî< f ′ (x̂), h >= δf (x̂, h),Ôåðìàφ′ (0) = 0.Íîφ′ (0) =ïîëó÷àåì ñëåäñòâèå (òåîðåìó Ôåðìà äëÿëèíåéíûõ íîðìèðîâàííûõ ïîäïðîñòðàíñòâ):Òåîðåìà 1.3 Ïóñòü X - ËÍÏ, A ⊂ X, x̂ ∈ intA, f : A → R, x̂ - loextr, ñóùåñòâóåò.
Òîãäà f ′(x̂) = 0f ′ (x̂)àññìîòðèì òåïåðü ñëåäóþùóþ çàäà÷ó (Àïîëëîíèÿ): òðåáóåòñÿ íàéòè ðàññòîÿíèå2x222T2 xîò òî÷êè íà ïëîñêîñòè äî ýëëèïñà: (ξ, η) ∈ R , 21 + 22 = 1; (x1 − ξ) + (x2 − η) →abmin. Òåîðåìà Ôåðìà çäåñü íå ïðèìåíèìà, òàê êàê ìèíèìóì èùåòñÿ ïî ìíîæåñòâó, íå2ñîäåðæàùåìó âíóòðåííèõ (îòíîñèòåëüíî R ) òî÷åê. Îäíàêî, òåîðåìó Ôåðìà ìîæíîèñïîëüçîâàòü, åñëè çàäà÷ó îðìàëèçîâàòü ïî-äðóãîìó. Äëÿ ýòîãî ïåðåéäåì â íîâûåêîîðäèíàòû:x1x2=a cos φb sin φ(a cos φ − ξ)2 + (b sin φ − η)2 → min.Çäåñü óæå ìèíèìèçèðóåì ïî φ, ïðè÷åì φ ïðîáåãàåò âñþ ïðÿìóþ ⇒ ìîæíî ïðèìåíèòü íèõ çàäà÷à ïðèíèìàåò ñëåäóþùèé âèä:òåîðåìó Ôåðìà.42Ïðîñòåéøàÿ çàäà÷à êëàññè÷åñêîãîâàðèàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ.
ÓðàâíåíèåÝéëåðà.àññìîòðèì çàäà÷óJ(x(·)) =Zt1t0L(t, x(t), ẋ(t))dt → extrx(t0 ) = x0 , x(t1 ) = x1U = intU ⊂ R2n+1 , L : U → R íåïðåðûâíàÿ óíêöèÿ, íàçûâàåìàÿ èíòåãðàíòîì.Ýòà çàäà÷à íàçûâàåòñÿ ïðîñòåéøåé çàäà÷åé êëàññè÷åñêîãî âàðèàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ(Ç).x(·) ∈ C 1 ([t0 , t1 ], Rn )∀t ∈ [t0 , t1 ] (t, x(t), ẋ(t)) ∈ U .ÔóíêöèÿÂâåäåì â ïðîñòðàíñòâåíàçûâàåòñÿ äîïóñòèìîé, åñëèC 1 ([t0 , t1 ], Rn )x(t0 ) = x0 , x(t1 ) = x1 ;íîðìó ñëåäóþùèì îáðàçîì:kx(·)kC 1 ([t0 ,t1 ],Rn ) = max(kx(·)kC([t0 ,t1 ],Rn ) , kẋ(·)kC([t0 ,t1 ],Rn ) )ãäåkx(·)kC([t0 ,t1 ],Rn ) = maxt∈[t0 ,t1 ] |x(t)|Rn .Îïðåäåëåíèå 2.1 Äîïóñòèìàÿ óíêöèÿ x̂(·) äîñòàâëÿåò ñëàáûé ìèíèìóì â (Ç),åñëè∃ǫ > 0 : ∀J(x(·)) ≥ J(x̂(·)).äîïóñòèìîé óíêöèè x(·), òàêîé ÷òî kx(·) − x̂(·)kC1< ǫâåðíîÀíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ñëàáûé ìàêñèìóì.Áóäåì ðàññìàòðèâàòü ñëó÷àén = 1.Ïîëó÷èì íåîáõîäèìîå óñëîâèå ýêñòðåìóìà:Òåîðåìà 2.1  äîïîëíåíèå ê óñëîâèÿì çàäà÷è (Ç) ïðåäïîëîæèì, ÷òî L, L , L -íåïðåðûâíûå â U ,óðàâíåíèå ÝéëåðàdL̂ (t) = L̂x (t)).dt ẋ- ñëàáûé ýêñòðåìóì â (Ç).
