Диссертация (1155093), страница 9
Текст из файла (страница 9)
. + (−1)−1, + + − 31 + 2 + ... + − (2.35)50[,max ] ≈∑︁=1+∑︁1≤<<≤(︃∑︁2−( − )22∑︁1≤<≤( + − 2)2+22−1+...+(−1)−( + + − 3)2(1 + 2 + ... + − )21+ + + − 31≤<≤1≤<<≤=1)︃21+ . . . + (−1)−1.1 + 2 + ... + − (2.36)Рассмотрим случай однородных приборов. Это означает, что среднее время обслуживания на всех приборах является одинаковым: = , = 1,и ∼ ().
Следовательно, функция распределения минимума случайныхвеличин выражается, как−1−−∑︁1+ + − 2∑︁∏︁(1) () = (min(1 , . . . , ) < ) = 1 − (1 − ( < )) ==1(2.37)= 1 − (1 − (1 − − )) = 1 − − .Следовательно, min(1 , . . . , ) ∼ (), и математическое ожидание и дисперсия минимума имеют вид:1,(2.38)1,()2(2.39)[min(1 , . . .
, )] =[min(1 , . . . , )] =Теперь рассмотрим максимум случайных величин. Функция распределения для случая однородных приборов примет вид:() () = (max(1 , . . . , ) < ) = (1 < , . . . , < ) == (1 < ) · · · · · ( < ) = (1 − − ) .(2.40)51Определим плотность распределения:() () = ((1 − − ) )′ = (1 − − )−1 − =(︃ (︂ )︂)︃′ (︂ )︂∑︁ ∑︁=(−1) − =(−1)−1 − .=0=1(2.41)Тогда∫︁+∞ ∑︁ (︂ )︂[max(1 , . .
. , )] =(−1)−1 − ==10∫︁+∞ (︂ )︂ (︂ )︂∑︁∑︁1=(−1)−1− =(−1)−1 ==1=1(2.42)01= (︂∑︁=1)︂ (−1)−11 ∑︁ 11== , =1 где, как уже упоминалось выше — это частичная сумма гармоническогоряда. Заметим, что11lim = (ln + ),→∞ где ≈ 0.577721 — постоянная Эйлера-Маскерони. Далее вычислим дисперсию:∫︁+∞2 (1 − − )−1 − −[max(1 , . . . , )] =0(︂ ∑︁)︂2 ∑︁(︂ ∑︁)︂2∫︁+∞ (︂ )︂1111−=(−1)−12 − −= =1 =1=10(2.43) (︂∑︁)︂(︂ ∑︁)︂211−1 2=(−1)−=2()=1=1(︂)︂(︂)︂22 ∑︁ 1 ∑︁ 1−1 1=(−1)−.()2 =1 2 =1 В результате, для времени отклика имеем:[, min ] ≈1,( − )(2.44)52[, min ] ≈1;[( − )]2(2.45)1 ∑︁ 1,[, max ] ≈ − =1 [︃ (︂ )︂(︂ ∑︁)︂2 ]︃∑︁111[, max ] ≈2(−1)−1 2 −.2( − )=1=12.3(2.46)(2.47)Время синхронизации в системе облачных вычисленийРассмотрим еще одну важную характеристику производительности системы облачных вычислений — время синхронизации.
Время синхронизации определяется как время между поступлением первой и последней частей подзапросов одного запроса в буфер синхронизации, иными словами это разность междумаксимумом и минимумом из времен пребывания подзапросов в системе:[ ] = [,max ] − [,min ].(2.48)Для того, чтобы вычислить среднее время синхронизации достаточноопределить математическое ожидание каждой из компонент разности, что ибыло сделано выше:[max(1 , . . . , ) − min(1 , .
. . , )] = [max(1 , . . . , )] − [min(1 , . . . , )].Таким образом, учитывая формулы (2.33) и (2.35), а также то, что ∼( − ), = 1,, можем записать:[ ] ≈∑︁=11− − ∑︁1≤<≤+ . . . + (−1)−11+ + − 2∑︁1≤<<≤1+ + + − 311−.1 + 2 + ... + − 1 + · · · + − (2.49)Теперь проанализируем время синхронизации для случая однородных приборов [79;80]. Как уже было сказано ранее, поскольку для определения53математического ожидания разности двух случайных величин ,max и ,minих зависимость, которая, очевидно, существует, не играет никакой роли, то достаточно вычислить только первые моменты экстремальных значений:−1∑︁ 111=−1 .[ ] = [,max ] − [,min ] ≈( − ) =1 ( − )(2.50)Но для того, чтобы получить выражение для дисперсии исследуемой величины,недостаточно знать значения дисперсий случайных величин ,max и ,min .В этом случае можно действовать двумя способами.
