А.В. Дмитрук - Программа экзамена по вариационному исчислению (1155841)
Текст из файла
Программа экзамена по вариационному исчислениюЛектор — А. В. ДмитрукVII семестр, 2009 г.1. Дифференцирование отображений нормированных пространств. Производная по направлению, по Гато,по Фреше, строгая производная. Теорема о конечном приращении.2. Оператор Немыцкого (подстановка в функцию) и его дифференцируемость в пространствах ограниченныхфункций.3. Оператор решения управляемой системы и его производная Фреше.
Уравнение в вариациях.4. Теорема Банаха об открытом отображении и оценка прообраза через норму образа. Теорема Хана – Банахаоб отделимости выпуклых множеств. Лемма о нетривиальности аннулятора у собственного подпространства.5. Задача о минимуме функции на произвольном множестве (f (x) → min, x ∈ M ). Необходимое условиелокального минимума в терминах производной по направлению.6. ∗ Накрывание и метрическая регулярность отображений метрических пространств в окрестности даннойточки. Теорема Люстерника – Милютина о накрывании суммы двух операторов.7. Теорема Люстерника об оценке расстояния до множества нулей оператора и ее следствие — теорема окасательном подпространстве.
Условие регулярности оператора с конечномерным образом.8. Задача на экстремум в банаховом пространстве с регулярными ограничениями равенства (классическаязадача на условный экстремум). Правило множителей Лагранжа. Единственность множителей Лагранжас точностью до нормировки.9. Лемма об аннуляторе ядра линейного сюръективного оператора.10. Теорема Дубовицкого – Милютина о непересечении выпуклых конусов.11. ∗ Схема Дубовицкого – Милютина для получения необходимых условий первого порядка локального минимума в общей задаче с ограничениями равенства и неравенства.12. Правило множителей Лагранжа в гладкой задаче с ограничениями равенства и неравенства. ФункцияЛагранжа.
Активные индексы и условия дополняющей нежёсткости.13. Конус критических вариаций в гладкой задаче с ограничениями равенства и неравенства. Его тривиальность — достаточное условие первого порядка для локального минимума.14. Задача выпуклого программирования. Теорема Куна – Таккера.15. Задача Лагранжа классического вариационного исчисления в понтрягинской форме. Пространства фазовых и управляющих переменных. Слабый и сильный минимум.16. Лемма о замкнутости образа составного линейного оператора. Производная оператора равенств задачиЛагранжа и замкнутость ее образа.17. Обобщенная лемма Дюбуа – Реймона.18.
Необходимое условие слабого минимума в задаче Лагранжа — уравнение Эйлера – Лагранжа.19. ∗ Задачи, сводящиеся к канонической задаче Лагранжа: задача с интегральным функционалом, с изопериметрическими ограничениями, со старшими производными, задачи на нефиксированном отрезке времени(в том числе задачи быстродействия).20. Каноническая задача оптимального управления понтрягинского типа.
Допустимые процессы. Принципмаксимума Понтрягина — необходимое условие сильного минимума (формулировка). Краевая задача принципа максимума.21. Применение принципа максимума Понтрягина к простейшей задаче классического вариационного исчисления: вывод уравнения Эйлера, условий Вейерштрасса, Вейерштрасса – Эрдмана и Лежандра. Первыеинтегралы уравнения Эйлера.22.
Принцип максимума в задачах оптимального управления со смешанными ограничениями (формулировка). Предположение о регулярности смешанных ограничений. Позитивно-линейно независимые системывекторов.23. Существование решения в задачах на экстремум. Примеры Вейерштрасса и Больца отсутствия решения.Полунепрерывные снизу функции. Теорема Вейерштрасса.24.
Задача оптимального управления с линейной по управлению системой, выпуклым по управлению функционалом и выпуклым множеством управлений. Теорема о существовании решения (формулировка).25. Условие Филиппова и равномерная ограниченность допустимых траекторий задачи. Предкомпактностьдопустимых траекторий в пространстве C.26.
∗ Замкнутость множества решений управляемой системы, линейной по управлению, относительно равномерной сходимости x и ∗-слабой сходимости u.27. ∗ Слабая-∗ топология в сопряженном пространстве. Теорема Алаоглу о слабой-∗ компактности единичногошара. Слабая-∗ предкомпактность множества допустимых управлений.28. ∗ Слабая-∗ замкнутость множества управлений, принимающих значения в выпуклом замкнутом множестве.29. ∗ Теорема Мазура о слабо сходящихся последовательностях.30. ∗ Полунепрерывность снизу интегрального функционала, выпуклого по управлению, относительно равномерной сходимости x и слабой-∗ сходимости u.31.
Квадратичный порядок в задаче Лагранжа классического вариационного исчисления. Необходимые и достаточные условия этого порядка для слабого минимума.32. Необходимое условие Лежандра для неотрицательности интегрального квадратичного функционала.33. Достаточность усиленного условия Лежандра для положительной определенности квадратичного функционала на малых отрезках времени при нулевом правом конце.34. ∗ Слабо полунепрерывные снизу и лежандровы квадратичные функционалы в гильбертовом пространстве. Связь этих понятий с условием Лежандра для интегрального квадратичного функционала.
Лемма оположительной определенности положительного лежандрового квадратичного функционала.35. Управляемость линейной системы на данном отрезке. Критерий управляемости в терминах сопряженнойпеременной. Вполне управляемые системы. Вполне управляемость в задачах КВИ (как простейшей, так исо старшими производными).36. Вид уравнения Эйлера – Якоби для квадратичного функционала с нулевым правым концом и ограничениями равенства на левом.
Сопряженная точка и процедура ее нахождения.Примечание. Вопросы, отмеченные ∗, не входят в экзаменационные билеты, но могут быть предложеныдля получения повышенной оценки.В качестве дополнительных вопросов могут быть предложены следующие задачи:1.2.3.4.5.6.7.8.9.Задача о брахистохроне.Задача о минимальной поверхности вращения.Задача о форме тяжелой цепи.Аэродинамическая задача Ньютона.Решение изопериметрической задачи с помощью принципа максимума Понтрягина.Геодезические на полуплоскости Пуанкаре.Геодезические на сфере и цилиндре.Геодезические на поверхности g(x) = 0.Наискорейшая остановка материальной точки (задача Фельдбаума) и маятника (задача Бушоу).Литература[1] В.
М. Алексеев, В. М. Тихомиров, С. В. Фомин. Оптимальное управление. — М.: Наука, 1979.[2] А. А. Милютин, А. В. Дмитрук, Н. П. Осмоловский. Принцип максимума в оптимальном управлении. — Мехмат МГУ, 2004 (продаётся в зоне В, 19 этаж, по раб. дням), электронный вариант есть на сайте кафедры:http://www.math.msu.su/department/opu/INTERN/OK/OK.HTM http://www.math.msu.su/department/opu/INTERN/down_load.htm Там же — теорема существования и конспект по условиям «второго» порядка.[3] Оптимальное управление. Коллективная монография кафедры ОПУ (под общей ред. В. М. Тихомирова, иН.
П. Осмоловского). — М., МЦНМО, 2008.Последняя компиляция: 10 января 2009 г.Обновления документа — на сайтах http://dmvn.mexmat.net,http://dmvn.mexmat.ru.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.2.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
