Автореферат (1155107), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Условия слабой регулярно- сти экстремального процесса используются вместо условий сильной регулярности в смысле Определения 7, что делает предположения Теоремы 2 слабее, чем отвечающие ей из Теоремы 1. Значит, в скалярном случае утверждение Теоремы 2 содержит в себе утверждение Теоремы 1. Заметим, что благодаря Заме пинию 1 можно априори (то есть не вычисляя экстремальный процесс) гарантировать для некоторых классов непрерывность и даже гельдсровость сгг(й). Приведем несколько примеров таких классов задач управления. ь 1 ф(х, и)й — ~ ппп., О х =0(х)+и, (и) ~< т ~, )х( ~ ~т'2, :(О) =, л, х(1) = .
(17) Предполоэк,им, <то !(0(х), х)/ < ~гЯт2 Чх: !х!- '= ка, (18) Тогда лтобой допустт<имый процесс задачи ('17) слабо регуг<ярен,. Пример 2 Пусть и = т, тц - заданное положительт<ое ча<ло, и< заданнь<й единичный вектпор, ф: К2" — + К', 0: К" — + К" — заданные гладкие (>ункции. Ра<:смоттьрим зада чу: ф(х, и)«< — + тшп, х = 0(х)+и, ~и~а < тц, (иц х) < О, х(0) = хл, х(1) = хд. Предполо<т<сим, что /(0(х),то)/ < т<т, Чх: (ицх)= О.
Тогда лтобой, допустимый процесс задачи ('19< слабо регулярен. Пример 3 Пусть и = т, к < т, а — заданное поло;ж.'итпельное число, то- задат<ный едитиачнъ<й вектор, ф: Ка" — + К', 0: К" — + К" - зпданнъ<е гладкие функци'<<,. Рассмотприм задачу: Г ф(х. и)сИ вЂ” 'т пип, О х = 0(х)+и, (21) ~и<~ < а,, < =1,...,Й, (и<,х) < О, х(0) = хл, х(1) = хд. Пример 1 Т1усть и = т, т~,та - заданные тьолоо<сительные числа, ф Ка" — + К<, 0: К"' — т К" - заданные гладкие.
фут<кции. Рассмотприм зада- Предполоэгсим, гпго 3у„)й: пгэ" фО. (22) Тогда любой допустимь~й тгроцосс задачи (И) слабо рогуляретс Определение 11 Будем говорить, что зкгстпрсмаль (р", х*, и") удоолепгоорявт уснлоглному гуслооюо Леэюандра, если ггатлдупгся мглоэгситеэггл Лаграгинса (Л, ггпу, 1г,, т ) такие, что длл почпги всего Е Т, веРно следУтвщве неРавенство ог — (и(Й), — (йг)) ц~ ~д ( — сопвВ щ щи ч ~ е е '. д'Й д 7' (23) Здесь, коглстпаггто, сопв$ > 0 не завис:ит опт 1. Следующее предположение регулярности есть неболыпое усиление слабой регулярности из Определен 10.
Предположение Р) Для любых 1 Е Т, и Е И(г), векторы О-,г.(н,1), ~ = 1, ....,й(дг),,~„-'(и,1), т Е 1(1): Г~г(и,1) = О., +(и,1), л Е 1(и,1), линейно независимы. Основные результаты первой главы опубликованы в [Зг, [4[., [5[, [7], [8[. Во второй главе некоторые результаты первой главы получают даль- нейшес развипге и приложение к исследованию свойств кратчайшей кривой в области, задаваемой регулярной системой ограничений типа равенств и нера; вопств.
Рассмотрим область ЛХ:= (х Е К ': дг(х) = О, д2(х) ( 0), и пусть А, В две фиксированные точки из М, А ф В. Будем считать, что дг, дг — заданные вектор-функции, принимающие значения в ггт'. ' и К ' соответственно. Всюду ниже полагается, что векторы —,, (х), т = 1,, А;г, —,(х), т' Е,1(х) линейно независимы при любом х. Здесь,У(х):= (~: д~~(х) = О)-. Теорема 3 11редполоэтсим, иио (р',х",и*) есть экстпрамаль и (Л,ггг,,и,т) суть соотттетпстоующглв ей мг*оэгситпели Лагринэгса.
