Автореферат (1155107), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Вектор р 1=. К' х К' х !Ел.1 х К! называется концевым. Управ)!)по!Цая функция, или просто управление, есть измер!Лмая су)цественпо огралшчешлая функция и( ), т,е. элемент пространства х,([71, 821). Предположим, что функции е!), е,, р!), р непрерывно дифференцпруемы, функц!ли д; дважды непрерывно диф1~)с~)епцируемы, а функции !р, !р!), г дВажды непрерыв110 диффереенлллруеыы по и д~!е! Всех х, 1. Определение 1 Пустпь и(г), 8 1= [г), 12~ -- управление, а х(ь), 8 б [71, 1г] - со- отпветстт)вуюецая этому управленило траектория,, то естпь х = !р(х(1), и(1), г), и р соотпветсп)вуто!цллй концевой веъ:тор. Допустимь)м процессом будем называть тройку (р, х, и), если она удовлетворяет ° к!)нцевым ограничениям.
е1(р) — О, е2(р) < О, . смеиланнъ1м ограничениям: г(х(1), и(Й), ь) < 0 для п.в. Й б [11, кг1, и . фазовълм ограниче))лиям) д1 (х(г), ~) = О, д2(х(г), 1) < 0 )т' й 1= [81, ~2~. Определение 2 Котеиевые огра)гичения назъ)ваются регулярнь!лт в тпо)чке р = (хл,хг,КЕ,Х2): е1(р) = О, е2(р) < О, если де1 де1 7 дв2) таей —,(р) = д(е1), 3д Е 1лег — (р): Е,—,'(р), К) > О Ч~': е2'(р) = О. др ' др ) др ' ) (Верхние индексь! означа)от координаты веки)ора или, вектор-функцлеи). Определение 3 Смегианные ограничения и!)зыва)отея регулярными, если длгя любых (х,и.,Ц: т(х,и, *1) < 0 сущестпвует век!пор д = д(х,и,~) такой, чтпо < дт' — (х, и., ~), д > 0 '[1 7: г'(х, и, ~) = О. ди Определение 4 Фазовъ)е ограничения называ)отея регулярными, если для лю)бь1х (х, 1,)) д1(х., ~) = О, д2(х, е) < О, имеет местпо гатй — (х, г) = а(д1), л г = г(х, г) е егег — (х, 1): дд, дд, дх дх < — (х, ~), -) > 0 Ч)': д'(х, ~) = О.
дд,' Определение 5 Фазовые ограничения называю!г(ся сог~гасовали!ылли с концевыми ограничениями в точке р", сели существует число е > 0 такое, чгио 1р (= К "": ~(р — р/ ( е, е!(р) = О, е2(р) ( 01 С (р: д!(х!, Е!) = О, д2(х!> й!) ( О, д!(х2, й2) = О, да(х2.. К2) ( 0). Пусть (р*, х", и") допустимый процесс в задаче (1). Здесь р* = (х1, х~, 1!, Е~).
Введем необходим! (е обозначения: Л(х,г) = (у: д',(х,1) = 03., 1(х, и,~) = ~г: т'(х,и,г) = 01., Г;(х, и., Х) = — (х, г)(р(х, и, г) + —,.' (х, ~), ! = 1, 2, дд! дд! (1(х, 1) = 1и (= И'"': г(х, и,. 1) < О., Г! (х, и, 1) = 0), У = ~1'!, Ц, Г = (Г1, Г2), д = (д!> д2). Обозначим перез И(Х) замыкание по мере функции и'(Р). Определение 6 Замыканием справа ио мере функции ((~) в точке т назы; вается множество =' (т) таках векторов и (= К'" что Е((ФЕ(т>+е(: !(Й(ЕВ(и)!) >О Чг>О.
Здесь, В>(и) = 1и (=. К'": (и — и) < е1, и К мера Лебега на К. Соответственно, замыкание слева, " зто мноо(сество Е (т) таких векторов и (= К"' что (((Ф Е (~ — ~,~(: !($! Е В,,(и)!) > О Чш > О. Многозна>иное отображение Б(г):= Б (1) (! Е+(г), где 1 (=. К, называется, замыканием ~(Х) ио мере Лебега. Будем считать, ! Го И (г!) = И+(г1), И И2) = И М). Введем определение регулярного процесса и регулярной точки.
Определение 7 Допустимый процесс (р*, х*, и*) называется регулярнылц если для любых ~ Е Т, и. Е И(ь), векторы —,,'(х" (!), и,ь), д = 1, ...,й(д!), —,", (х" (г), и, К), г (=- 1(х*(г), и,г) линейно независимы, и существует вектор д = (1(и,~) (= К'"ь такой,, что д Е 1сег з", (х*(~),и,~) Ча (= 1(х*Я,и,~), д (= ксг — „' (х*(г), и, г), 2(х*(~) ~) ~ > 0 ~ . ~ 1(х~(1) ~) < т ди дг' — (х, и, 1), о > 0 Чг' б 1(х, и, 1). и Подмножество всех регулярных точек множества Цхв 8) обозначим через Ггг(х,1). Положим й(хой):= с1Гд(х, ~) (с1 — замыкание). Отметим, что если процесс регулярен, то И(г) С Пп(х"'(К), г) ЧК б Т, и значит все близкие точки из некоторой его окрестности регулярны.
