Автореферат (1155086), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Образование., Дубна, 20124. Математика. Компьютер. Образование., Дубна, 20148Публикации.Материалы диссертации опубликованы в 5 печатных рабо­тах, из них 3 статьи в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАКЛичный вклад автора.Содержание диссертации и основные положе­ния, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубли­кованные работы.

Подготовка к публикации полученных результатов проводи­лась совместно с соавторами, причем вклад диссертанта был определяющим.Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.Структура и объем диссертации.Диссертация состоит из введения, 3глав, заключения, библиографии и двух приложений. Общий объем диссерта­ции 125 страницы, из них 104 страницы основного текста, включая 25 рисунков.Библиография включает 50 наименований на 5 страницах.Содержание работыВо Введенииобоснована актуальность темы диссертационной работы,сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, пока­зана практическая значимость полученных результатов, представлены выноси­мые на защиту научные положения.В первой главеисследовалось асимптотическое поведение распределён­ной системы квазивидов.Модель квазивидов представляет собой систему из видов макромолекул,в которой молекула вида порождает молекулу вида с вероятностью ; суще­ствует также вероятность т.н.

безошибочной репликации (при которой молекулавида порождает молекулу вида ) = 1 −Математическая модель квазивидов:˙ =∑︀∑︀ .̸= − ()=1 (0) = 0 > 0,(1) = 1, ..., ,где () - концентрация частицы вида (в момент времени ) в системе; ()9- средняя приспособенность частиц: () = (, ()) =∑︁(2) .=1 > 0 -коэффициенты, характеризующие скорость∀ = 1, ⇒ = ;воспроизводства частиц.Множество решений системы (1) - -мерный симплекс: ∀ ≥ 0 ⇒∑︀ () = 1.=1Известно, что система (1) содержит единственное положения равновесия.Распределённая математическая модель квазивидов представляет собойсистему из функционально-дифференциальных уравнений с частными произ­водными: (,)=∑︀ (, ) − (, ) () + (∆(, ))=1 = 1, 2, ..., ,(3)∈Ωс начальными и граничными условиями (, 0) = ()(︁)︁ (,)= 0, = 1, ..., .(4)=ΩВ (3) (, ) - концентрация частицы вида (в момент времени в точке про­странства ) в системе; () - средняя приспособленность системы, определяе­мая соотношением: () =∑︁=1Z (, ),(5)ΩΩ - замкнутая односвязная область в ℜ , - матрица диффузии размерности × с неотрицательными элементами (∀, = 1, ⇒ ≥ 0).Из (3)-(5) следует, что ∀ ≥ 0 выполняется равенство Z∑︁ (, ) = 1=1 ΩВ работе введено обозначениеΩ = Ω × [0, +∞)(6)10Система (4) рассматривалась в пространстве функций (Ω ) с нормой⃒⃒ ⃒⃒ }︃⃒⃒ ⃒⃒|||| = max ||||2 + ⃒⃒⃒⃒ ⃒⃒⃒⃒≥0 2{︃Здесь и далее (Ω ) означает множество неотрицательных вектор-функций(, ), таких, что для любого = 1, выполнено условие (, ) ∈ (Ω ), иудовлеряющих условию (6).Рассматривалось слабое решение уравнения (3), (4), т.е.

решение, котороеудовлетворяет следующему интегральному равенству:∞ZZ(, ) =∞ZZ∞ZZ( (, )) (, ) −0 Ω0 Ω(∇, ∇) 0 Ωдля любых функций (, ) на компактном подмножестве (по переменной ),которые дифференцируемы по переменной при ∈ [0, +∞) и принадлежат(попеременной ) пространству Соболева 2 (Ω) для любого фиксированного ≥0, = 1, 2.Ключевым здесь являлся вопрос о влиянии пространственных членов си­стемы (3) на поведение решений системы.

В связи с этим в первой главе дока­заны две теоремы, описывающие влияние пространственных членов на асимп­тотическое поведение решений системы (3):Теорема 1.Если все собственные значения матрицы диффузииположи­тельны, то стационарное решение распределённой системы квазивидовпространстве Соболева2 , = 1, 2,обыкновенной системы квазивидовТеорема 2.совпадает с положением равновесия*(1).Если все собственные значения матрицы диффузиительны, то для любых начальных данныхлённой системы квазивидов(3) в () ∈ (Ω)положи­решение распреде­(3) сходится при → ∞ в (Ω ) к решениюобыкновенной системы квазивидовZ(1) с начальными данными = (),Ω = 1, 11Разработан комплекс программ на языке C++, позволяющих численно решатьсистему (3)-(4) произвольной размерности.