Òîãäà ∀t ∈ [t0, t1] âûïîëíåíî˙= Lx (t, x̂(t), x̂(t))(â ñîêðàùåííîé çàïèñè:xẋx̂(·)d˙L (t, x̂(t), x̂(t))dt ẋ Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ìîæíî èñïîëüçîâàòü òåîðåìó Ôåðìà. Õîòÿ â íàøåì ñëó÷àåâñå ïðîèçâîäíûå ñóùåñòâóþò, áóäåì ïðîâåðÿòü ðàâåíñòâî íóëþ âàðèàöèè Ëàãðàíæà.Çàìåòèì, ÷òî â (Ç) åñòü îãðàíè÷åíèÿx(t0 ) = x0 , x(t1 ) = x1 ,êîòîðûå ìåøàþòïðèìåíèòü òåîðåìó Ôåðìà â ÿâíîì âèäå. Íî ýòà ïðîáëåìà ëåãêî ðåøàåòñÿ çà ñ÷åòââåäåíèÿ ñëåäóþùåãî ËÍÏ:X = C01 [t0 , t1 ](:= C01 ([t0 , t1 ], R)) = {x(·) ∈ C 1 [t0 , t1 ] : x(t0 ) = x(t1 ) = 0}, k · kC01 =k · kC 1F (h(·)) = J(x̂(·) + h(·)).
Òîãäà (óíêöèÿ) 01ïðîñòðàíñòâå C0 [t0 , t1 ], ò.ê. åñëè x̂(·) - ñëàáûé ìèíèìóì,< ǫ x(·) = x̂(·) + h(·) ÿâëÿåòñÿ äîïóñòèìîé ⇒ J(x(·)) ≥àññìîòðèì ñëåäóþùóþ óíêöèþ:F âòî ïðè ìàëûõ ǫ è kh(·)kC 10J(x̂(·)) ⇔ F (h(·)) ≥ F (0).- loextr äëÿ óíêöèèÌû çíàåì, ÷òî âàðèàöèÿFïî Ëàãðàíæó â 0 ðàâíà 0. Ïîëó÷èì îòñþäà òðåáóåìîåóðàâíåíèå Ýéëåðà:δF (0, h(·)) = limα→01˙(F (αh(·)) − F (0)) = {L̂(t) := L(t, x̂(t), x̂(t))}=α51= limα→0 αZt1˙ + αḣ(t))dt −L(t, x̂(t) + αh(t), x̂(t)t0= {ó÷èòûâàÿ,=ZZt1t0L̂(t)dt =÷òî ñõîäèìîñòü ðàâíîìåðíà ïî t}=1˙ + αḣ(t)) − L̂(t) dt =L(t, x̂(t) + αh(t), x̂(t)α→0 αt1limt0=Zt1(L̂x (t)h(t) + L̂ẋ (t)ḣ(t))dtt0→ ∀h(·) ∈ C01 [t0 , t1 ] δF (0, h) = 0.0 - loextrÎòñþäà è èíòåãðàë âûøå ðàâåííóëþ. Çàìåòèì, ÷òî èç óñëîâèé òåîðåìû è óðàâíåíèÿ Ýéëåðà ñëåäóåò, ÷òîäèåðåíöèðóåìà ïît.L̂ẋÒîãäà äëÿ îêîí÷àíèÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû äîñòàòî÷íîäîêàçàòü ñëåäóþùóþ ëåììó (Äþáóà-åéìîíà):Ëåììà 2.1 Ïóñòü, ïðè÷åìa(·), b(·) ∈ C[t0 , t1 ]∀t a(t) = ḃ(t). Òîãäàb(t)ḣ(t))dt = 0∀h(·) ∈ C01 [t0 , t1 ]R t1t0(a(t)h(t) +ïåðâîîáðàçíàÿ îò a.
