Диссертация (1155093), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

< −1 и L = (1 ,2 ,...,−1 ),1 < 2 < ... < −1 где +1 < , = 1, − 2 и < , = 1, − 1.Заявки обслуживаются в порядке поступления, т.е. очередь имеет дисциплинуFCFS (First Come First Served), и при поступлении на прибор, как уже упоминалось выше, заявка сохраняет место в очереди. Правила работы системыследующие:1. Если в системе уже находится заявок, то при поступлении новойзаявки активируется (подключается) один ( + 1)-й дополнительныйприбор, но не мгновенно, а через случайное время, имеющее экспоненциальное распределение с параметром ;2.

Если в системе есть заявок и при этом одна заявка обслужилась, то( + 1)-й прибор мгновенно отключается, либо, если он не был активен,останавливается процедура его активации.60Функционирование системы описывается марковским процессом () с множеством состояний:⃒⎫⎧⃒ 0 ≤ ≤ 1 ,⎪⎪ = 1, = 1;⃒⎬⎨⃒(3.1) = (,,) ⃒ −1 ≤ ≤ , = 2, − 1, = 1, − 1 ,⃒⎪⎪⎭⎩⃒ −1 ≤ ≤ , = , = 1,где — необходимое количество приборов для обслуживания заявок, находящихся в системе; — количество активированных приборов; — количествозаявок в очереди.1,1,11,1,0...

1,1, L1  11,1, 22...1,1, H12,1, L1 ... 2,1, L2  1 ...2223,1, L2 ...2322, 2, H1  1 ... 2, 2, H 22, 2, L1 ... 2, 2, L2  1 ...22,1, H1  1 ... 2,1, H 223,1, H122... 3,1, L3  1 ... 3,1, H 2  1 ...223,1, H 32... 3, 2, L3  1 ... 3, 2, H 2  1 ... 3, 2, H 33, 2, L2 ...

3, 2, H12 22 2222 23,3, L2 ... 3,3, H1333... 3,3, L3  1 ... 3,3, H 2  1 ...33 32333,3, H 334,1, L3 ... 4,1, H 234, 2, L3 ... 4, 2, H 2432 22 22 ... 4,1, H 3  1 ... 4,1, R3 3... 4, 2, H 3  1 ... 4, 2, R2 222 2... 4,3, H 3  1 ... 4,3, R3 33 33 3  4, 4, L3 ...

4, 4, H 2 ... 4, 4, H 3  1 ... 4, 4, R4 44 44 44,3, L3 ... 4,3, H 2Рисунок 3.1 — Диаграмма интенсивностей переходов61На рисунке 3.1 представлена диаграмма интенсивностей переходов исследуемой системы для описанного выше расположения порогов, число приборов = 4.Для того чтобы составить объективное мнение о поведении времени отклика системы, недостаточно знать только среднее значение этой случайнойвеличины. Для всей полноты картины, а также для решения актуальных практических задач наряду с математическим ожиданием желательно иметь представление о значениях дисперсии и моментах высших порядков.