Один из них — воспользоваться функцией распределения ранга для положительных н.о.р.с.в.:∞ () ≈ () −(1) () = ∫︁∑︁=1 0 ()∏︁[ ( + ) − ()],(2.51)=1,̸=А второй — напрямую воспользоваться формулой для вычисления дисперсииразмаха выборки объема н.о.р.с.в. с функцией распределения () [33]:[ ] ≈ [() − (1) ] =)︂∫︁∞ (︂(2.52)=21 − () − [1 − ()] + [ () − ()] − ([ ])2 .−∞Сформулируем утверждение.Утверждение 2.3.1. Оценка дисперсии времени синхронизации системы облачных вычислений с расщеплением запросов для случая однородных приборовимеет вид:−1∑︁ 11.(2.53)[ ] ≈( − )2 =1 2Доказательство. Для доказательства воспользуемся формулой (2.52).
В нашем случае () = 1 − −(−) , > 0, () = 1 − −(−) , > 0. Посколькувремя пребывания в подсистеме / /1 будет иметь экспоненциальное распределение с параметром ( − ), то подынтегральное выражение из формулы(2.52) примет вид:(1 − () − [1 − ()] + [ () − ()] ) =54= 1 − (1 − (−) ) − (1 − 1 + −(−) ) + (1 − −(−) − 1 + −(−) ) = (︂ )︂∑︁=1−(−1) −(−) − −(−) +=0+ (︂ )︂∑︁=0(−1)− −(−)(−) −(−) = (︂ )︂∑︁=1−1−(−1) −(−) − −(−) +=1+ (︂ )︂∑︁=1(−1)− −(−)(−) −(−) + (−1) −(−) =−1 (︂ )︂∑︁ (︂ )︂∑︁ −(−)(−1)− −(−)(−) −(−) +(−1) +=−=1=1+(−1) −(−) .Подставляем полученное выражение в интеграл и делаем соответствующие вычисления:∫︁∞ ∫︁ [︂00−1 (︂ )︂∑︁ (︂ )︂∑︁ −(−)(−1)− −(−)(−) −(−) +(−1) +−=1=1]︂+(−1) −(−) =∫︁∞ [︂0+−1∑︁ (︂=1∫︁∞ [︂=0 (︂ )︂∑︁−(−1) −(−) +=1⃒ ]︂)︂−(−)⃒− −(−)(−) −(−) ⃒(−1) + (−1) ⃒ =( − )0 (︂ )︂−1−(−)∑︁∑︁ (︂ )︂ −(−)− −(−)(−) −(−1) −(−1) +(−)=1=1−1∑︁ (︂)︂]︂−(−)(−)+(−1)−+ (−1) − =−( − )=1(︃ −1 (︂ )︂)︃⃒∞ (︂ )︂−(−)(−) ⃒∑︁∑︁1⃒=−(−1)+(−1)−⃒ −2⃒((−))(−)=1=1055(︃ −1 (︂ )︂)︃⃒∞⃒−(−)(−)∑︁ 1⃒(−) −(−1)=⃒ + (−1)22⃒(−)(−)((−))=10(︃)︃⃒∞(︂(︂)︂)︂−1⃒−(−)∑︁∑︁1⃒− =−(−1)+(−1)⃒ −22⃒((−))((−))=1=10(︃ −1 (︂ )︂)︃⃒∞⃒∑︁ 1−(−)⃒(−)+(−1)−(−1)=⃒2 ( − ) ⃒2(−)((−))=10(︃ (︀ )︀(︀ )︀∑︁ (−1)−∑︁ (−1)−1 −11−+=222( − )=1=1)︃(︀ )︀−1∑︁ (−1)− (−1)++.2(−)=1Далее подставим вычисленный интеграл в (2.52) и определим оценку дисперсиивремени синхронизации:2[ ] ≈ [() − (1) ] =( − )+−1∑︁=1(︀ )︀−(−1)( − )(︃∑︁(︀ )︀=1−1(−1)−1 ∑︁−2=1(︀ )︀(−1)−+:2(︃ −1 )︃2 )︃(−1)1 ∑︁ 1+−.22 =1 Полученную формулу можно упростить, в результате будем иметь следующеевыражение [79; 80]:−1∑︁ 11[ ] ≈.(2.54)( − )2 =1 22.4Результаты расчётов вероятностно-временных характеристикДля оценки аппроксимации математического ожидания и дисперсии времени отклика, а также дисперсии времени, проведенного в буфере синхронизации, с помощью программных средств GPSS (General Purpose Simulation56System) была построена имитационная модель.