ÒîãäàR t1 ÏîëîæèìR t1Ȧ(t) = a(t), ò.å. At1 - Rêàêàÿ-ëèáîR t1t1a(t)h(t)dt=h(t)dA(t)=h(t)A(t)|−A(t)ḣ(t)dt⇒(b(t) − A(t))ḣ(t)dt = 0.t0t0t0R t1t0RtR t1 t0Âûáåðåì òåïåðü A(·) è h0 (·) òàê, ÷òîáûA(t)dt = t0 b(t)dt, à h0 (t) = t0 (b(s) −t01A(s))dsR t.1 Ïðè ýòîì h0 (t0 ) = h0R(tt11) = 0 ⇒ h02(·) ∈ C0 . Äëÿ òàêèõ A è h0 èìååì0 = t0 (b(t) − A(t))h˙0 (t)dt = t0 (b(t) − A(t)) dt è, ñëåäîâàòåëüíî, b ≡ A.
Òîãäàḃ(t) = Ȧ(t) = a(t) Íà ýòîì è çàêàí÷èâàåòñÿ äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìûàññìîòðèìñëó÷àé.òåïåðüâêðàòöåâåêòîðíûé(x1 (t), ..., xn (t))T , L̂x = (L̂x1 , ..., L̂xn ). Òîãäà óðàâíåíèåd÷òî ðàâíîñèëüíî ñèñòåìå { L̂ẋi (t) = L̂xi (t)(i ∈ 1, n)}.dtÏóñòüÝéëåðà èìååò âèäx(t)=dL̂=L̂x,dt ẋÇàäà÷à 1 äîêàçàòü íåîáõîäèìîå óñëîâèå ýêñòðåìóìà äëÿ ïðîèçâîëüíîãî nÓêàçàíèå: èêñèðóåìx̂1 (·), ..., x̂i−1 (·), x̂i+1 (·), ...Âàðüèðóåìxi (·).Îïðåäåëåíèå 2.2 åñëè x̂(·) óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ Ýéëåðà, òî x̂(·) íàçûâàåòñÿýêñòðåìàëüþ.Ëþáàÿóíêöèÿ,êîòîðàÿäîñòàâëÿåòìèíèìóìýêñòðåìàëüþ.
Îáðàòíîå, âîîáùå ãîâîðÿ, íåâåðíî.6èëèìàêñèìóì,ÿâëÿåòñÿÇàäà÷à Áîëüöà. Óñëîâèÿ òðàíñâåðñàëüíîñòè.3Ïåðåéäåì òåïåðü ê ðàññìîòðåíèþ äðóãîé çàäà÷è, à èìåííî çàäà÷è Áîëüöà (ÇÁ).2n+1, L ∈ C(U )(:= C(U, R)), V = intV ⊂ R2n , l ∈ C(V ). ÁóäåìÏóñòü U = intU ⊂ Rèññëåäîâàòü óíêöèîíàë ÁîëüöàB(x(·)) =Zt1L(t, x(t), ẋ(t))dt + l(x(t0 ), x(t1 )) → extrt0L,êàê è ðàíüøå, íàçûâàåòñÿ èíòåãðàíòîì,líàçûâàåòñÿ òåðìèíàíòîì. Äîïóñòèìàÿóíêöèÿ äëÿ (ÇÁ) îïðåäåëÿåòñÿ àíàëîãè÷íî òîìó, êàê îíà îïðåäåëÿëàñü â (Ç).Îïðåäåëåíèå 3.1 äîïóñòèìàÿ x̂(·) äîñòàâëÿåò ñëàáûé ìèíèìóì â (ÇÁ), åñëè ∃ǫ >òàêîé, ÷òî kx(·) − x̂(·)kC0 : ∀x(·) ∈ C 1 ([t0 , t1 ], Rn )(Çàìåòèì, ÷òîêx̂).UVè⇒- îòêðûòûå1, âåðíî B(x(·)) ≥ B(x̂(·)).<ǫèíòåãðàë îïðåäåëåí è äëÿx,áëèçêèõÑëàáûé ìàêñèìóì îïðåäåëÿåòñÿ àíàëîãè÷íî.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