В этой связиопределение функции распределения времени отклика – в нашем случае в терминах преобразования Лапласа-Стилтьеса (ПЛС) – приобретает особую важность [81].Утверждение 3.1.1. Преобразование Лапласа-Стилтьеса () времени ожидания начала обслуживания и ПЛС () времени пребывания заявки в системе равны:∑︁,, ,,,(3.2) () =(,,)∈ () = (),+(3.3)где ,, — стационарные вероятности для соответствующих состояний(,,) ∈ , а ,,() — ПЛС времени ожидания -й в очереди заявки, если система находится в состоянии (,,), определяются следующими рекуррентными выражениями (3.4)-(3.12):,,() = 1,,,() = ≤ , (,,) ∈ ;−1,,−1() +(), + + + + ,,+1(3.4)(3.5)1 ≤ ≤ , −1 < < , < ≤ ;,,() =−1−1−1,−1,()+,,(),−1−1 +1−1 + + + + 2 ≤ ≤ , < ≤ −1 ;(3.6)62,,() =−1,,()++1,,(),−1 +1 + + + + (3.7)1 ≤ ≤ − 1, < ≤ ;,,() =−1,,−1(), + < ≤ ;−1,,−1()+ + + ( − ) + ( − )+,,+1() +,+1,(), + + ( − ) + + + ( − ) + (3.8),,() =(3.9)2 ≤ ≤ , −1 < < , 1 ≤ < , < ≤ ;−1−1,,()+−1 −1 + + ( − ) + +,,()+−1 +1 + + ( − ) + ( − ),+1,(), 2 ≤ ≤ ,+−1 + + ( − ) + ,,() =−1(3.10)1 ≤ < , < ≤ −1 ;−1,,()+ −1 + + ( − ) + +1,,()++ +1 + + ( − ) + ( − )+,+1,(), 2 ≤ ≤ − 1, + + ( − ) + ,,() =(3.11)1 ≤ < , < ≤ ;,,() =( − )−1,,−1() +,+1,(), + ( − ) + + ( − ) + (3.12)1 ≤ < , < ≤ .Доказательство.

Обозначим ,,() — ПЛС времени ожидания -й в очередизаявки, если система находится в состоянии (,,). В случае, когда ≤ ,63время ожидания равно нулю, а значит,,() = 0,≤В остальных случаях время ожидания -й заявки в очереди – это естьсумма времени, проведенного в текущем состоянии в ожидании перехода в следующее, и времени пребывания заявки в очереди, оставшегося после совершения этого шага. Поскольку возможных переходов из текущего состояния вследующее – несколько, то, пользуясь формулой полной вероятности, можемзаписать для времени ожидания -й заявки в очереди ⃗ следующее выражение:(︂)︂∑︁′⃗ =⃗→⃗ ⃗ + ⃗⃗ ∈где ⃗→⃗ представляет собой вероятность того, что из состояния ⃗ = (1 ,2 ,3 )состояние ⃗ = (1 ,2 ,3 ), ⃗, ⃗ ∈ , будет достигнуто раньше, чем остальныевозможные при переходе за один шаг, ⃗ — это время пребывания процесса′в состоянии ⃗ до его перехода в ⃗ , а ⃗ — это оставшееся время ожидания вочереди для -й заявки, которая после перехода в следующее состояние могласменить свое место в очереди.В частности, рассмотрим конкретный пример.kk, k, n  1k, k, n  1k, k, nРисунок 3.2 — Состояние диаграммы интенсивностей переходовДля состояния (,,) время ожидания -й заявки в очереди будет складываться из суммы времени, проведенного в ожидании следующего перехода, иоставшегося времени ожидания в очереди после перехода в одно из возможныхсостояний.

Из рисунка 3.2 видно, что существует всего два возможных переходаиз (,,), а именно: состояние (,, − 1) и состояние (,, + 1). Пусть —это случайная величина времени обслуживания одной заявки, а — это случайная величина времени до поступления новой заявки в систему. Тогда в силу64предположений о пуассоновском входящем потоке и экспоненциальных временах обслуживания, поскольку в состоянии (,,) на обслуживании находится заявок одновременно, то случайная величина , характеризующая времямежду последовательными моментами окончания обслуживания на приборах,имеет экспоненциальное распределение с параметром , т.е. ∼ (), аслучайная величина имеет экспоненциальное распределение с параметром : ∼ (). Тогда вероятность того события, что новая заявка поступит всистему быстрее, чем обслужится одна из заявок, учитывая независимостьвходящего потока от времен обслуживания, равна:∫︁ ∫︁.