Решение основано на разложениинеизвестной функции (, ) в тригонометрический ряд по cos(): (, ) =∑︁ () cos()=0Во второй главеисследовалась асимтотика и предельное поведение реше­ний в математической модели двойного гиперцикла. Двойной гиперцикл пред­ставляет собой систему из макромолекул, в которой элемент с номером порождает элементы с номерами + 1, + 2 в замкнутом цикле (элемент с номе­ром −1 порождает элементы с номерами , 1; элемент с номером порождаетэлементы с номерами 1, 2).В двойном гиперцикле скорость воспроизводства частиц удовлетворяетуравнению˙ = −1 −1 −2 (0) =0> 0,(7) = 1, ,где () - количество частиц вида в момент времени .

Поскольку в теорииквазивидов важным явлется вопрос о качественном поведении системы, то вы­полним замену = ∑︀(8) = 1, ,=1и, тем самым, перейдём к относительным концентрациям частиц.Уравнения, которым удовлетворяют имеют вид:˙ = ( −1 −1 −2 − ), = 1, ,где средняя приспособленность системы:=∑︁ −1 −1 −2=1Из (7), (8) следует, что множество решений системы (9) - симплекс: ∈ ; = {| = 1, ⇒ ≥ 0;∑︁=1 = 1}(9)12В работе использовалось следующее определение:Динамическая системаОпределение 1.˙ = (), ∈ невырождена (перманентна, экологически устойчива), если при любых на­чальных условиях0 ∈ ⋂︀+существует такое > 0, что lim inf () >→∞ , = 1, .Как и в большинстве математических моделей репликаторных систем, важнымздесь является асимптотика и предельное поведение динамической системыдвойного гиперцикла (9).

Значительным при этом является вопрос о существо­вании всех элементов системы для любого фиксированного момента времени.В связи с этим в работе доказано следующее утверждение:Теорема 3.Система(9) экологически устойчива.Система (9) содержит параметров , где = 1, , что значительно затрудня­ет нахождение положения равновесия и исследование зависимости поведениясистемы от параметров. В связи с этим в работе доказано следующее утвержде­ние:Теорема 4.Динамическая система двойного гиперцикла(9) орбитально -топологически эквивалентна системе(︃˙ = −1 −2 −∑︁)︃ −1 −2 ,=1∑︁ = 1, = 1, .(10)=1Для изучения асимптотического поведения системы (10) в работе найдено еемножество неподвижных точек и исследована их устойчивость.Теорема 5.Пусть(︂тогда для системы1 =)︂1 1∈ − ;,4 4(10) размерности = 4 множество1+ ;42 =1− ;43 =1+ ;4неподвижных точек4 =1− .413вляется асимптотически устойчивым.Теорема 6.При нечетномние равновесия: = 1 ,≥5 = 1, ,система(10) имеет единственное положе­устойчивое при=5и неустойчивое при > 5.При исследовании математических моделей квазивидов важным является изме­няемость системы (что отвечает одному из постулатов теории эволюции), поэто­му существенным является вопрос о поведении системы двойного гиперциклапри появлении нового элемента.Предположим, что в систему (9) добавляется новый ( + 1)-й элемент,взаимодействующий с -м и ( − 1)-м элементами:(︀)︀˙ = −1 −1 −2 − ,где=∑︁ −1 −1 −2 + +1 +1 −1 ,+1∑︁ = 1.=1=1Предполагается, что > 0,Определение 2.(11) = 1, + 1,Система = 1, + 1;0 = ,−1 = −1 ,0 = .(11) называется расширенной системой двойногогиперцикла.Относительно асимптотического поведения системы (11) справедливо следую­щее утверждение.Теорема 7.Если+1 ≥ 1 ,то расширенная система двойного гиперцикла(11) перманентна; причем, если +1 > 1 , то система (11) содержит устой­чивое положение равновесия; если+1 = 1 ,+1 = 1Если же+1 < 1 ,то справедливо соотношение+1 (0).1 (0)то справедливо следующее равенство:lim +1 = 0→∞14Во второй главе также рассмотрена распределённая математическая модельдвойного гиперцикла:(︃= −1 −1 −2 −1 R∑︀1 R∑︀)︃ −1 −1 −2 + =1 0 (, ) = 1;=1 0 (0,)= (1,)= 0;2 (,)2 (, 0) = ();(12)() ≥ 0,где (, ) - концентрация частиц вида (в момент времени в точке с про­странственной координатой ).Исследована асимптотика системы (12) размерности = 5:Теорема 8.Пусть = (1 , 2 , 3 , 4 , 5 ) ; > 0( = 1, 5) − положение = · −1 −1 −2 ;Тогда для системы = ;равновесия системы(9).