Б частности смегпанные огра.- ничения будут регулярными в некоторой окрестности регулярног о процесса. Отсюда, поскольку И(г) ф О Чг'. Е Т, также следует, что Й(х'(г), г) ф Я И е Т. Рассмотрим расширенную функцию Гамильтона-Понтрягина Й(х, "и, ггпу, р, Л", Х) = (ц'.>, ',р(х, и, ~) ) — (р,, Г(х.. и, 1) ) — Яра(х, и., Й), где р, = (угг, р„), и малый Лаграпжиап Е(р, Л) = Л"егг(р)+ (Л',ег(р)) + (Л~,е2(р)), Л = (Л'~,Л',Л ). Определение 9 Будем говорить, что доггуспгимьй процесс (р', х', и') в вада ге (1) удовлетворяет, прикгципумаксимума Понпгрягина, если сушествует вектор Л = (Л", Лг, Лг): Л" б К, Л' г=.
К'1" 1, Л~ г= К"1"1 Л" > О, Л2 > О (Л~, е2(р*)) = О, абсоллопггггго пепреггывнал функция ф: Т вЂ” + К", функцгля ,и = (рг, р~): Т вЂ” + К~1"1 и ивмеримая ограниченная фуггкция и: Т вЂ” + К'1'1 гпакие, что либо Л" + !Рг(~*,)/ > О, либо гггг(й) ф пп — 'ф И Е Т, дх дЙ дг уг = — — ® + г (г,) — (г) п.в. 1, дх дх фг(г*,.) = ( — 1)'+ — (р*., Л) + ра(ф — (С), в = 1, 2, ~+г дг * д92 дх,„' '" дх., гпах Й(и,г) = Й(г) п,.в. 1, иегггг) дН дг 6 = — (г) — ь (г) — (г,) п.в. д1 д1 6© = ( — 1)' — (р*.,Л) — гг © — И*,.), я = 1,2, , д1 „„дд, В дН дг — (г',) = г (г) — (г) п.в. ~, ди ди (и(г), г(г)) = О, г (г) > 0 п.в, Х, (7) (8) (10) (11) (12) Определение 8 Навовем точку и г= 11(х, 1) регулярной. если, гый -ф(х, и, 8) ег(дг) и суи1ествует вектор д Е 1 ег — '.
' (х, и, Е) такой, 'гто где сс(с):= гпах„ен~,~ Й(гс., с). Более гпого, фухсх ция 6(1) абсолюпсно гсепрерьскна на Т, а вектор-функция р = (,иг,,и2) удовлепсворяет гледуюгцим свойсгпвам: а) каэкдая из фухсх,"гсгсЬ,и2 постпоянхса на каждом отрезке времен(с (ат 61, на котором траеклпория х*(с) целиком леэссгст во внутрехсностпгс фазового множества, задаваелсого ~'-ым фазовьсм огрпничениелс-гсеравегсстволс, т.е. когда, д~® < 0 Ч 1 (= ((ат сг~; б) вектор-функция,(сг непрерьсвна слева на интпервале (г,",фт гс р2(с2) = 0; в) хгаждсся, из фунх ций сс~2 (нестрого) убывает; г) вектор-функцгля ссг измерима и ограничена на Т.
Процесс (р*, х*, и*)т удовлетворяюгцссЬ принципу максгсмума называется экстремалью, а набор (Л, гр, р,, с ) -- множителялси Лагранжа,, отвечаньци; ми процессу (р'т х", и,*) в силу принципа максгсмума. Здесь и везде далее приняты следусощие ссилашения относительно обозначений. Если у отображений Й,д,г,(р, й, и т.п., или их производных какиеиибудь из аргументов опущены, то вместо иих подставлены значения х" (~), гс*® или множители Лагранжа (д®, р(г), Л. Будем говорить, что функция д: Т -+ Кс' имеет корневой рост слева в то гко у, и Т если суотестнуг |иоле с > О такое лю /0(г( — В(а~ / < с~~/й — С / ЧХ (= [Й*„~„~ и корневой рост справа, если зто неравенство выполняется для кюУкгго а и (и, Уе(.
Рост нввыввотси ливеивыи гтгрвввг'слева, если тгГа — а,( в оценке выше заменить на )~ — 1„). Теорема 1 Предполоэссгсм, чпсо допустимъсгс процесс (р*, х"', и") ягвляепкл экстремальным. Пусгпь кониевые ограгсгстсегсия, регулярны в точке р*, фазовые ограничения согласованы с концевыми в р*, и проиесс (р'тх*, и*) регулярен.