Пусть тгроиесс (р*, х*, и*) удовлетпооряепт Продполоэгсонглям А), Р), н втятголглетго усиленное услтгоне Леэгсагтдра (23). Кроме того, предполоэюич,, чпго ггмоот место (15). Тогда, ргЯ лапгиниева на (г;, ф. Рассмотрим гладкую кривую х®: [О, Ц вЂ” + ЛХ, целиком лежащую в ЛХ и соединяющую А и В, т.с. х(0) = А и х(1) = В. (Область ЛХ будем пола- гать связной и тогда,, в силу наложенных вьпие условий регулярности, такая кривая всегда существует.) Кр1!тча!!шей, на ЛХ будем называть непрерывно дифферешцлруемую, регулярную кривую х„(Х) с естественной параметризацией, имеющую наименьшую длину среди всех гладких кривых х(1,), которые лежат на.
ЛХ и соединяют АиВ. Во второй главе выводится уравнение кратчайшей на ЛХ. В связи с этим важно Отметить с!!еду1ОН!ее. С ОднОЙ сторонъ|, из принципа О!Ггнмалъности ири Определьчшых ДОиуп!И1иях ура!знен!!е крс!! чайшш! 1гри наличии ис1эавепств выводится тривпа,п но. Действительно, л1обой кусок кратчайигей яв- ляегся снова крат !ай!пей!, и тогда иугем расс!~!Отрения отдел!Ип,!х се ~1астей, лежащих на границе области х: у2(х) < 0 и внутри нее (предположим, что Л;2 — — 1), придем к искомому результату.
Однако такой метод применим, если эти части целиком лежат на границе или внутри области. Но такой части краг 1айп!ей1, когора~! бы целиком !!ежа!1и иа границе обласги !«!Оже! и пс найтись, в то время как множество точек выхода кратчайп!ей на грашщу может являться, например, канторовым множеством положительной меры. Приведем соответствующий пример. Пусть С !.
[О, Ц - каиторово множество положительной меры, Поскольку С замкнуто, то по теореме Уитни существует гладкая неположительная функция !р: [О, Ц вЂ” + К такая, что р ~((01) = С. Возьмем и = 2, дв(х) = !р(х1) — х2, и пусть ограничения типа равенств отсутствуют. Кратчай1- и!ая, соединяк1щая две точки (О, 0) и (1, 0) есть„очевидно, х1(1) = Х, х2(Е) = О, Х Е [О, Ц. Легко видеть, что множество С х (01 лежит на границе указанной области, а множество ([О, Ц !, С) х (01.,1ежит в ее внутренности. Заметим, что здесь также возникает и вопрос о том классе функций, к которому принадлежит кратчайшая кривая.
Ясно, что ири наличии неравенств она уже не класса С2([0, Ц), как в случае с геодезической. Соответствующий коитриример несложно построить. В этой главе показано, что кратчайп1ая кривая для сложной области принадлежит пространству И'2, ([О, Ц). При этом не делается никаких дополни- тельных предположений относительно множества точек выхода, кратчайшей на границу области. (Если часть кратчайшей целиком лежит на границе или внутри, то там она, конечно, класса С2.) Используя этот результат, получе)к) у$)явненис крат'1айпгей кривОЙ для рассматриВаемОЙ Об11асти в Об!цсм случае. Если фазовые ограничения типа равенств отсутстгзу)от, то задачу о кратчайшей для данной области еще называк)т задачей об обходе препятствия (см, 5).
На возможность вывода уравнения кратчайшей через ПМП указал Р.В. Гамкрелидзе в 8 и 7. Рассмотрим задачу управления — у )и®( й — + ппп, 2Л дг(х) = О., д2(х) < О., и 1= йч.', х(0) = А, х(1) = В. (24) Ио второй гла)зе были получены и доказаны следунлдие Леммы. Лемма 1 Крапгчайшая кривая, х„®, соедгигян)гцая точки А и В, срцеству- етгм Любам к7)атчайггзая является региением задачи (оф. Верно и обратное, лгобое реп)ение (').г) будет, кратчайигей. Лемма 2 Кратчайлиая кривая, х„(й) являепгся фулгкцггсй класса И'2 ([О, Ц).