( < ) =− − = + <А вероятность, противоположного события, соответственно, равна:∫︁ ∫︁. ( < ) =− − = + <Теперь определим распределение случайной величины min(,), посколькуименно такое случайное время и проведет -я заявка в ожидании переходав одно из двух возможных состояний. Очевидно, что (min(,) < ) = 1 − (min(,) > ) = 1 − ( > , > ) == 1 − ( > ) ( > ) = 1 − (1 − ( < ))(1 − ( < )) == 1 − (1 − (1 − − ))(1 − (1 − − )) = 1 − − − .Таким образом, min(,) ∼ (+).

Далее воспользуемся одним из свойствПЛС, а именно тем, что ПЛС функции распределения суммы независимых случайных величин является произведением ПЛС соответствующих функций распределения каждого из слагаемых, т.е.() =∏︁ (),=1где = 1 + ... + , , = 1, — независимые случайные величины, () и () — ПЛС случайных величин и , соответственно. Следовательно, ПЛС65времени ожидания -й в очереди заявки, если система находится в состоянии(,,):,,() = + + −1,,−1() +,,+1() = + + + + + + −1,,−1() +,,+1(),= + + + + где 1 ≤ ≤ , −1 < < . Аналогичным образом записываются рекуррентные формулы для всех других состояний из множества .Рекуррентные соотношения (3.4)-(3.12) позволяют определить ПЛС,,() для всех состояний (,,) ∈ , с помощью которых вычисляются ПЛС () времени ожидания начала обслуживания и ПЛС () времени пребывания заявки в системе: () =∑︁,, ,,();(,,)∈ () = (),+где ,, – стационарные вероятности соответствующих состояний (,,), алгоритм вычисления которых приведен в [16].Теперь на основе базовых рекуррентных соотношений запишем формулыдля конкретных состояний, на основе которых впоследствии и построим самалгоритм:+1,,() =,(3.13) + +1,,() =+1+,,+1(), + + + + +1,,() =−1 < ≤ − 1; (3.14)( − )+, + ( − ) + + ( − ) + 1 ≤ < ;(3.15)66( − )++ + + ( − ) + + + ( − ) + +1,,() =+1+,,+1(), + + ( − ) + +1,,() =1 ≤ < , −1 < ≤ − 1;+1++1,,(), +1 + + + + +1,,() =(3.16)1 ≤ < ;+1+,,+1(), + + + + (3.17)(3.18)−1 < ≤ − 1, 1 ≤ < ;+2+1,+1,() =( + 1)+1,,()+ −1 + ( + 1) + +2++1,+1,(), +1 + ( + 1) + (3.19)1 ≤ < ;( − )++ + + ( − ) + + + ( − ) + +1++1,,(), 1 ≤ < , 2 ≤ < ; +1 + + ( − ) + +1,,() =( − )++ + + ( − ) + + + ( − ) + +1+,,+1(), −1 < ≤ − 1, + + ( − ) + (3.20)+1,,() =(3.21)1 ≤ < , 2 ≤ < ;+2+1,+1,() =( + 1)+ + ( + 1) + ( − ) + +2+1,+1,()+ +1 + ( + 1) + ( − ) + ( − )+, 0 ≤ < , 1 ≤ < ; + ( + 1) + ( − ) + +(3.22)67+,,() =+,,() =+−1,,−1(), + 2 ≤ ≤ − ;+−1+,,−1() +,,+1(), + + + + (3.23)(3.24)−1 < ≤ − 1, 2 ≤ ≤ − ;+,,() =( − )+−1+,,−1() +,+1,(), + ( − ) + + ( − ) + (3.25)1 ≤ < , 2 ≤ ≤ − ;+−1,,−1()+ + + ( − ) + ++,,+1()+ + + ( − ) + ( − )+ + (), −1 < ≤ − 1, + + ( − ) + ,+1,+,,() =(3.26)1 ≤ < , 2 ≤ ≤ − ;+,,() =+−1+,,()++1,,(), −1 +1 + + + + (3.27)1 ≤ < , 2 ≤ ≤ − ;+,,() =+−1+,,−1() +,,+1(), + + + + (3.28)1 ≤ < , −1 < ≤ − 1, 2 ≤ ≤ − ;+1++1,+1,() =( + 1)+,,()+ −1 + ( + 1) + +1+++1,+1,(), +1 + ( + 1) + 1 ≤ < , 2 ≤ ≤ − − 1;(3.29)68( − )+,+1,()+ + + ( − ) + +−1+,,()+ −1 + + ( − ) + +,,() =+ +(), + + ( − ) + +1,, +1(3.30)1 ≤ ≤ − 1, 2 ≤ < ,2 ≤ ≤ − ;( − )+,+1,()+ + + ( − ) + +−1,,−1()++ + + ( − ) + ++,,+1(), −1 < ≤ − 1, + + ( − ) + +,,() =(3.31)1 ≤ < , 2 ≤ < , 2 ≤ ≤ − ;( + 1)+,+1,()+ −1 + ( + 1) + ( − ) + ++1+1,+1,()++ +1 + ( + 1) + ( − ) + ( − )++1++1,+2,(), + ( + 1) + ( − ) + ++1+1,+1,() =(3.32)0 ≤ < , 1 ≤ < , 2 ≤ ≤ − − 1.Далее подробно опишем последовательность применения рекуррентных формулдля конкретных состояний, т.е.