Поскольку интерес представляют характеристики системы в стационарном режиме ее работы, имитационноемоделирование проводилось до того момента, пока не произошла стабилизацияпараметров модели, а именно после прохождения через систему около пятисоттысяч запросов.Для иллюстрации качества различных аппроксимаций, полученных дляматематического ожидания времени отклика, на рисунке 2.3 представлены графики зависимости среднего времени отклика от количества подзапросов дляследующих формул:(︃)︃ ]︃412 − 1+1−,[,max ] ≈21128 −[︃ ≤ 2.(2.55)[︃ (︂ )︂ (︂ )︂(︁ ∑︁∑︁ ( − 1)!(−1)−1[, max ] ≈ +−+1=1=1]︃(2.56))︁ 1−, −[︃(︃ )︃]︃∑︁ 1∑︁11[, max ] ≈ ++ (1 − 2), (2.57)2(1 − )−( − )=1=11 ,−(︃)︃1 −1[, max ] ≈1+ √.−2 − 1[, max ] ≈(2.58)(2.59)Формула (2.59) является верхней границей для максимума независимых экспоненциально распределенных случайных величин с параметром ( − ).Расчеты были выполнены для интенсивности входящего потока = 2−1 и интенсивности обслуживания = 2.2 −1 .
Поскольку для = 2 получено точное выражение для среднего времени отклика [18], рассматривалисьзначения > 2. Как видно из графиков, формулы (2.55),(2.56),(2.57),(2.58)представлены в порядке убывания точности их приближения, а верхняя граньдля среднего значения максимума порядковых является верхней гранью и длясреднего времени отклика.57161Среднее время отклика, с15214313412561110987345678910Количество подзапросовРисунок 2.3 — Среднее время отклика: 1 — формула (2.55), 2 — формула(2.56), 3 — (2.57), 4 — (2.58), 5 — верхняя граница для максимума порядковыхстатистик (2.59), 6 — имитационная модельНа рисунке 2.4 представлена иллюстрация качества приближения среднего квадратического отклонения времени отклика для различных значенийинтенсивности входящего потока .Среднеквадратическое отклонениевремени откика, с0,40120,350,300,250,2044,555,566,57Интенсивность входящего потока , с-1Рисунок 2.4 — Среднеквадратическое отклонение времени отклика: 1 —аналитическая модель; 2 — имитационная модельРасчеты были выполнены для случая расщепления пользовательского запроса на 3 подзапроса ( = 3) для симметричного случая 1 = 2 = 3 = 10−1 .
На графике наблюдается рост среднего квадратического отклонения с уве-58личением интенсивности входящего потока, что является вполне естественными ожидаемым результатом поведения кривой. Кроме того, видно, что полученная с помощью аналитической модели оценка является оценкой «снизу». Длянесимметричного случая качественных изменений численных результатов ненаблюдается.14,51Время синхронизации, с212,53410,58,56,54,534567891011Количество подзапросовРисунок 2.5 — Среднее время синхронизации: 1 — имитационная модель, 2 —аналитическая модель; среднеквадратическое отклонение временисинхронизации: 3 — имитационная модель, 4 — аналитическая модельНа рисунке 2.5 представлены характеристики времени, проведенного в буфере синхронизации: математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение.
Из графиков следует, что оценка математического ожидания, имеетбольшую погрешность приближения в отличие от оценки среднего квадратического отклонения, относительная погрешность для которого равна в среднем7%.59Глава 3. Анализ времени отклика системы облачных вычислений сгистерезисным управлением подключением виртуальных машин3.1Рекуррентный алгоритм вычисления преобразованияЛапласа-Стилтьеса времени отклика системыРассмотрим систему облачных вычислений с гистерезисным подключением и отключением дополнительных виртуальных машин в виде многолинейнойсистемы массового обслуживания с приборами, часть которых может бытьне активна, и конечной ёмкостью системы .
Здесь и далее предполагаем, чтоёмкость системы и ёмкость накопителя — одна и та же величина, поскольку заявка, переходя на прибор, продолжает занимать место в накопителе. В системупоступает пуассоновский поток заявок с параметром . Считаем, что приборыявляются однородными, время обслуживания распределено по экспоненциальному закону с параметром [7; 16; 43; 81].Активным в пустой системе, т.е. готовым при поступлении заявки мгновенно начать её обслуживание, является только один прибор. При поступлении заявок в систему активация приборов происходит не мгновенно, приэтом количество активных приборов определяется числом заявок в очереди, в которой установлены парные пороги, заданные значениями векторовH = (1 ,2 ,...,−1 ), 1 < 2 < ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