В отгудпгствие ограгтчений тийаа нераве)зств она кгласса С2([0, Ц). .': = -д,. (х)Р" (х) [Р(х)д,(х)д,,"(х)Р (х)Г'~(х)д,"ее[',.'>, где Р(х) означает матрицу размерности (к1 + к2) х (Л:1 + !,У(х)!), котоРал всктоР д = (дг,д2, ..., Уь,,дь„+г,дь,+2, ...,дьг+~,-т) пеРеводит, в всктоР У = (Уг, д2, ..., дь„д1,+ „Угн+ „..., У~,,+,ь), где 71, 72, ..., 7 ь -- зто индексы, обРазУющие мнооюссутво,У(х) . 'Арнольд В. И. Теории катастроф.
М.: Наука, 1990. 128 С. 'Тамкрслидзе Р. В. Оптимальные но быстродействию процессы при ограниченных фазовых координатах гг' Докл. АН СССР. 1959. Т. 125, Н 3. С. 475 478. )Понтрягин Л. С., Болтяцский В. Г., Гамкрелидзе Р. В.. Мищенко В. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. Мл Наука, 1983. 393 с.
Лемма 3 Кратчайигая кривая х„(Х) почти всюду на [О, Ц удовлетворяет урахзнс пик) Замечание 2 Наряду с фЦ имеет, место уравнение кратчайгшей. в более простойг, геометрической форме,: х Е Хкг(х). Хкг(х) - нормальный конус ко множеству Лг в точке х. Основныс! результаты Второй глаВы Опубз!икОВапь! В ~1~, [6~, ~9~. В третьей главе исследуются вариационные системы общего типа, дока; зывается некоторый модифицированный вариационный принцип Экланда, и с его помощькэ критерий метрической регулярности.
Рассматриваются приложения к исследованию свойств управляемости диффсрегщиальных управ- ляемых систем с ограничениями. Рассмотрим банахово пространство Х, евклидово пространство У, гладкое по Фреше отображение р: Х вЂ” + У и замкнутое множество Я С У, которое содержит тсгчку д = О. Пусть х, Е Л, гр(х„) = у„. В этой !и!иве нас будет интересовать вопрос о существовании решения включения гр(х) Е у+ Я в окрестности точки (х,, д,). Включение вида (26) еще называют Вариационной системой, поскольку необходимость реп!ать подобного рода задачу при- ходит к нам из Вггриационного анализа, в связи, например, .с негладким пра- Вилом множителей Лагранжа, см.
подробнее в е. а(х гр (д + Я)) ~ ~с ' Жги(х). д + о) Здесь В~(х) — шар радиуса о с центром в х, а сУ(х, А) -- расстоянгге до лтоэгсества,. Причем расстояние до саустоео множества считается, равным +ос. Определение 13 Функция гр удовлетворяет условггю Робинсона, относи- телгьно множества Я в точке х„, если Жв ! ! 1сег гр'*(х„) = (О). (27) ~Могггоггггог1сгг В. Я. Ъапаггогга! А|гагуага ааг! Сеаегагаег! Пгггогеаггаггогг. (Ъо!.
П 2). Врг1щог, 2006. Определение 12 Будем, аоворигпь, чпго функция гр является метрическгг рееулярной в точке х, относгггпельно множество Я, если сугцествугот, чис- ла с, б > О пгакие, что для любьгх (х, д) Е Вк(х,) х В!(д„) имеепг место: Здесь >уз — нормальный конус Мордуховича ко множеству Я в точке у = О (см. ). Если множество э' выпуклое, то это определение превращается в классическое определение регулярности по Робинсону, которое говорит, что хя+ 1п)1р'(х„) = У. Следукнцее утверждение было получено в 11). Теорема 4 Пустпь функция, 1р удовлетпвор,яеп>, услог>те>о Рг>бинсг>1га (2'г) в точкте х„.
Тогда 1р является метпг>ически регулярно>>, в точке х, отпноситпельно мноэтсества э'. В рйбОте! при Водится новое докйзательстВО эт01 О г1)акга. коГОрое Он)!рйется на модифицированный вариационный принцип Эклатнда. Идея этой модифи- капни зйк>почается В том, ч10 если йргумент зйдачи распадается нй дВе чисти, однй из кг) горь>х коне 1номернй и ог1)йни*)енй, го возмущйть в вй))ийционном принципе достаточно лишь бссконечномерную часть. Приведем соответствующие формулировки, Пусть Е = К'", и М вЂ” замкнутое подмножество произведения Х х .Е. Элементы М будем обозначать через (х, 8)> где х б Х, 1 е Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