Тогда для лгобых мхсожителей Лагранжа Л,гр,р,се огпвелсаюи(их (р", х', и") в силу принципа максимумсс, вьсполняегпсяс г) условие нетривиальности либо Л > О, либо гсу(с) —,и2(с) — (с) ф ип — (с) Ч1 Е Т; (13) 0 дд2 ° дд1 дх дх 10 Рг® глаИ2 )~ ~ ~ (~м ~2)' удовлетворяепг. г ринцииу максимума и условиго (13)„и Й') ггргл догголгнгипельном предгголгоженигл, чгтго Жд2) = 1, функция, р2® яв,аяетс,я гельдеровой с показателем а = —,, т,.е. г $р~(йг — р2(юг/ ( сапе~ ~Лгг — з$ ч 1, в е т. Таким образом, в условиях регулярности, Теорема 1 гарантирует существование пеггрерывггои меры-множителя Лагранжа р2®, удовлетворяющей условиго корнсвоГО роста Всгоду на (г1, Х~).
Предположение А) Существует целое число Х > 0 и точки 8; г= (~г, ф, л = 1, ..., Х такие, что А~ < Кг < ... < Кл, отобгражение,У(Х) постояггно для каждого интервала (~м ~г), (~;, ~;+ г), л = 1,, Х вЂ” 1 и (Х,ч, Ф. Точка ~,; или ~",', ~,* называется то гкой стьлка, если отображеггие,У(Х) ггс является постоянным в любой из ес окрестностей.
Пусть ~г" (г.):= (и е г.л (г): 7~л(гл, г.) ~ 0 Ч~ г=,У(г)), д-(~):= ( ~ щ): г'2(' ~) < 0 чз' ~ ФИ Далее будем считать, что агнриори справедливы следующие условия: И (~)ггпу ®~а, И (~)ггпу ®~~ ~~еТ. (1б) Следующее определение является ослаблением условий регулярности по сравнению с Определением 7. н) в каогсдогл гпо'гке 1, г= (1~,Ц) функция, гл2® непрерьлвна и более ьпого имеет корневой рост справа и слева; если оптимальная траектория вьлходит негладко на грахицу г-ого фазового ограглглченггя в точке 1„, г Е,У(л,), тогда рост гл~2 лкнеен справа; в случае негладкого схода с границы у-ого фазового ограгличегглггя, рост, р2г линеен слева; ш) суьцествуетп векьчор Л„, = (Ло, Л,'„, Л,"„) и функция Ц„(г) такие что.. набор Л, ул„„, глг, гл2, гл, где Определение 10 Допусттггглгъсгг процесс (р*, х*, и*) назьгвоется слобо регу- дГ.У ,лярнъгм, если, для любых А. Е Т, и и Е И(с), векяпоры, — ',,'(х*(с), и,Х), 1 = 1, ...,сг(дг), д' (х" (с),и,, 1), г Е Х(х"(с), и, с) линеино независимы, и сущсстпву- ет вектор с1 = И(и, Х) Е К"' тпакой, тпо с( Е гсег — '", (х*(~), и, ~) Чт', Е Х(х" (Х), и, ~), а Е Ьт Я-,г(х*®,и,й), < (х*®,и.,~),сХ > 0 Чд Е Х(х*®,К): Г2(х*(1).,гг)Й) = О.
(16) ди Замечание 1 Любой, дотгусттгггмъгй процесс задачи (1т является слабо ре- дГ' гулярным, если длся любых х,1 и любого и Е сХ(х,~), векторъс -у;,г(х,и,1), т' = 1, ..., сг(дг), —,', (х, и, с), г Е Х(х, и, 1) линеггтго независимы, и существует вектпор с1 = с1(х и, ~) Е 2"" такой, стпо сХ Е гсег — '"' (х. и, Е) от, Е Х(х, и, ~), сг Е Ьтдо„с(х, и,с), и < дГ,' —,'(х, и, ~), с1 > О Чдт Е,Х(х, ~): Г,'(х, и, ~) = О. Теорема 2 Предположим, стпо допустимый процесс (р', х"', и") экстремален. Пусть концевые огрсгничения регулярньг в ттгосяке р*, фозовые ограничения согласованъг с концевыми ограни гениями в то ске р", процесс (р*, х", и") слабо регуля1гетс, выполнено условие (15), и имсетп место тотя бьг одно из следуюи(их условгйт 1) выпо гняептся Предтголожение.
(А); ф ),Х(~)) <1И. Тогда, для ллобых множипгелей Лагрансяссг Л, ггт, р, и, отпвечающих (р*, х*, и") в силу прггтггсипа максимгума, вьгполтнсно утпверждетггге Теоремьс, 1. В слу гас, когда сг(д2) = 1, Теорема 2 пе содержгтл никаких дополнительных предположений по сравнсннкг с Теоремой 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