> 0.(12) размерности = 5 положение равновесия являетсяасимптотически устойчивым, если>где12,1(13)- первое ненулевое собственное значение задачи ()∆ () + () = 0, ∈ Ω, |∈Γ = 0, = 1, 2, ....RR () () = ,1 · () = 0, () ∈ 22 (Ω)Ω(14)ΩЕсли же<то положение равновесия2,1теряет свою устойчивость.Разработан комплекс программ на языке C++, позволяющий численно решатьсистему (12) произвольной размерности. Решение основано на разложении неиз­вестной функции (, ) в тригонометрический ряд по cos(): (, ) =∑︁=0 () cos()15В третьей главеисследуется асимптотика собственных значений матрицыЯкоби распределенных систем типа Лотки-Вольтерры. В общем виде такие си­стемы выглядят следующим образом:= () + ∆,(15)где = (1 (, ), ..., (, )) - вектор-функция -переменных.

Здесь ≥ 0, = (1 , , ... ); ∈ Ω, Ω - замкнутая односвязная область в -мерном про­странстве; () = (1 (), 2 (), ..., ()) - гладкая дважды непрерывно диф­ференцируемая вектор-функция; - матрица с неотрицательными элементами ≥ 0, , = 1, ..., ; ∆ - -мерный оператор Лапласа ∆ = (∆1 , ∆2 , ..., ∆ ).Заданы начальные условия:(, 0) = (),∈Ω(16)На границе Ω области Ω выполняется однородное условие Неймана:⃒ ⃒⃒=0 ⃒Ω(17)Задача (15) - (17) изучается в полном метрическом пространстве вектор­функций{︀}︀ = 1 (, ), ..., (, ) : (, ) ∈ 1 (Ω), = 1, ..., , ∈ Ω ,где 1 (Ω) - пространство функций Соболева с нормой⎛|||| 1 = ⎝ Z∑︁=1 Ω⎞ 21⃒2⃒⃒ ⃒⃒⃒⎠⃒ ⃒ (18)Для того, чтобы оценить влияние диффузионных слагаемых на асимптотиче­ское поведение системы, рассмотрим динамическую систему в ℜ := ()(19)16Пусть 0 = (01 , ..., 0 ) - стационарная точка системы (19), т.е.

(0 ) = 0. Непо­движная точка 0 системы (19) является также пространственно-однороднымрешением системы (15), поскольку выполняется равенство (0 ) + ∆0 = 0.Система (15) будет устойчива в окрестности неподвижной точки 0 , если всесобственные значения краевой задачи + ∆ = , ∈ Ω,⃒ ⃒⃒=0 ⃒Ω(20)(21)отрицательны. В (20) - матрица Якоби системы (15) в точке 0 .Предположим, что матрица может быть приведена к диагональной фор­ме с помощью невырожденного преобразования , то есть Λ = −1 , где Λ- диагональная матрица, элементы которой - собственные числа матрицы .Положим в равенствах (20), (21)() = (),() = (1 (), ..., ()),тогда имеем(22) + Λ∆ = ,⃒ ⃒⃒=0 ⃒Ω(23)где = −1 , ∈ Ω.Рассмотрим решение краевой задачи на собственные значения для функ­ции (), ∈ Ω,∆ = −, ∈ Ω, > 0,⃒ ⃒⃒= 0.

Характеристики

Список файлов диссертации