выпишем непосредственно сам алгоритм:+11. вычислить ПЛС ,,() по формуле (3.13);+12. вычислить ПЛС ,,() для значений , меняющихся от ( − 1) до(−1 + 1) c шагом (−1), по формуле (3.14);3. для значений , меняющихся от ( − 1) до 1 c шагом (−1), вычислитьПЛС+1() по формуле (3.15),(a) ,,+1(b) ,,() для значений , меняющихся от (−1) до (−1 +1)c шагом (−1), по формуле (3.16),4. для значений , меняющихся от ( − 1) до 2 c шагом (−1) вычислить+1(a) ,,() по формуле (3.17),69+1() для значений , меняющихся от ( −1) до (−1 +1)(b) ,,c шагом (−1), по формуле (3.18),+2() по формуле (3.19),(c) +1,+1,(d) для значений , меняющихся от ( − 1) до 1 c шагом (−1),+1i. ,,() по формуле (3.20),+1() для значений , меняющихся от ( − 1)ii.

,,до (−1 + 1) c шагом (−1), по формуле (3.21),+2() по формуле (3.22),iii. +1,+1,2(e) +1,1,() по формуле (3.22),5. для значения = 1 вычислить+1по формуле (3.17),(a) ,,+1для значений , меняющихся от ( − 1) до 1 c шагом(b) ,,(−1), по формуле (3.18),+2(c) +1,+1,по формуле (3.19),+2(d) +1,+1,для значений = − 1 по формуле (3.22),6. для значений , меняющихся от ( − 1) до 2 c шагом (−1) вычислить+(a) ,,по формуле (3.23),+(b) ,, для значений , меняющихся от ( − 1) до (−1 + 1)c шагом (−1), по формуле (3.24),(c) для значений , меняющихся от ( − 1) до 1 c шагом (−1)вычислить+i. ,,() по формуле (3.25),+ii.

,,() для значений , меняющихся от ( − 1) до(−1 + 1) c шагом (−1), по формуле (3.26),(d) для значений , меняющихся от ( − 1) до 2 c шагом (−1)вычислить+i. ,,() по формуле (3.27),+ii. ,, () для значений , меняющихся от ( − 1)до (−1 + 1) c шагом (−1), по формуле (3.28),+1+iii. +1,+1,() по формуле (3.29),iv. для значений , меняющихся от (−1) до 1 c шагом(−1) вычислить+A. ,,() по формуле (3.30),70+() для значений , меняющихся отB. ,,( − 1) до (−1 + 1) c шагом (−1), поформуле (3.31),++1C.

Характеристики

Список файлов диссертации